Что такое равносильность уравнений неравенств систем

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №19. Равносильные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие равносильного уравнения;

2) понятие равносильного неравенства;

3) понятие уравнения-следствия;

4) основные теоремы равносильности.

Глоссарий по теме

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Два уравнения с одной переменной

f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

1) Уравнения равносильны, т.к. каждое из них имеет только один корень х=3.

2) Уравнения также равносильны, т.к. у них одни и те же корни .

3) А вот уравнения не равносильны, потому что у первого уравнения корень х=2, а у второго уравнения два корня х=2 и х=-2.

Из определения равносильности следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот.

Решение уравнения осуществляется в три этапа.

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → . и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.

• Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
• Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
• Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
• В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Из курса средней школы мы знаем, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называет следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнения называется следствием первого уравнения.

Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:

1. если ва уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

При решении уравнений главное- не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Стоит отметить, что посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное; а вот потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

Итак, сформулируем основные теоремы, которые используются при решении равносильных уравнений:

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и туже нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Показательное уравнение (где а > 0, a≠1)

равносильно уравнению f(x) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)

б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.

Следствием теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(x)=g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение равносильное данному в его ОДЗ.

Краткая запись теорем 4, 5.

4. f(x) = g(x) ⇔h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0

и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.

5. f(x) = g(x) ⇔ , где f(x)≥0, g(x)≥0

и n=2k (чётное число).

Например, х – 1 = 3; х = 4

Умножим обе части на (х – 2):

(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!

Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.

Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

1. Неравенства и x-3 x-1 не равносильны, так как решениями первого являются числа x 1, а решениями второго- числа x>-1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.

Равносильность уравнений и неравенств системам

Данная презентация подготовлена для проведения урока алгебры и начала математического анализа в 11 классе

Просмотр содержимого документа
«Равносильность уравнений и неравенств системам»

Равносильность уравнений и неравенств системам

Цель : ввести понятие уравнения, равносильного системе; научиться решать уравнения с помощью равносильных систем

Равносильность уравнений и неравенств системам

Урок алгебры 11 класс

Учитель математики МБОУ

«Школа№ 3 г. Феодосии Республики Крым»

• Что называется системой уравнений( неравенств) ?
• Что называется решением системы уравнений ( неравенств)?
• Что значит решить систему уравнений (неравенств)?
• Какие две системы называются равносильными?

Определение равносильности уравнения системе

• Уравнение ( неравенство) равносильно системе, если каждое решение уравнения ( неравенства) является решением системы, а каждое решение системы является решением уравнения ( неравенства).

Определение равносильности уравнения совокупности систем

• Уравнение ( неравенство) равносильно совокупности нескольких систем, если любое решение уравнения ( неравенства) является решением совокупности систем, а любое решение совокупности систем является решением уравнения ( неравенства), т.е если совпадают множества решений уравнения ( неравенства) и совокупности систем

Решение уравнений с помощью систем

• Для любого четного числа 2m( mЄN) уравнение

Решение уравнений с помощью систем

• Для любого четного числа 2m( mЄN) уравнение

0, а ≠1. Тогда уравнение Равносильно системе » width=»640″

Решение уравнений с помощью систем

• Пусть число а таково, что а0, а ≠1. Тогда уравнение

• № 9,9 ( б,г)

• № 9.10 ( б,г)

• 9.13 ( б,г)

• № 9.12 ( б,г)

Равносильные системы неравенств, преобразование систем

Продолжаем разговор про равносильность систем. Нам уже известно, что такое равносильные системы уравнений. Сейчас по схожей схеме мы познакомимся с равносильными системами неравенств: сначала дадим определение, после этого покажем, какие преобразования можно проводить с неравенствами системы, чтобы полученная после их проведения система была равносильна исходной.

Навигация по странице.

Определение, примеры

Авторы учебников алгебры почему-то старательно избегают использования термина «равносильные системы неравенств», хотя термин «равносильные системы уравнений» в ходу. Но в тоже время встречаются описания решений систем неравенств следующего формата (см. [1, с. 185] ): . И если ввести определение равносильных систем неравенств по аналогии с определением равносильных систем уравнений, то подобные записи можно трактовать так: начальная система неравенств заменяется равносильными ей системами более простого вида. Давайте дадим такое определение равносильных систем неравенств.

Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Равносильны ли данные системы неравенств?

Если известны решения данных систем, то ответ на поставленный вопрос можно дать сразу, основываясь на определении равносильных систем неравенств. Пусть, например, известно, что система не имеет решений, как и система . По определению системы неравенств не имеющие решений являются равносильными, значит, данные системы равносильны.

А как быть, если решения неизвестны? Первое, что приходит на ум, это найти решения данных систем неравенств и сделать соответствующий вывод. Но иногда можно обойтись и без этого, если заметить, что одна система может быть получена из другой при помощи так называемых равносильных преобразований, которые мы сейчас и разберем.

Равносильные преобразования систем неравенств

Практически значимых равносильных преобразований для систем неравенств меньше, чем для систем уравнений. Рассмотрим по очереди два из них, которые являются самыми основными и самыми часто используемыми: перестановку местами неравенств системы, а также замену неравенства системы на равносильное ему неравенство. Их можно назвать свойствами систем неравенств. Сформулируем и обоснуем их.

Если поменять местами неравенства системы, то получится система, равносильная исходной.

Справедливость озвученного утверждения очевидна и не вызывает вопросов, так как перестановка местами неравенств не влияет на их решения, а, значит, не влияет и на решение системы.

Приведем пример: системы неравенств и — равносильны, так как отличаются лишь порядком записи неравенств в них.

С практической точки зрения разобранное свойство позволяет, например, переставить на первое место неравенство, которое очевидно не имеет решений, и лишь по нему одному сделать вывод о том, что вся система не имеет решений.

Если какое-либо неравенство системы заменить равносильным неравенством, то полученная после такой замены система равносильна исходной.

Обоснование этого равносильного преобразования легко и понятно. Мы знаем, что равносильные неравенства имеют одни и те же решения (или не имеют решений), поэтому, фигурирующие в формулировке разбираемого свойства системы неравенств имеют одинаковые решения (или не имеют решений), а, значит, они равносильны.

Что означает представленное преобразование? Оно позволяет работать отдельно с любым неравенством системы. Например, первое неравенство системы можно заменить равносильным ему неравенством, полученным путем приведения подобных слагаемых, это позволяет перейти к системе более простого вида .