Что такое простейшие уравнения 10 класс

Простейшие тригонометрические уравнения. Урок алгебры в 10-м классе

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (608 кБ)

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма урока: урок с применением информационно-коммуникационных технологий (работа с интерактивной доской).

— сформировать знания по новой теме в соответствии с программными требованиями;

— научить применять на практике основные формулы решения тригонометрических уравнений (общие и частные);

— научить применять основные методы решения простейших тригонометрических уравнений: введения новой переменной, разложение на множители при решении задач.

— развивать навыки работы с ИК-ресурсами;

— развивать навыки самоконтроля, математическую речь.

— формировать коммуникативную, информационную компетентности, компетентность по решению проблем.

Оборудование:

I. Организационный момент.

Цель: активизация внимания и мотивации учащихся к работе на уроке:

— настрой учащихся на работу, организация внимания;

— сообщение темы и цели урока;

— проверка домашнего задания.

Проверка домашнего задания проводится выборочно. На экран демонстрируется файл учащегося, который осуществляет голосовую защиту своего решения домашнего индивидуального задания (задания повышенной сложности).

II. Актуализация знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель: установить уровень знаний и осознанность их применения в рамках изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируются задания.

1. Вычисли устно:

2. Найди ошибку при решении неравенства:

3. Какой рисунок соответствует решению соответствующего уравнения?

III. Объяснение нового материала.

Цель: формировать знания по новой теме в соответствии с программными требованиями и первичные навыки решения простейших тригонометрических уравнений; развивать математическую речь.

В ходе беседы учитель дает определение: тригонометрического уравнения, дает понятие простейшего уравнения. Проводит параллель между решением простейшего уравнения с использованием тригонометрического круга и нахождением корней тригонометрического уравнения с использованием общих формул. Затем учитель вместе с учащимися рассматривает частные случаи для решения тригонометрических уравнений (а=1, а=1, а=0). Все решения заносятся в таблицу. Объяснение нового материала сопровождается презентацией Microsoft Office Power Point. Данные таблицы представлены так же на интерактивной доске.

a=1	a=0	a= -1	,

Учитель делает акцент, что для значений лучше всего использовать частные формулы для корней тригонометрических уравнений и обращает внимание, что на столах у учащихся лежат памятки для решения тригонометрических уравнений. (Демонстрируется на слайде)

Далее учителем рассматриваются основные методы решения простейших тригонометрических уравнений и разбираются на примерах.

а) ; б) в) .

а) ,

Ответ :

б) ,

Если, то , ,

Если, то , ,

Ответ:,

в)

,

,

Ответ:, .

IV. Первичное закрепление нового материала.

Цели:

Учащимся предлагается выполнить проверочную работу обучающего характера на установление уровня усвоения нового материала. На партах лежат листы с заданиями базового и профильного уровня (уровень Б и П). Учащийся сам определяет, на каком уровне будет выполнять самостоятельную работу обучающего характера. Время на самостоятельную работу 5-6 минут.

В ответе запишите букву (код ответа) соответствующую ответу вашего решения.

По окончании самостоятельной работы учащимся предлагается выполнить самопроверку. На доске (слайд) приводятся правильные ответы.

Подводя итоги урока, учитель сопоставляет поставленные цели с результатами урока, оценивает деятельность учащихся и комментирует домашнее задание.

На экране выведено домашнее задание.

Задание на дом: §22. №№ 22.4(а), 22.5, 22.11-12(в, г),22.23(а, б), 22.25(а, б). Алгебра и начала анализа. 10 класс в 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2010 год

Дополнительное задание: (см. так же электронную почту)

Построить график функции .

Решить уравнение .

Урок и презентация к уроку по алгебре на тему «Простейшие тригонометрические уравнения» ( 10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ простейшие тр уравн.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок в 10 классе Простейшие тригонометрические уравнения Учитель- Приходько Г.В.

Для успешного решения простейших тригонометрических уравнений необходимо: 2) уметь определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса точек числовой окружности; 4) знать понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. 1) уметь отмечать точки на числовой окружности; 3) знать свойства основных тригонометрических функций;

ОПРОС arcsin a arccos a arctg a arcctg a

Имеют ли смысл выражения?

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций

Решим при помощи числовой окружности уравнение cos t=a. 1) IаI>1 Нет точек пересечения с окружностью. Уравнение не имеет решений. Решение уравнений соs t=a.

Решим при помощи числовой окружности уравнение cos t=a. 2) IаI 1 Нет точек пересечения с окружностью. Уравнение не имеет решений.

Решим при помощи числовой окружности уравнение sin t=a. 2) IаI

Выбранный для просмотра документ урок 10 класс.docx

Урок алгебры в 10-м классе по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»

Цели урока. Познавательные: изучить общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений, сформировать у обучающихся первичные умения и навыки их решения;

Развивающие : развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру, математический кругозор. Развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

Воспитательные: Воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; культуру поведения.

Тип урока : комбинированный( урок изучения нового материала.)

Оборудование урока : мультимедийная аппаратура , презентация, раздаточный материал ,карточки, таблицы .

I. Проверка домашнего задания

, т . к . ,

, т . к . , .

, т . к . , ,

, т . к . , ,

, т.к. , .

, т.к. , ;

, т.к. , ,

т.к. .

II. Опрос и устная работа. Презентация ( слайд 1-5)

Вопросы: а) Дать определение:

arcsin ,( арксинус а — это такое число из отрезка , синус которого равен а) arccos ,( арккосинус а – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.)

arctg , (арктангенс а – это такое число из интервала , тангенс которого равен а.

arcctg ;

б) Имеют ли смысл выражения

1) arcsin ;

2) ar с cos ;

6) arc с tg ;

III . Изучение нового материала

На протяжении многих уроков мы научились

1) отмечать точки на числовой окружности;

2) определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для точек числовой окружности;

3) знаем свойства основных тригонометрических функций;

Для чего же нам понадобились эти знания? (слайд 6)

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. К ним относятся уравнения вида: , , , . Некоторые представления о решении таких уравнений мы уже имеем. Задача нашего урока состоит в следующем: нам необходимо вывести общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

IV .Учебное исследование .

Задание 1 группе.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

Для каждого значения параметра a , решите уравнение .

Задание 2 группе.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

Для каждого значения параметра a , решите уравнение .

Задание 3 группе.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

Для каждого значения параметра a , решите уравнение .

Презентация слайд 7-16

Представим общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений в виде таблиц.(На доске)

V. Отработка умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений.

1)Учащиеся, пользуясь полученными формулами, решают уравнения.

Решите уравнения: У доски 2 учащихся по очереди решают уравнения: слайд 17

2) 2sin х = 1, 2cosх = ;

cosх –1 =0, tgх – 1 = 0; ctgх = 2,5

3) Работа с учебником №11.3 (1 столбик) (Решаем и комментируем с места)

6) sinх =

VI. Домашнее задание.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

П.11.1 стр.295-298, № 11.4

Учащиеся записывают домашнее задание в дневники.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)