Что такое ранг системы линейных уравнений

Исследование СЛАУ. Общие сведения

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

• единственное решение;
• бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
• ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Пример 1

Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .

Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

• Совместна ли система?
• Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
• Как найти все решения?

Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

• если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
• если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
• если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

• при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
• при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
• при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .

Свойства ранга матрицы:

1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
6. при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .

Пример 2

А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0

r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1

А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:

$$ \Delta A=\left| \begin -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end \right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

$$ \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\ r_4-r_3\\\phantom<0>\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang=2$.

Ответ: система несовместна.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ \left( \begin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right) \overset> <\rightarrow>$$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end \rightarrow \left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom<0>\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end \right) \begin \phantom<0>\\ \phantom<0>\\\phantom <0>\\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end \rightarrow \left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang\lt$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Понятие ранга возникает естественным образом при решении систем линейных уравнений.

Пример. Решить систему уравнений

$$ \left\< \begin 2x_1&-3x_2&-x_3=&3 \\ 4x_1&-3x_2&-5x_3=&6 \\ 6x_1&-6x_2&-6x_3=&9. \end \right. $$ Наблюдательный читатель сразу обратит внимание на «излишнесть» последнего уравнения: оно получается суммой двух первых, т.е. является их следствием. Таким образом, это уравнение можно спокойно выбросить из системы без ущерба для задачи. Приведенный пример тривиален, ситуации могут оказаться не такими очевидными.

Пример. Решить систему уравнений

$$ \left\< \begin x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\ 2x_1&+3x_2&+x_3&+x_4&=1 \\ 3x_1&+2x_2&+x_3&-x_4&=1 \\ 2x_1&+2x_2&+2x_3&-x_4&=1 \\ 5x_1&+5x_2&+2x_3& &=2. \\ \end \right. $$ Система является переопределенной: число неизвестных меньше числа определяющих их уравнений. Как правило, подобные системы решений не имеют (несовместны). Попробуем убедиться в этом применив для решения системы метод Гаусса. $$ \rightarrow \left\< \begin x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\ &-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \\ &-4x_2&-8x_3&+2x_4&=-2 \\ &-2x_2&-4x_3&+x_4&=-1 \\ &-5x_2&-13x_3&+5x_4 &=-3 \\ \end \right. \quad \rightarrow $$ $$ \rightarrow \quad \left\< \begin x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\ &-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \\ &&12x_3&-10x_4&=2 \\ &&6x_3&-5x_4&=1 \\ &&12x_3&-10x_4 &=2 \\ \end \right. $$ Получившаяся система эквивалентна исходной (либо обе несовместны, либо обе имеют одинаковые решения). Однако в новой системе очевидно три последних уравнения фактически совпадают, и, таким образом, два из них можно безнаказанно выбросить из системы, не испортив ее множество решений. Получается, что исходная переопределенная система на самом деле «маскирует» систему «недоопределенную»: $$ \left\< \begin x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4=&1 \\ &-x_2&-5x_3&+3x_4=&-1 \\ &&6x_3&-5x_4=&1, \end \right. $$ состоящую из уравнений в количестве меньшем, чем определяемые ими неизвестные. Как правило, такие системы совместны и имеют бесконечное множество решений. Так оно и получается в нашем примере. Фактически, мы привели уже систему к трапециевидному виду и осталось только извлечь из этого вида все множество решений обратным ходом метода Гаусса. Ответом в примере является множество 1) $$ x_1=\frac<1+5t><6>, x_2=\frac<1-7t><6>, x_3=\frac<1+5t><6>,x_4=t \quad npu \quad \forall t \in \mathbb R \ . $$ Мы однако, обратим сейчас внимание на другое обстоятельство. Оказалось, что исходная система может быть сокращена на «излишние» уравнения — без ущерба для ее множества решений. Похоже, что в этой системе «реальных» уравнений всего три, а два оставшихся должны являться их следствиями. Так оно и есть: если сложить первое и третье уравнения системы, то поучится удвоенное четвертое, а если сложить второе и третье — получится пятое. Вывод: четвертое и пятое уравнения системы оказываются лишними. ♦

Задача. Для заданной системы линейных уравнений $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=b_m. \end \right. $$ определить сколько в ней будет существенных уравнений.

Это искомое число и будет называться рангом. На самом деле, поставленная задача тут же усложняется: во-первых, интересует какие именно уравнения можно из системы выбросить, а какие нельзя, и, во-вторых, сколькими параметрами можно описать множество решений этой системы — если это множество бесконечно (как было в предыдущем примере). Оказывается, на оба эти вопроса тоже помогает ответить понятие ранга — как некоторой целочисленной характеристики системы уравнений.

К тому же понятию можно подойти с другой стороны.

Пример. Рассмотрим систему из последнего примера и перепишем ее в виде:

$$ x_1 \underbrace<\left( \begin 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \\ 5 \end \right)>_> + x_2 \underbrace<\left( \begin 2 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \end \right)>_>+ x_3 \underbrace<\left( \begin 3 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \end \right)>_> + x_4 \underbrace<\left( \begin -1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end \right)>_> = \underbrace<\left( \begin 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end \right)>_ <\mathcal B>\ . $$ Задачу решения системы уравнений можно переформулировать «на языке столбцов»: при заданных столбцах $ A_<[1]>, A_<[2]>, A_<[3]>, A_ <[4]>$ и $ <\mathcal B>$ подобрать такие числа $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ чтобы сумма $ x_1 A_<[1]>+ x_2 A_<[2]>+ x_3 A_<[3]>+ x_4 A_ <[4]>$ оказалась равной $ <\mathcal B>$. Хотя это и нелегко увидеть, но тем не менее можно формально проверить, что столбец $ A_ <[1]>$ можно выразить через $ A_<[2]>, A_<[3]>, A_ <[4]>$ по формуле: $$ A_ <[1]>=\frac<7><5>A_<[2]>— A_<[3]>— \frac<6><5>A_ <[4]>\ . $$ В результате система уравнений переписывается в виде $$ \left( x_2 + \frac<7> <5>x_1 \right) A_ <[2]>+ \left( x_3 — x_1 \right) A_<[3]>+ \left( x_4 — \frac<6> <5>x_1 \right) A_ <[4]>= \mathcal B \ , $$ и получается, что она реально содержит только 3 переменные, именно $$ y_2= x_2 + \frac<7> <5>x_1,\ y_3=x_3 — x_1, \ y_4 = x_4 — \frac<6> <5>x_1 . $$ Если новая система $$ y_2A_ <[2]>+ y_3 A_<[3]>+ y_4 A_<[4]>= \mathcal B $$ имеет хотя бы одно решение относительно неизвестных $ y_2,y_3,y_4 $, то исходная система тоже будет совместной и иметь бесконечное число решений (за счет того, что при обратном переходе к неизвестным $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ появляется неоднозначность за счет отсутствия ограничений на $ x_1 $). ♦

Задача. Для заданной системы линейных уравнений $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=b_m. \end \right. $$ определить сколько в ней будет существенных неизвестных.

Это искомое число тоже будет называться рангом. Единство в названии разных объектов оказывается оправданным: это два подхода к одному и тому же понятию (в приведенных выше решениях примера именно так и оказалось — число существенных уравнений системы совпало с числом существенных переменных).

Для доказательства этого факта обратим сначала внимание на то обстоятельство, что мы, фактически действовали над коэффициентами системы уравнений, привлекая переменные только на самом последнем этапе. Так, в первом решении мы действовали только над строками матрицы коэффициентов, а во втором решении — только над ее столбцами.

Ранг системы строк (столбцов)

Рассмотрим систему 2) $ n_<> $ рядов (строк или столбцов) $$ \ < A_1,\dots,A_n \>\ . $$

Выражение $$ \alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n $$ при фиксированных числах $ \alpha_1,\dots,\alpha_n $ называется линейной комбинацией рядов $ A_1,\dots,A_n $. Множество всевозможных линейных комбинаций рядов $ A_1,\dots,A_n $ называется их линейной оболочкой: $$ \mathcal L(A_1,\dots,A_n)=\left\ < \alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n \ \big| \ \<\alpha_1,\dots,\alpha_n\>\subset \mathbb R \right\>. $$

Система рядов $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ называется линейно зависимой (л.з.) если существуют числа $ \alpha_1,\dots,\alpha_n $, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что $$ \alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n=\mathbb O \ . $$ Если же последнее равенство возможно только при $ \alpha_1=0,\dots, \alpha_n=0 $, то система рядов называется линейно независимой (л.н.з.).

Теорема 1. а) Если система $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ содержит хотя бы один нулевой ряд, то она л.з.

б) Если система $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ л.н.з., то и любая ее подсистема л.н.з.

в) При $ n>1 $ система $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ л.з. тогда и только тогда, когда по меньшей мере один ее ряд линейно выражается через остальные, т.е. существуют $ j\in \mathbb N $ и константы $ \gamma_1,\dots,\gamma_, \gamma_,\dots,\gamma_ $ такие, что $$ A_j=\gamma_1A_1+\dots+\gamma_A_+ \gamma_A_+\dots + \gamma_A_ \ .$$

Пример. Найти все значения параметра $ \color <\lambda>$, при которых строка $ B=(7,-2,<\color<\lambda>> ) $ выражается через строки

Решение. Составим уравнение $ B=\gamma_1A_1+\gamma_2A_2+\gamma_3A_3 $ и попытаемся подобрать неопределенные параметры $ \gamma_j $ ему удовлетворяющие. $$ \left\< \begin 2\gamma_1&+3\gamma_2&+\gamma_3=&7 \\ 3\gamma_1&+7\gamma_2&-6\gamma_3=&-2 \\ 5\gamma_1&+8\gamma_2&+\gamma_3=& \color <\lambda>\end\right. $$ Мы получили систему линейных уравнений для определения неизвестных постоянных $ \gamma_1,\gamma_2, \gamma_3 $. Решаем ее по методу Гаусса: $$ \left\< \begin \gamma_1&+4\gamma_2&-7\gamma_3=&-9, \\ &\gamma_2&-3\gamma_3=&-5, \\ &&0=&<\color<\lambda>> -15. \end\right. \ $$ Последнее уравнение обращается в истинное равенство только при $ \lambda=15 $. При этом значении параметра система уравнений будет совместна. Например, одним из решений будет $ \gamma_1=6, \gamma_2=-2,\gamma_3=1 $.

Теорема 2. Если каждый из рядов системы $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ линейно выражается через ряды системы $ \ $ и при этом во второй системе рядов меньше, чем в первой, т.е. $ k ☞ ЗДЕСЬ.

Рангом системы рядов $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ называется число рядов в ее максимальной линейно независимой подсистеме: $$\mathfrak=\operatorname \< A_1,\dots,A_n \>\ ;$$ дополнительно полагают, что ранг системы, состоящей только из нулевых рядов, равен нулю: $$ \operatorname \ <\mathbb O,\dots,\mathbb O\>= 0 \ . $$

Теорема 3. Ранг системы рядов $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ равен $ \mathfrak\ge 1 $ тогда и только тогда, когда в этой системе существует $ \mathfrak $ линейно независимых рядов, через которые выражается каждый ряд системы.

Эта теорема позволяет дать другое определение ранга.

Рангом системы рядов $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ называется число $ \mathfrak_<> $ таких линейно независимых рядов системы, через которые линейно выражается каждый ряд системы. Любая совокупность $ \mathfrak $ линейно независимых рядов системы $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ ранга $ \mathfrak\ne 0 $ называется базисом этой системы.

Теорема 4. При фиксированном базисе системы $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ любой ряд из ее линейной оболочки $ \mathcal L(A_1,\dots,A_n) $ представúм в виде линейной комбинации базисных рядов и такое представление единственно.

Доказательство первой части тривиально. Докажем единственность представления. Предположим, для упрощения записи индексов, что базисными рядами являются первые $ \mathfrak r_<> $ рядов системы, т.е. $ \> \> $. Если какой-то ряд $ X \in \mathcal L(A_1,\dots,A_n) $ имеет два представления в виде линейной комбинации базисных рядов: $$ X=x_1A_1+\dots+ x_<\mathfrak r_<>>A_<\mathfrak r_<>>=y_1A_1+\dots+ y_<\mathfrak r_<>>A_<\mathfrak r_<>> \ , $$ то получаем $$ (x_1-y_1)A_1+\dots+ (x_<\mathfrak r_<>>-y_<\mathfrak r_<>>)A_<\mathfrak r_<>>= \mathbb O . $$ Первая возможность: ряды $ \> \> $ линейно зависимы, но тогда это противоречит предположению. Следовательно, остается единственная возможность: $$ x_1=y_1,\dots, x_<\mathfrak r_<>>=y_<\mathfrak r_<>> \ . $$ ♦

Представление ряда $ X \in \mathcal L(A_1,\dots,A_n) $ в виде линейной комбинации базисных рядов $ \,\dots, A_>> \> $ называется разложением ряда по данному базису; числа из линейной комбинации $$X= x_1A_+\dots+ x_<\mathfrak r_<>> A_>> $$ называются координатами ряда $ X_<> $ в данном базисе. Предыдущая теорема утверждает, что при фиксированном базисе, координаты любого ряда $ X \in \mathcal L(A_1,\dots,A_n) $ определяются единственным образом. Справедливо и обратное: задав набор (ряд) чисел $ \ $ в количестве, совпадающем с количеством базисных рядов, мы однозначно определим ряд из $ \mathcal L(A_1,\dots,A_n) $.

Теорема 5. Любую линейно независимую подсистему

$$ \< A_,A_,\dots,A_ \> $$ системы рядов $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ можно дополнить до базиса этой системы.

Пример. Найти какой-нибудь базис системы строк

$$A_1=(5,2,-3,1),\ A_2=(4,1,-2,3),\ A_3=(1,1,-1,-2),\ A_4=(3,4,-1,2)$$ и все строки системы, не входящие в этот базис, выразить через базисные.

Решение. Воспользуемся предыдущей теоремой. Строка $ A_1 $ ненулевая, возьмем ее в качестве первой строки искомого базиса и попытаемся дополнить оставшимися строками до базиса. Если $ \operatorname=1 $, то все оставшиеся строки должны линейно выражаться через $ A_1 $, в частности $ A_2=\gamma A_1 $ при подходящем числе $ \gamma $. Однако система линейных уравнений $$4=5 \gamma,\ 1=2\gamma,\ -2=-3\gamma,\ 3=\gamma$$ несовместна, так что предположение неверно. Итак, $ \mathfrak>1 $ и строки $ A_1,A_2 $ л.н.з.

В системе осталась только одна строка $ A_3 $, но поскольку уже установлена ее линейная зависимость от $ A_1,A_2 $, то ее включение в уже построенную подсистему не может увеличить ранга.

Ответ. Базис системы составляют, например, строки $ A_1,A_2,A_4 $; при этом $ A_3=A_1-A_2 $.

Установим теперь, какие действия над системой не изменяют ее ранга.

Теорема 6. Если систему дополнить рядом, линейно выражающимся через ряды системы, то ранг системы не изменится. Точно так же ранг системы не меняется при удалении ряда, линейно выражающегося через остальные ряды системы.

Если каждый из рядов системы $ \ < A_1,\dots,A_n \>$ линейно выражается через ряды системы $ \ $, то $$\operatorname \< A_1,\dots,A_n \>\le \operatorname \ < B_1,\dots,B_k \>\, . $$

Результат последней теоремы можно усилить, введя следующее определение.

Элементарными преобразованиями системы рядов называются следующие

Теорема 7. Элементарные преобразования не меняют ранга системы рядов.

Ранг матрицы

определяется для произвольной (не обязательно квадратной) матрицы $ A_<> $ как наибольший порядок ее отличных от нуля миноров. Иначе говоря: $ \operatorname (A)_<> =<\mathfrak r>\in <\mathbb N>$ тогда и только тогда, когда существует ее минор порядка $ <\mathfrak r>_<> $, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Кроме того, полагают: $ \operatorname (<\mathbb O>_) = 0_<> $.

Матрицу $ A_<> $ порядка $ m\times n_<> $ можно рассматривать как состоящую из набора своих строк или набора своих столбцов. Так, например: $$ A= \left[ A_<[1]>\mid A_ <[2]>\mid \dots \mid A_ <[m]>\right] \quad npu \quad A_<[j]>=\left(\begin a_ <1j>\\ a_ <2j>\\ \vdots \\ a_ \end \right) \ ; $$ здесь $ \mid_<> $ означает конкатенацию. В следующем пункте мы покажем тождественность определения ранга матрицы определению ранга системы составляющих ее рядов (строк или столбцов).

Метод окаймляющих миноров

Очевидно, что если все миноры порядка $ \mathfrak+1 $ для матрицы $ A_ $ равны нулю, то и все миноры бóльшего порядка должны быть равны нулю. Но, оказывается, для проверки условия $ \operatorname (A) =\mathfrak $ нет необходимости вычислять и все миноры порядка $ \mathfrak+1 $.

Для произвольного минора матрицы $ A_<> $ порядка $ k ☞ ЗДЕСЬ.

Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы

1. Ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы $ a_^<> $), отличный от нуля (если такого нет, то $ \operatorname (A)=0_<> $);
2. ищем минор второго порядка, содержащий $ a_^<> $ и отличный от нуля: $$ A \left( \begin j & j_2 \\ k & k_2 \end \right)= \left| \begin a_ & a_ \\ a_ & a_ \end \right| $$ (если такого нет, то $ \operatorname (A)=1_<> $ );
3. продолжаем процесс окаймления до тех пор, пока не найдем такой минор $ \mathfrak_<> $-го порядка, который сам отличен от нуля, а все окаймляющие его $ (\mathfrak+1)^<> $-го порядка равны нулю. Тогда $ \operatorname (A)=\mathfrak^<> $.

Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (и рангу системы ее столбцов).

Доказательство. Пусть $ \operatorname (A)=\mathfrak $. Тогда, по определению, существует по крайней мере один минор $ \mathfrak $-го порядка, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка (если такие имеются) равны нулю. Отсюда, в частности, следует, что все миноры $ (\mathfrak+1) $-го порядка, окаймляющие данный, равны нулю. По теореме Кронекера ранг системы строк (столбцов) равен $ \mathfrak $, т.е. равен $ \operatorname (A) $.

Пример. Вычислить ранг матрицы

$$ \left( \begin 3 & 4 & -1 &5& -2 \\ 1 & 5 & -2 &3& 4 \\ 2 & -1 & 1 &2& 3 \\ 3 & -7 & 4 &1& -7 \\ 0 & 11 & -5 &4& -4 \end \right). $$

Ответ. Ранг матрицы равен $ 3_<> $.

Найти ранги матриц

$$ <\mathbf a)>\left( \begin \color <\alpha>& 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & \color <\alpha>& 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & \color <\alpha>& 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & \color <\alpha>& 1 \end \right)\ , \quad <\mathbf b)>\left( \begin \color <\alpha>& 1 & 3 & 4 & 1\\ 1 & \color <\alpha>& -1 & 1 & 5\\ \lambda & \color <\alpha>& 4 & 3 & -4\\ 1 & 1 & 7 & 7 & -3 \end \right) $$ в зависимости от значений параметра $ \color <\alpha>$.

Ответ.

$ <\mathbf b)>\ \mathfrak_<>=3 $ при $ \color <\alpha>=1 $ или $ \color <\alpha>=1/4 $, и $ \mathfrak_<>=4 $ при $ \color <\alpha>\ne 1 $ или $ \color <\alpha>\ne 1/4 $.

Любой отличный от нуля минор матрицы $ A $ порядка $ \mathfrak= \operatorname (A) $ называется базисным минором этой матрицы. Строки (столбцы) матрицы $ A $, из элементов которых этот минор составлен, образуют базис системы строк (столбцов) матрицы.

Метод элементарных преобразований

Этот метод основан на последней теореме из ☞ ПУНКТА: элементарные преобразования системы строк матрицы не изменяют ее ранга. Поэтому имеет смысл преобразовать исходную систему к такому виду, для которого величина ранга будет очевидна.

1. Ищем ненулевой элемент матрицы $ a_^<> $ (если такого нет, то $ \operatorname (A_<>)=0 $);
2. перестановкой строк и столбцов матрицы, добиваемся, чтобы ненулевой элемент $ a_^<> $ попал в левый верхний угол;
3. применяя метод исключения Гаусса, добиваемся, чтобы все элементы первого столбца полученной матрицы, кроме верхнего, обратились в нуль;
4. к полученной в результате исключения подматрице порядка $ (m-1)\times (n-1) $ применяем процедуры пунктов 1-3 .

Процесс заканчивается, когда матрица оказывается приведенной к виду: $$ \left( \begin b_ <11>& b_ <12>& \dots & b_<1<\mathfrak r>> & b_<1,<\mathfrak r>+1> & \dots & b_ <1n>\\ 0 & b_ <22>& \dots & b_<2<\mathfrak r>> & b_<2,<\mathfrak r>+1> & \dots & b_ <2n>\\ \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & b_<<\mathfrak r><\mathfrak r>> & b_<<\mathfrak r>,<\mathfrak r>+1> & \dots & b_<<\mathfrak r>n> \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & & & & & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \dots & 0 \end \right) \quad npu \quad b_<11>\ne 0,b_<22>\ne 0,\dots,b_<<\mathfrak r><\mathfrak r>>\ne 0. $$ Тогда $ \operatorname =<\mathfrak r>_<> $ (числу оставшихся ненулевых строк).

Пример. Вычислить ранг матрицы $$ \left( \begin 2 & 3 & 5 &-3& -2 \\ 3 & 4 & 3 &-1& -3 \\ 5 & 6 & -1 &3& -5 \end \right). $$

Решение. Элементарными преобразованиями строк матрицы, приводим ее к трапециевидной (ступенчатой): $$ \rightarrow \left( \begin 2 & 3 & 5 &-3& -2 \\ 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 5 & 6 & -1 &3& -5 \end \right) \rightarrow \left( \begin 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 2 & 3 & 5 &-3& -2 \\ 5 & 6 & -1 &3& -5 \end \right) \rightarrow $$ $$ \rightarrow \left( \begin 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 0 & 1 & 9 &-7& 0 \\ 0 & 1 & 9 &-7& 0 \end \right) \rightarrow \left( \begin 1 & 1 & -2 &2& -1 \\ 0 & 1 & 9 &-7& 0 \\ 0 & 0 & 0 &0& 0 \end \right). $$ Получили две ненулевые строки.

Ответ. Ранг матрицы равен $ 2_<> $.

Найти ранги матриц по методу элементарных преобразований:

$$ <\mathbf a)>\ \left( \begin 17 & 51 & 27 & 31\\ 93 & 25 & 14 & 121\\ 94 & 27 & 15 & 120\\ 18 & 53 & 28 & 30 \end \right), \quad <\mathbf b)>\ \left( \begin 8 & 5 & 3 & 7 & 1& 2\\ 4 & 6 & 7 & 9 & 11& 12\\ 3 & 0 & -1 & 2 & 7& 1\\ 15 & 11 & 9 & 13 & 19& 15\\ 17 & 10 & 2 & -5 & 6& 3 \end \right) \ . $$

Матрицы ранга 1

Простейшими ненулевыми матрицами являются матрицы ранга $ 1_<> $ или одноранговые матрицы. Вид их довольно прост: все их столбцы (строки) должны быть пропорциональны.

Пример.

Теорема. $ \operatorname(A_) = 1 $ тогда и только тогда, когда матрицу $ A_<> $ можно представить в виде произведения

$$ A= \left(\begin u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_m \end \right) (v_1,\dots,v_n)=\left[u_jv_k\right]_ $$ при хотя бы одной паре индексов $ j_<> $ и $ k_<> $ таких, что $ u_j\ne 0, v_k \ne 0 $.

Теорема. Любая матрица ранга $ \mathfrak r_<> $ может быть представлена в виде суммы $ \mathfrak r_<> $ матриц ранга $ 1_<> $, но не может быть представлена в виде суммы меньшего числа матриц ранга $ 1_<> $.

Пример. Представить матрицу

$$ \left(\begin 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ -5 & 0 & -7 \\ 1 & 4 & 1 \end \right) $$ в виде суммы матриц ранга $ 1_<> $.

Решение. $$ \left(\begin 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ -5 & 0 & -7 \\ 1 & 4 & 1 \end \right) = \left(\begin 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)+ \left(\begin 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)+\left(\begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)+ \left(\begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end \right) $$ и каждая матрица в правой части имеет ранг $ 1_<> $. Ранг исходной матрицы равен $ 3_<> $, с ненулевым минором $$ \left|\begin 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 1 \end \right| \ . $$ Следовательно третья строка матрицы может быть выражена в виде линейной комбинации оставшихся: $$ (-5, 0, -7)=-3\cdot (3,2,5)+2 \cdot (2,3,4) \ . $$ Поэтому $$ \left(\begin 3 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \\ -5 & 0 & -7 \\ 1 & 4 & 1 \end \right) = \left(\begin 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ -9 & -6 & -15\\ 0 & 0 & 0 \end \right)+ \left(\begin 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)+ \left(\begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end \right) \ . $$ ♦

$$ \left(\begin 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1& 2 & 2 \end \right)= $$ $$ =\left(\begin -1/2 & 1 & -1/2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1/2& 1 & -1/2 \end \right)+ \left(\begin 3/2 & 0 & -3/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -3/2& 0 & 3/2 \end \right)+ \left(\begin 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end \right) \, . $$ Исключительное прикладное значение имеет разложение произвольной матрицы $ A_ $ в сумму одноранговых матриц, известное как сингулярное разложение (singular value decomposition,SVD).

$$ <\mathbf a)>\det \left(E_n+ \left(\begin u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_n \end \right) (v_1,v_2,\dots,v_n) \right) = 1+ u_1v_1+u_2v_2+\dots+u_nv_n \ ; $$ $$ <\mathbf b)>\det \left(A_+ \left(\begin u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_n \end \right) (v_1,v_2,\dots,v_n) \right)=\left(1+ (v_1,v_2,\dots,v_n) A^ <-1>\left(\begin u_1\\ u_2\\ \vdots \\ u_n \end \right) \right) \det(A) ; $$ в последнем равенстве предполагается, что $ A^ <-1>$ существует.

Подсказка ☞ ЗДЕСЬ.

Применение для решения систем линейных уравнений

Рассмотрим снова общую систему линейных уравнений $$ \left\< \begin a_<11>x_1 &+a_<12>x_2&+ \ldots&+a_<1n>x_n &=b_1,\\ a_<21>x_1 &+a_<22>x_2&+ \ldots&+a_<2n>x_n &=b_2,\\ \dots & & & \dots & \\ a_x_1 &+a_x_2&+ \ldots&+a_x_n &=b_m. \end \right. $$ Матрица, получающаяся конкатенацией матрицы $ A_<> $ и столбца правых частей $ <\mathcal B>_<> $ этой системы, т.е. $$ [A|<\mathcal B>] = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>& b_2 \\ \dots &&& & \dots \\ a_ & a_ & \dots & a_ & b_m \end \right)_ $$ называется расширенной матрицей системы линейных уравнений.

Теорема [Кронекер, Капелли]. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы совпадает с рангом ее расширенной матрицы:

$$ \operatorname(A) = \operatorname [A|<\mathcal B>] \ . $$ При выполнении этого условия, система имеет единственное решение, если число неизвестных $ n_<> $ совпадает с общим значением ранга $ \mathfrak r_<> $, и бесконечное множество решений, если $ n > \mathfrak r_<> $.

Более подробно изложено ☞ ЗДЕСЬ

Неравенства для ранга

Теорема 1. Для любых матриц $ A_<> $ и $ B_<> $ одинакового порядка имеет место неравенство:

$$ \operatorname (A + B) \le \operatorname (A) + \operatorname (B) \ . $$

Теорема 2. Для любых матриц $ A_^<> $ и $ B_^<> $ имеет место неравенство Сильвестра:

$$ \operatorname (A) + \operatorname (B) — n \le \operatorname (AB) \le \min (\operatorname (A), \operatorname (B)) \ . $$

Если $ A_<> $ и $ B_<> $ — квадратные матрицы $ n_<> $-го порядка и $ \det B \ne 0_<> $, то