Что такое равносильные системы уравнений

Равносильные системы уравнений, равносильные преобразования

В этой статье мы поговорим про равносильные системы уравнений. Здесь мы дадим соответствующее определение, а также разберем, какие существуют преобразования, позволяющие переходить от исходной системы уравнений к равносильной ей системе.

Навигация по странице.

Определение равносильных систем уравнений

В учебниках [1, с. 199; 2, с. 74] дается определение равносильных систем уравнений с двумя переменными:

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

В старших классах оно обобщается на системы с любым числом уравнений и переменных [3, с. 265] :

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Примеры равносильных и неравносильных систем приведем в следующем пункте.

Равносильны ли данные системы уравнений?

Чтобы сделать вывод о равносильности или неравносильности данных систем уравнений на основе определения, надо наперед знать решения этих систем. Приведем пример. Пусть нам известно, что системы уравнений и не имеют решений (это достаточно очевидно: первая содержит не имеющее решений уравнение 0·x=4 , а вторая – уравнение |x|=−1 ). А по определению системы уравнений, которые не имеют решений, равносильны.

Чтобы доказать неравносильность систем уравнений, достаточно привести одно частное решение, являющееся решением одной системы, но не являющееся решением другой. Например, легко обосновать, что системы уравнений и неравносильны. Действительно, пара (0, 0) является решением первой системы, при этих значениях переменных оба уравнения системы обращаются в верные числовые равенства 0=0 и 0=−0 , но не является решением второй, так как ее второе уравнение при подстановке этих значений дает неверное равенство 0−0=2 . А по определению решения равносильных систем должны быть одинаковыми.

А как доказать равносильность систем уравнений, если их решения неизвестны? Конечно, можно найти решения, после чего сделать вывод касательно равносильности на основе определения. Но иногда для этого решать системы необязательно, это касается тех случаев, когда видно, что одна система получена из другой при помощи некоторых так называемых равносильных преобразований. Их мы подробно изучим в следующем пункте, а пока приведем пример.

Рассмотрим две системы уравнений и . При внимательном взгляде на их записи можно заметить следующие вещи: уравнение второй системы есть результат почленного сложения соответствующих частей уравнений первой системы, а второе уравнение второй системы получено из второго уравнения первой системы посредством переноса слагаемого в другую часть. Описанные преобразования являются равносильными, и в результате их проведения получается система, равносильная исходной. Итак, указанные системы равносильны. А мы переходим к разбору основных равносильных преобразований.

Равносильные преобразования систем уравнений

Существует ряд преобразований, позволяющих преобразовать данную систему уравнений в равносильную ей систему. Они получили название равносильных преобразований, и нашли основное применение при решении систем уравнений. Эти преобразования можно считать свойствами систем уравнений. Рассмотрим и обоснуем основные из них.

Перестановка местами уравнений системы дает равносильную систему уравнений.

Доказательство этого утверждения очевидно. В силу определения решения системы уравнений любое отдельно взятое решение системы уравнений является решением каждого уравнения этой системы. Понятно, что оно является и решением каждого уравнения системы с этими же уравнениями, но переставленными местами, значит, является решением и системы с переставленными местами уравнениями.

К примеру, и — равносильные системы.

Если любое уравнение в системе заменить равносильным уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Доказательство этого факта тоже лежит на поверхности. Любое решение системы уравнений является решением каждого уравнения системы. Мы также знаем, что равносильные уравнения имеют одинаковые решения. Поэтому, любое решение исходной системы уравнений будет решением всех уравнений системы, в которой какое-то уравнение заменено равносильным ему уравнением, а значит, и решением этой системы.

Важность доказанного свойства огромна: оно дает нам право на работу с отдельными уравнениями системы. С ними мы можем проводить всевозможные уже знакомые нам равносильные преобразования, например, перестановку местами слагаемых, перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число и т.д.

Приведем пример. Пусть дана система . В ее первом уравнении можно выполнить умножение чисел, то есть, заменить его равносильным уравнением 12·x−y=1 . А во втором уравнении можно собрать все слагаемые в левой части, раскрыть скобки, после чего привести подобные слагаемые. В результате получится равносильная система более простого вида .

Если к левой и правой части одного из уравнений системы прибавить соответственно левую и правую часть другого уравнения системы, то полученная система будет равносильна исходной.

Для доказательства покажем, что любое решение изначальной системы уравнений является решением полученной, и обратно, что любое решение полученной системы является решением исходной. Это будет означать равносильность систем.

Любое решение начальной системы является решением каждого ее уравнения, оно обращает все уравнения в верные числовые равенства. Нам известно свойство числовых равенств, которое утверждает, что при почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Отсюда следует, что взятое нами решение начальной системы является решением уравнения, полученного в результате почленного прибавления к нему другого уравнения. Поэтому, это решение является решением и полученной системы уравнений, так как является решением каждого ее уравнения.

Теперь обратно. Возьмем любое решение полученной системы, оно является решением каждого ее уравнения, то есть, оно обращает их в верные числовые равенства. Существует свойство, позволяющее выполнять почленное вычитание верных числовых равенств. Вычтем из равенства, соответствующего уравнению, полученному в результате почленного сложения, равенство, соотетствующее прибавленному ранее уравнению. Это даст верное числовое равенство, отвечающее начальному уравнению системы до прибавления к нему другого уравнения. Отсюда следует, что взятое решение будет решением каждого уравнения исходной системы, а значит, и ее решением.

Приведем пример выполнения этого равносильного преобразования. Возьмем систему двух уравнений с двумя переменными . Прибавив к левой и правой части первого уравнения соответственно левую и правую часть второго, получим уравнение с одной переменной 3·y=3 , а система примет вид . Полученная система уравнений имеет более простой вид, но при этом равносильна исходной.

Понятно, что если система содержит три или большее число уравнений, то можно не ограничиваться почленным прибавлением к левой и правой части выбранного уравнения левой и правой части одного уравнения, а прибавлять левые и правые части двух, трех, да хоть всех остальных уравнений системы. В результате этих действий все равно получится равносильная система уравнений.

На доказанном равносильном преобразовании базируется один из методов решения систем уравнений – метод алгебраического сложения.

Если одно из уравнений системы представляет собой переменную, выраженную через другие переменные, то в любое другое уравнение системы можно подставить вместо этой переменной ее выражение, система, полученная в результате такого преобразования, равносильна исходной.

Приведем пример для пояснения. Возьмем систему . В ее первом уравнении переменная x выражена через y . Оставим первое уравнение системы без изменений, а во второе подставим вместо x ее выражение через y , то есть, 2·y−1 . В результате приходим к системе , которая равносильна исходной. Обоснуем это.

Пусть пара (x₀, y₀) – решение исходной системы, тогда x₀=2·y₀−1 и x₀+3·y₀−1=0 – верные числовые равенства. Докажем, что при этом равенство (2·y₀−1)+3·y₀−1=0 тоже верное, что будет доказывать, что (x₀, y₀) является решением системы, полученной после преобразования, а это будет означать, что полученная система имеет те же решения, что и исходная.

Легко показать, что при условии x₀=2·y₀−1 значения выражений x₀+3·y₀−1 и (2·y₀−1)+3·y₀−1 равны. Для этого составим их разность и покажем, что она равна нулю: x₀+3·y₀−1−((2·y₀−1)+3·y₀−1)= (x₀−(2·y₀−1))+(3·y₀−1−(3·y₀−1))= x₀−(2·y₀−1) , а полученное выражение равно нулю в силу равенства x₀=2·y₀−1 . Итак, справедливо равенство x₀+3·y₀−1=(2·y₀−1)+3·y₀−1 , но справедливо и равенство x₀+3·y₀−1=0 , а из них по свойству транзитивности вытекает справедливость равенства (2·y₀−1)+3·y₀−1=0 .

Аналогично доказывается, что любое решение системы уравнений является решением исходной системы. В итоге можно сделать вывод, что системы равносильны.

Суть доказательства рассматриваемого утверждения в общем виде та же. То есть, показывается, что любое решение исходной системы является решением системы, полученной после преобразования, и обратно.

Это равносильное преобразование дает разрешение на решение систем уравнений методом подстановки.

В заключение скажем, что обычно при решении систем уравнений разобранные равносильные преобразования используются сообща и иногда по нескольку раз. Дальше на практике Вы увидите это.

2.1.7 Равносильность уравнений, систем уравнений

Во время преобразования выражений уравнений, их приводят к равносильным уравнениям.

Равносильные — те уравнения, которые имеют одинаковые решения.

Так же равносильными можно считать те уравнения, которые вовсе не имеют корни. Например, равносильное будет то уравнение, в котором поменять местами правые и левые части, или же все члены уравнения разделить или умножить на одно и то же число, если к обеим частям уравнения добавить или отнять одно и то же число. Любое преобразование по математическим правилам также приводит к равносильному уравнению.

Если рациональное уравнение содержит неизвестную в знаменателе, то для получения равносильного уравнения необходимо учитывать ОДЗ, поскольку знаменатель не может превращаться в нуль.

Во время всех преобразований очень важно обращать внимания на ОДЗ, поскольку впоследствии могут появляться посторонние корни, которые не допустимы по ОДЗ.

Например, если в правой и левой части уравнения содержится одинаковый корень, который при приведении подобных уничтожается, необходимо учитывать, что под корнем не может находиться отрицательное число, а все корни, которые приводят выражение под корнем, являются посторонними.

Такая ошибка может так же возникнуть в том случае, когда во время преобразований, справа и слева относительно равно имеются одинаковые знаменатели. Вы имеете право их сократить, но прежде следует найти ОДЗ, в которых указать корни, приводящие знаменатель в нуль, и исключить их.

Один из способов получить равносильное уравнение — разложить его на множители. Существует несколько способов, позволяющих разложить многочлен на множители:

1. С помощью формул сокращенного умножения:

Равносильные системы неравенств, преобразование систем, определение

Продолжаем обсуждать термин «равносильные системы». Мы уже обсудили, что он означает применительно к уравнениям. В этой статье мы попробуем разобрать его применительно к неравенствам. План материала выглядит следующим образом: сначала мы введем основные определения, потом преобразуем их возможными способами, а в конце докажем, что получившаяся в итоге преобразований система равносильна той, что была взята первоначально.

Определение равносильной системы неравенств

Понятие равносильной системы неравенств в учебниках алгебры встречается нечасто. Почему-то применительно к уравнениям это термин более употребим. При этом мы можем встретить, что решения систем неравенств записываются следующим образом:

2 · x — 1 > 6 , 5 — 3 · x > — 13 , 2 · x > 7 , — 3 · x > — 18 , x > 3 , 5 , x 6 .

Аналогично определению системы равносильных уравнений мы можем сформулировать схожее и для неравенств. При этом изначальные системы неравенств можно заменить на равносильные, но более простые для понимания. Итак, определение:

Равносильные системы неравенств — это такие системы, у которых одни и те же решения (или эти решения одинаково отсутствуют).

Как понять, равносильны ли данные системы неравенств?

Если мы знаем все решения систем, то можно сразу дать ответ — да или нет, исходя из указанного выше определения.

Допустим, мы знаем, что:

2 · x > 2 , x 4 ≤ — 2 — решений не имеет.

Для системы x > 5 , x — 1 — аналогично.

Если обе системы не имеют решения, то они равносильны.

А если мы не знаем решений? Логично вычислить их и определить это. Но есть способ обойтись и без предварительных расчетов. Для этого нам надо будет провести так называемые равносильные преобразования. Давайте разберем подробнее, что же это такое.

Что такое равносильные преобразования систем неравенств

Для уравнений существует довольно много преобразований, которые могут быть полезны на практике, но для неравенств же их заметно меньше. Разберем два основных способа, которые применяются для решения задач чаще всего:

1. перестановка компонентов системы неравенств;
2. замена одного из неравенств системы на равносильное ему.

Также указанные выше понятия можно называть свойствами систем неравенств. Попробуем определить данные свойства.

1) Если мы поменяем местами неравенства, входящие в систему, то итоговая и исходная системы будут равносильны.

Это утверждение логично и не нуждается в обоснованиях: ведь позиция компонента в системе никак не влияет на его решение, следовательно, и на решение всей системы тоже.

Разберем один несложный пример. У нас есть 2 системы неравенств:

x + y > 3 , 2 · x + y 2 + x · y ≥ 1 , x 2 — y 2 12 и 2 · x + y 2 + x · y ≥ 1 , x 2 — y 2 12 , x + y > 3

Они являются равносильными, поскольку вся разница между ними состоит в порядке записи компонентов.

Какова же польза первого свойства на практике? Мы можем с его помощью передвинуть наверх то неравенство, решения у которого очевидно нет. Тогда мы сразу же можем подытожить, что вся система неравенств решения не имеет, ведь это следует из их базового определения.

2) Если заменить одно из неравенств системы равносильным ему, что система, получившаяся в итоге, равносильна изначальной.

Это утверждение также не вызывает вопросов. Если системы, являющиеся равносильными, имеют в итоге одинаковые решения, то упомянутые в формулировке второго свойства системы также решаются одинаково.

Для чего нам может пригодиться такое преобразование? Благодаря ему мы можем работать по отдельности с любым компонентом системы.

Так, возьмем первое из следующей системы:

2 · x 2 + 3 · x — 2 · x — x 2 — x 2 > 3 — 2 , 4 · x — 9 ≤ 0

Заменим его равносильным неравенством, используя способ приведения подобных слагаемых, и в итоге получим более легкую систему: