Что такое равносильность уравнений и совокупность

Равносильные совокупности

Отношением равносильности могут быть связаны не только уравнения, неравенства и их системы, но и совокупности. В этой статье мы дадим это определение равносильных совокупностей, приведем примеры, а также рассмотрим основные преобразования, позволяющие получить совокупность, равносильную данной.

Навигация по странице.

Определение равносильных совокупностей

Определение равносильных совокупностей можно дать по аналогии с определением равносильных систем уравнений или неравенств. Приведем такую его формулировку:

Две совокупности называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или они обе не имеют решений.

В нем ничего не говорится о составляющих совокупность элементах, то есть, это определение относится как к совокупностям уравнений, так и к совокупностям неравенств, систем, других совокупностей и их всевозможным сочетаниям.

Примеры равносильных совокупностей приведем в следующем пункте.

Равносильны ли данные совокупности?

Озвученное определение позволяет делать вывод о равносильности совокупностей по их решениям. То есть, если нам известны решения данных совокупностей, то мы можем сразу сказать, равносильны они или нет.

Например, пусть нам известно, что решением совокупности является числовой промежуток [−5, 5) , а решением совокупности — множество (−7, −3)∪[1, +∞) . Очевидно, указанные совокупности имеют разные решения, поэтому, по определению они не являются равносильными.

Еще пример. Пусть даны две совокупности и , и сказано, что они не имеют решений. Из определения сразу заключаем, что такие совокупности равносильны.

Интереснее обстоит дело, когда решения совокупностей неизвестны, а нужно выяснить, равносильны они или нет. В этих случаях при возможности можно найти решения совокупностей, откуда сделать вывод относительно их равносильности. Но иногда возможно обойтись и без поиска решений. К примеру, равносильны ли совокупности и ? Очевидно, да. Они различаются лишь порядком записи уравнений, а это не влияет на их решения, и понятно, что решения этих совокупностей одинаковы. Так мы плавно подошли к так называемым равносильным преобразованиям совокупностей, перестановка местами уравнений является одним из них. В результате их проведения одна совокупность преобразуется в другую, равносильную ей. Познакомимся с ними поближе.

Равносильные преобразования совокупностей

Стоит обратить внимание на два основных вида равносильных преобразований совокупностей.

Первый из них – это перестановка местами элементов совокупности. Понятно, что в результате такого преобразования совокупности ее решения не изменятся, а значит, полученная совокупность будет равносильна исходной. Пример подобного преобразования совокупностей мы привели немного выше в предыдущем пункте.

Второе равносильное преобразование – это замена элемента совокупности равносильным ему элементом, например, замена уравнения равносильным ему уравнением. Очевидно, что полученная после такого преобразования совокупность будет иметь те же решения, что и исходная. Приведем пример: в совокупности первое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением 2·x=3 , полученным в результате раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Так совокупность заменится равносильной ей совокупностью более простого вида .

Разобранное преобразование позволяет работать не со всей совокупностью в целом, а с ее отдельными уравнениями, неравенствами и т.п., что очень полезно при решении совокупностей.

2.1.7 Равносильность уравнений, систем уравнений

Во время преобразования выражений уравнений, их приводят к равносильным уравнениям.

Равносильные — те уравнения, которые имеют одинаковые решения.

Так же равносильными можно считать те уравнения, которые вовсе не имеют корни. Например, равносильное будет то уравнение, в котором поменять местами правые и левые части, или же все члены уравнения разделить или умножить на одно и то же число, если к обеим частям уравнения добавить или отнять одно и то же число. Любое преобразование по математическим правилам также приводит к равносильному уравнению.

Если рациональное уравнение содержит неизвестную в знаменателе, то для получения равносильного уравнения необходимо учитывать ОДЗ, поскольку знаменатель не может превращаться в нуль.

Во время всех преобразований очень важно обращать внимания на ОДЗ, поскольку впоследствии могут появляться посторонние корни, которые не допустимы по ОДЗ.

Например, если в правой и левой части уравнения содержится одинаковый корень, который при приведении подобных уничтожается, необходимо учитывать, что под корнем не может находиться отрицательное число, а все корни, которые приводят выражение под корнем, являются посторонними.

Такая ошибка может так же возникнуть в том случае, когда во время преобразований, справа и слева относительно равно имеются одинаковые знаменатели. Вы имеете право их сократить, но прежде следует найти ОДЗ, в которых указать корни, приводящие знаменатель в нуль, и исключить их.

Один из способов получить равносильное уравнение — разложить его на множители. Существует несколько способов, позволяющих разложить многочлен на множители:

1. С помощью формул сокращенного умножения:

Что такое равносильность уравнений и совокупность

Решение системы уравнений. Решением системы уравнений называют значение переменной, образующие оба уравнения системы в верные числовые равенства.

Замечание. Стандартное обозначение системы: $$ \left\< \begin f_1 \left( x \right) = g_1 \left( x \right) \\ f_2 \left( x \right) = g_2 \left( x \right) \\ \end \right.$$

Пример: Решите уравнение $$ \left( \right)^2 + \left( \right)^2 = 0 $$

Решение. Слагаемые левой части данного уравнения неотрицательные, поэтому, равенство возможно, только если каждое слагаемое равно нулю: $$ \left( \right)^2 + \left( \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \left\< \begin
\left( \right)^2 = 0 \\ \left( \right)^2 = 0 \\ \end \right. \Leftrightarrow \left\< \begin x = — 2 \\ x = 5 \\ \end \right. $$. Последние два равенства противоречат друг другу, следовательно система не имеет решения и называется несовместимой.

Совокупность уравнений. Задана совокупность двух уравнений с одной переменной, если требуется найти все такие значения переменной, при каждом из которых хотя бы одно из уравнений совокупности обращаются в верное числовое равенство.

Решение совокупности уравнений. Решением совокупности уравнений называют значение переменной, образующее хотя бы одно из уравнений совокупности в верное числовое равенство.

Пример: Решить уравнение $$ x^3 + x — 10 = 0$$

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители $$ x^3 + x — 10 = \left( \right) + \left( <2x^2 - 4x>\right) + \left( <5x - 10>\right) = x^2 \left( \right) + 2x\left( \right) + 5\left( \right) = \left( \right)\left( \right)$$. Получим уравнение $$ \left( \right)\left( \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin
x — 2 = 0 \\ x^2 + 2x + 5 = 0 \\ \end \right. \Leftrightarrow \left[ \begin x = 2 \\ \emptyset \\ \end \right.$$. Второе уравнение совокупности не имеет решения, значит ответ x = 2