Что такое стоячая волна уравнение стоячей волны

Стоячие волны

Содержание:

Стоячая волна — это волна, которая образуется при наложении двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, когда волны движутся навстречу друг другу.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Стоячие волны

Стоячая волна — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует.

Наложение двух волн, бегущих в противоположные стороны

Положим, что две плоские волны, вполне одинаковые по своим характеристикам, идут навстречу друг другу. Нас интересует возникающее колебательное движение среды, в которой распространяются волны.

Как упоминалось выше, различие в направлении распределения учитывается различием в знаках координаты в уравнении волны. Следовательно, результирующая картина смещения должна передаваться выражением

Результат вычисления весьма интересен. Сумма двух бегущих волн не дала волнового движения. Полученная формула указывает на наличие колебаний с амплитудой разной в разных местах пространства. Своеобразное колебательное состояние среды, возникающее при движении в противоположные стороны двух одинаковых бегущих волн, носит название стоячей волны. Еще раз подчеркнем, что стоячая волна не есть волна. Бегущая волна переносит энергию, в стоячей волне никакой передачи энергии от точки к точке нет; бегущая волна может двигаться вправо или влево, у стоячей волны нет направления распространения. Это название характеризует колебательное состояние среды.

В чем же особенности этого колебательного состояния? Прежде всего, мы видим, что колеблются не все точки среды. В местах пространства, удовлетворяющих условиях амплитуда колебания равна нулю. Соответствующие места носят название узлов стоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами вдоль оси х, по которой были пущены бегущие волны, равно половине длины волны. Между двумя узлами лежат точки, которые колеблются с наибольшей амплитудой, равной 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

На рис. 64 представлено колебательное состояние, соответствующее стоячей волне для нескольких последующих моментов времени. Мы видим, что название вполне оправдано. В каждое мгновение видна волна. При этом волна стоит на месте. Если делать мгновенные фотографии одну за другой, то точки пересечения волной оси абсцисс — узлы — будут оставаться на одном и том же месте. Волна стоит. Изменения в мгновенных снимках будут состоять в изменении величины смещений. Наступит такой момент, когда все точки среды будут неподвижными. По прохождении этого мгновения точки, отклонявшиеся кверху, будут идти вниз, и наоборот. Разумеется, нарисованная картина не имеет ничего общего с бегущей волной, где два «мгновенных снимка» выглядят так, как на ранее приведенном рис. 57. Там волна движется, максимумы и минимумы волны в каждое следующее мгновение переходят в новые места.

Мы сказали, что в стоячей волне передачи энергии нет. Как описать тогда в терминах энергии процессы, происходящие в этом своеобразном колебательном движении? Очевидно, что энергия стоячей волны (какой-либо области, в которой она существует) есть величина постоянная.

В тот момент, когда все точки проходят положение равновесия, вся энергия точек, захваченных

колебанием, является кинетической. Напротив, в положении максимального отклонения точек от положения равновесия энергия всех точек тела является потенциальной.

Стоячая волна — важнейший колебательный процесс: разного вида стоячие волны ‘возникают в телах ограниченных размеров, по которым распространяются упругие волны. Дело заключается в том, что упругие волны отражаются от границы тела со средой и отправляются в среду обратно. В ограниченном теле возникает сложное колебательное состояние, являющееся результатом наложения на исходную волну всех других волн, которые отразились от стенок и вернулись в среду. Ряд типичных случаев будет сейчас рассмотрен.

Собственные колебания стержней

Ударом или иным способом в каждом твердом стержне можно возбудить продольную упругую волну, распространяющуюся вдоль его длины. От противоположного конца стержня эта волна отразится, и, таким образом, весь стержень придет в колебательное состояние, изображаемое стоячей волной. Это колебательное состояние будет свободным, так как оно возникнет благодаря кратковременному импульсу и будет далее продолжаться без действия внешних сил. Ряд сведений о характере этих свободных колебаний мы получим, если положим известной длину стержня и укажем способ его закрепления. Длина стержня и способ его закрепления дают нам так называемые граничные условия. Они сводятся к следующему: в закрепленном месте стержня существует узел стоячей волны, на открытом конце стержня образуется пучность стоячей волны.

Рассмотрим несколько способов возбуждения продольных свободных колебаний в стержне с длиной

Стержень, закрепленный в обоих концах. В этом случае на концах стержня должны образоваться узлы волны смещений. Так как расстояние между узлами равно половине длины волны, то возможные длины волн связаны с длиной стержня условием т. е.— любое целое число.

Используя для скорости упругой волны выражение и вспоминая связь частоты с длиной волны, получим выражение для собственных частот свободных продольных колебаний стержня

Прежде всего необходимо подчеркнуть принципиально новый для нас результат. Сплошное тело имеет не одну, а множество собственных (характеристических) частот колебания. Соответственное этим разнообразны возможные свободные колебания стержня. Стержень может также совершать негармонические колебания с любым спектром *), составленным из частот

Частота V! является основной частотой колебания стержня. Ей соответствует колебательное движение с условием Это значит, что при основном колебании центр стержня лежит в пучности стоячей волны, а узлов между концами стержня нет. Колебанию во втором обертоне (вторая гармоника) соответствует условие Теперь в центре стержня имеется узел. Если возбуждена третья гармоника, то между концами стержня будут лежать два узла, и т. д.

Пример. Для железного стержня длиной 7 м основная частота

Стержень, открытый с обоих концов

Если стержень подвесить на нитях, а затем возбудить в нем колебания, то возникшая стоячая волна должна удовлетворять условию: на обоих концах стержня существует пучность. Так же как и в предыдущем случае, между длиной стержня и длинами волн возникает связь: Следовательно, формула собственных частот будет той же самой.

Отличие от предыдущего случая заключается в распределении узлов и пучностей. В основном колебании центр стержня покоится (узел). Если возбуждена вторая гармоника, то в центре стержня будет пучность, далее через четверть длины волны — узлы и на краях — пучности.

Стержень, закрепленный в одном конце

В этом случае на одном конце должен быть узел, а на другом — пучность. При колебании с основной частотой стержень имеет форму, соответствующую одной четверти периода синусоиды. Так как расстояние между узлом и пучностью равно то связь между длинами волн и длиной стержня дается условием

Собственные частоты колебаний такого стержня выразятся формулой

Если в первых двух случаях частоты относились друг к другу, как целые числа, то теперь отношение частот дается отношением нечетных чисел.

Стержень, закрепленный в середине, будет в этом месте иметь узел, а на концах — пучности. Задача ничем не отличается от рассмотренной.

Граничные условия, которые использовались при рассмотрении колебательного состояния стержней, являются предельным случаем граничных условий отражения волн, изложенных на стр. 111., Как было выяснено ранее, при отражении от границы, отделяющей среду от среды с большим сопротивлением, происходит отражение волны смещения с потерей полволны. Если стержень закреплен, то волна вовсе не проникает во вторую среду. В этом случае можно говорить о бесконечно большом сопротивлении второй среды. Коэффициент отражения становится равным единице и отражение происходит с потерей полволны. Нетрудно видеть, что это соответствует наличию узла на границе двух сред. Отражение волны от незакрепленного конца стержня соответствует отражению от среды с нулевым сопротивлением. Равенство коэффициента отражения единице-и отсутствие потери полволны приводят к необходимости существования пучности на такой границе.

Продольные собственные колебания могут быть также возбуждены в столбах жидкости и столбах газа. Поперечные собственные колебания легко возбудить в зажатой и натянутой струне. Распределение узлов н пучностей будет, разумеется, таким же, как и для закрепленного с обоих концов стержня. Набор частот выразится формулой, аналогичной приведенной для стержня, с тем лишь различием, что в выражении скорости поперечной волны в струне надо заменить на натяжение струны, т. е. на частное от деления силы, натягивающей струну, на поперечное сечение струны.

Собственные колебания двумерных и трехмерных систем

В стержнях, струнах, воздушных столбах поверхности равной фазы представляют собой параллельные плоскости. Колебательное состояние можно представить себе как результат наложения плоских волн, распространяющихся вдоль одной линии. Однако возможны и более сложные случаи, а именно такие, когда колебательным движением захвачена двумерная область (пластинка, мембрана) или тело, все три размера которого имеют одинаковый порядок величины.

С двумерными задачами мы сталкиваемся, рассматривая колебания упругих и жестких диафрагм. Колебания разного типа возникнут, если в одном случае закрепить пластинку по краям, а в другом — укрепить ее в одной точке или даже не закреплять вовсе. Кроме колебаний жестких пластинок наблюдают колебания натянутых нежестких пленок — резиновых, мыльных и пр.

Общие закономерности свободных колебаний в этом случае в принципе не отличаются от рассмотренных. Ввиду двумерности задачи узлы и пучности должны характеризоваться теперь кривыми линиями. Например, круглая закрепленная по краям пластинка совершает основное колебание, имея единственную пучность в центре круга. Центральная точка колеблется с максимальной амплитудой, а далее амплитуда спадает к закрепленным краям (к узловой окружности) с сохранением круговой симметрии. Так выглядит простейшее колебание основной (самой низкой) частоты. Мембрана может быть возбуждена и в более высоких гармониках, тогда поверхность ее разбивается на участки узловыми линиями. Оказывается, что узловые линии у круглых пластинок могут иметь форму либо окружностей, либо диаметров, проходящих через центр.

Эффектным и простым опытом является демонстрация узловых линий способом Хладни (по имени ученого, предложившего этот способ). Пластинку посыпают песком, а затем ударом или смычком приводят в колебательное состояние. Песок скатывается с пучностей и собирается на узловых линиях. На рис. 65 показано несколько примеров фигур Хладни.

Естественно, наиболее сложным является колебательное состояние сплошного трехмерного тела. Отказываясь от рассмотрения явления в теле сложной формы, мы ограничим себя изучением собственных колебаний прямоугольного параллелепипеда. Если бы в таком теле существовали только стоячие волны, возникшие благодаря сложению волн, бегущих параллельно ребру параллелепипеда, то собственные частоты колебаний ограничивались бы значениями

а волновые числа (так называют величины, обратные длине волны) будут равны
где — любые целые числа,— длины ребер параллелепипеда.

Однако в теле могут распространяться волны, идущие под произвольным углом к границам. Стоячие волны образуются в том случае, если после ряда отражений луч придет в ту же точку, из которой он вышел. Волновое число такого луча должно вычисляться из по правилу сложения векторов. Таким образом,

Ясно, что частоты колебаний для простейших случаев распространения волн параллельно ребрам тела также получатся из этой формулы, если положить отличным от нуля лишь одно из трех целых чисел, входящих в формулу.

Спектр колебания трехмерного тела изображается в трехмерном пространстве (рис. 66), которое можно назвать пространством частот, или обратным пространством. Если величины откладывать соответственно по трем осям, то возникнет решетка, (обратная решетка), каждый узел которой представляет одну из собственных частот колебания тела за номерами Радиус-вектор обратного пространства, проведенный в узел решетки, равняется возможной частоте колебания. Если провести сферу радиусом то в нее попадут все точки, изображающие частоты, меньшие Объем такой сферы равен объем каждой ячейки обратной решетки

равен — объем тела. Следовательно, число собственных колебаний тела с частотами, меньшими (число узлов в октанте сферы), выражается формулой

Эта интересная закономерность показывает, что число собственных частот резко возрастает, если мы начнем увеличивать интервал частот, подлежащий рассмотрению. При больших частотах дискретный характер спектра начинает смазываться, частоты становятся весьма близкими друг к другу.

Вынужденные колебания стержней и пластинок

Если колебания стержня, пластинки или иного тела происходят не в вакууме, а в какой-либо среде *), жидкой или газообразной, то некоторая часть интенсивности, зависящая, как нам известно, от отношения волновых сопротивлений соприкасающихся сред, переходит из колеблющегося тела в среду. Можно выразить эту же мысль короче: колеблющееся тело излучает энергию. Благодаря излучению свободные колебания стержня, струны и пр. быстро затухают. Если нужно, чтобы такое тело являлось постоянным источником излучения, то колебания следует возбуждать посторонним источником. Так же как и в случае колебаний точки, подведение энергии может произойти как по схеме автоколебаний, так и созданием вынужденных колебаний.

В зависимости от способа и места подведения внешней энергии можно возбудить, вообще говоря, любую из частот или любую комбинацию собственных частот способного колебаться тела. Можно, например, следующим образом создать вынужденные колебания натянутой струны. Около стальной струны укрепляется электромагнит, питаемый синусоидальным током от звукового генератора. Колебания струны под действием периодически меняющейся внешней поперечной силы станут заметными лишь в случае резонанса. Подбирая разные натяжения струны и варьируя внешнюю частоту, можно продемонстрировать колебание струны на основной частоте, а также и на более высоких обертонах.

Огромное практическое значение имеет создание вынужденных колебаний (стоячих волн) в пьезоэлектрических пластинках и ферромагнитных стержнях. Эти колеблющиеся тела являются источниками ультразвуковые волн.

Ферромагнитные тела обладают свойством удлиняться или укорачиваться под действием магнитного поля. Теория этого явления сложна и мы скажем о ней и в дальнейшем лишь немногое. Пока что для нас достаточно знать, как изменяется длина ферромагнитного стержня в зависимости от напряженности поля. На этот вопрос отвечает рис. 67, из которого следует, что никель и отожженный кобальт укорачиваются в полях любой силы, литой кобальт в малых полях укорачивается, а в больших удлиняется и, наконец, железо удлиняется в малых полях и укорачивается в больших. Так или иначе, любой ферромагнитный стержень будет способен совершать вынужденные колебания при внесении в переменное магнитное поле. Для этой цели стержень помещают обычно в отверстие сердечника трансформатора, через который проходит переменный ток. Чтобы стоячая волна в стержне была достаточно сильной, необходимо работать в условиях резонанса: частота переменного поля должна совпадать с собственной частотой колебания стержня.

Так как стержень закрепляют в середине, то собственная частота колебанийпричем стержень может совершать колебания только на нечетных гармониках. Основная частота для никеля, если подставить значения физических констант, окажется равной

Например, стержень длиной 40 см будет колебаться с основной частотой 6 кГц.

Наиболее распространенным источником ультразвуковых колебаний является пьезокварц.

Колебания пьезоэлектриков

Как будет рассказано ниже (§ 262), все кристаллы, не обладающие в числе своих элементов симметрии центром симметрии, могут обладать пьезоэлектрическим эффектом. Это явление заключается в изменении размеров кристалла под действием электрического поля и, обратно, в возникновении электрического поля в кристалле под действием приложенных к кристаллу сил. При использовании пьезэ-электрика в качестве источника колебаний мы, естественно, интересуемся первым явлением, называемым также электрострикцией, или обратным пьезоэлектрическим эффектом. В качестве пьезоэлектриков употребляют кварц, сегнетову соль, титанат бария,дигидрофос-фат аммония и другие кристаллы. Вообще говоря, имеются сотни известных веществ, которые могли бы в принципе использоваться для той же цели. Однако наличие дополнительных требований (прочность, устойчивость к влаге и пр.), а также, разумеется, желание выбрать кристаллы, дающие наиболее сильный эффект, резко ограничивают практический список веществ.

Кристалл, помещенный в электрическое поле, меняет свои размеры в разных направлениях (по отношению к осям симметрии кристалла) по-разному. Поэтому, вырезая из кристалла стержни или пластинки, различно ориентированные по отношению к осям кристалла, и помещая их между обкладками конденсатора, мы будем получать деформации разного типа. Чаще всего вырезают пластинку кварца или другого пьезоэлектрика таким образом, чтобы под действием электрического поля в ней происходили продольные смещения. Тогда под действием переменного электрического поля в такой пластинке возникнут вынужденные стоячие продольные волны.

Если — толщина пластинки в направлении движения волны, то собственные частоты колебания представятся, как обычно, формулой Для кварца в этой простейшей ориентировке скорость увру-гих волн равна 5400 м/с. Следовательно, основная собственная частота колебания кварцевой пластинки найдется по формуле

(опыт дает несколько иное значение: 2880// кГц).

Амплитуды колебаний зависят от величины прикладываемого поля. Между величиной смещения и напряженностью электрического поля существует линейная зависимость. Прибегают к довольно сильным полям. Кварц — превосходный изолятор, поэтому при толщинах до сантиметра применяются электрические поля порядка 30 000 В/см.

Основным в получении сильного ультразвукового сигнала является резонансный эффект. Смещения под действием статического поля в тысячи раз меньше резонансных смещений, а ведь энергия колебания пропорциональна квадрату смещения.

Если повышать частоту генератора, можно последовательно возбудить пластинку на всех ее обертонах. Частоты наиболее распространенных промышленных ультразвуковых генераторов лежат в пределах от сотен до тысяч килогерц.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Стоячие волны: формулы, характеристики, виды, примеры

Стоячие волны: формулы, характеристики, виды, примеры — Наука

Содержание:

В стоячие волны Это волны, которые распространяются в ограниченной среде, движутся и приходят в части пространства, в отличие от бегущих волн, которые при распространении удаляются от источника, который их породил, и не возвращаются к нему.

Они являются основой звуков, производимых музыкальными инструментами, поскольку легко возникают в закрепленных струнах либо на одном, либо на обоих концах. Они также создаются на плотных мембранах, таких как барабаны, или внутри труб и конструкций, таких как мосты и здания.

Когда у вас есть фиксированная струна на обоих концах, например, у гитары, создаются волны с одинаковой амплитудой и частотой, которые распространяются в противоположных направлениях и объединяются, создавая явление, называемое вмешательство.

Если волны синфазны, пики и впадины выровнены и в результате получается волна с удвоенной амплитудой. В таком случае мы говорим о конструктивном вмешательстве.

Но если мешающие волны не совпадают по фазе, пики одной встречаются с впадинами других, и результирующая амплитуда равна нулю. Тогда речь идет о деструктивном вмешательстве.

Формулы и уравнения

Основными элементами волны, представляющей ее в пространстве и времени, являются ее амплитуда A, длина волны λ и угловая частота ω.

В математическом представлении предпочтительнее использовать k, чем волновое число или количество раз, когда волна встречается на единицу длины. Поэтому он определяется длиной волны λ, которая представляет собой расстояние между двумя долинами или двумя гребнями:

В то время угловая частота относится к периоду или продолжительности полного колебания, например:

А также частота f определяется как:

Также волны движутся со скоростью v в соответствии:

Математическое выражение стоячей волны

Математически мы можем выразить волну синусоидальной функцией или косинусоидальной функцией. Предположим, что у нас есть волны одинаковой амплитуды A, длины волны λ и частоты ω, распространяющиеся вдоль струны и в противоположных направлениях:

Y₁ = A sin (kx — ωt)

При их добавлении находим получившуюся волну и_р:

Y_р = и₁ + и₂ = A sin (kx — ωt) + A sin (kx + ωt)

Чтобы найти сумму, существует тригонометрическое тождество:

грех α + грех β = 2 греха (α + β) / 2. cos (α — β) / 2

По этому тождеству результирующая волна y_р осталось:

Y_р = [2A sin kx]. cos ωt

Расположение узлов и брюшков

Результирующая волна имеет амплитуду A_р = 2Asen kx, который зависит от положения частицы. Тогда в точках, для которых sin kx = 0, амплитуда волны обращается в нуль, т. Е. Отсутствует вибрация.

Поскольку k = 2 π / λ:

(2 π / λ) x = π, 2π, 3π…

х = λ / 2, λ, 3λ / 2 .

В таких местах происходит деструктивная интерференция, которая называется узлы. Они разделены расстоянием, равным λ / 2, как следует из предыдущего результата.

А между двумя последовательными узлами находятся пучности или животы, в котором амплитуда волны максимальна, так как там происходит конструктивная интерференция. Они возникают при:

kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2…

Снова k = 2 π / λ и тогда:

x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4,…

Нормальные режимы на струне

Граничные условия в струне определяют, каковы длины волн и частоты. Если струна длины L закреплена на обоих концах, она не может вибрировать ни на какой частоте, потому что точки, в которых закреплена струна, уже являются узлами.

Кроме того, расстояние между соседними узлами составляет λ / 2, а между узлом и животом λ / 4, таким образом, только для определенных длин волн создаются стационарные волны: те, в которых целое число n из λ / 2 помещается в из:

(λ / 2) = L, где n = 1, 2, 3, 4….

Гармоники

Различные значения, которые принимает λ, называются гармоники. Таким образом, мы имеем:

-Первая гармоника: λ = 2L

-Вторая гармоника: λ = L

-Третья гармоника: λ = 2 L / 3

-Четвертая гармоника: λ = L / 2

Скорость и частота

Хотя кажется, что стоячая волна не движется, уравнение остается в силе:

Теперь можно показать, что скорость, с которой волна распространяется в струне, зависит от натяжения T в ней и ее линейной плотности массы μ (массы на единицу длины) как:

Характеристики стоячих волн

-Когда волны неподвижны, результирующая волна не распространяется так же, как ее компоненты, которые переходят из одной стороны в другую. Есть точки, где y = 0, потому что нет вибрации: узлы, другими словами, амплитуда A_р он становится нулевым.

-Математическое выражение стоячей волны состоит из произведения пространственной части (которая зависит от координаты x или пространственных координат) и временной части.

-Между узлами результирующая черная волна колеблется в одном месте, в то время как волны, которые переходят из одной стороны в другую, не совпадают по фазе там.

-Энергия не переносится точно в узлах, так как она пропорциональна квадрату амплитуды, но задерживается между узлами.

-Расстояние между соседними узлами составляет половину длины волны.

-Точки, в которых закреплена веревка, также считаются узлами.

Типы

Стоячие волны в одном измерении

Волны в неподвижной струне — это примеры стоячих волн в одном измерении, математическое описание которых мы предложили в предыдущих разделах.

Стоячие волны в двух и трех измерениях

Стоячие волны также могут быть представлены в двух и трех измерениях, поскольку их математическое описание немного сложнее.

Примеры стоячих волн

Фиксированные веревки

— Фиксированный трос на одном конце, который колеблется вручную или с помощью поршня на другом, генерирует стоячие волны по всей своей длине.

Музыкальные инструменты

-При игре на струнных инструментах, таких как гитара, арфа, скрипка и фортепиано, также возникают стоячие волны, так как струны имеют разное натяжение и закреплены на обоих концах.

Стоячие волны также создаются в трубках с воздухом, например в органах.

Здания и мосты

Стоячие волны возникают в таких конструкциях, как мосты и здания. Примечательным случаем стал подвесной мост Tacoma Narrows около города Сиэтл, США. Вскоре после открытия в 1940 году этот мост рухнул из-за стоячих волн, созданных ветром внутри.

Частота ветра была соединена с собственной частотой моста, создавая в нем стоячие волны, амплитуда которых увеличивалась, пока мост не рухнул. Это явление известно как резонанс.

Сейш

В портах есть очень любопытное явление под названием сейша, в котором морские волны производят большие колебания. Это связано с тем, что воды в порту довольно замкнутые, хотя океанические воды время от времени проникают через вход в порт.

Воды порта движутся со своей частотой, как и воды океана. Если обе воды равны по своим частотам, большая стоячая волна создается резонансом, как это произошло с мостом Такома.

В сейши Они также могут встречаться в озерах, водохранилищах, бассейнах и других водоемах с ограниченной поверхностью.

Аквариумы

Стоячие волны могут возникать в аквариуме, который несет человек, если частота, с которой человек ходит, равна частоте колебаний воды.

Упражнение решено

Струна гитары имеет L = 0,9 м и линейную массовую плотность μ = 0,005 кг / м. Он подвергается натяжению 72 Н, и его режим колебаний соответствует показанному на рисунке, с амплитудой 2А = 0,5 см.

а) Скорость распространения

б) Частота волны

в) Соответствующее уравнение стоячей волны.

Решение для

v = [72 Н / (0,005 кг / м)] 1/2 = 120 м / с.

Решение б

Расстояние между двумя соседними узлами λ / 2, поэтому:

(2/3) L — (1/3) L = λ / 2

λ = 2L / 3 = 2 x 0,90 м / 3 = 0,60 м.

Поскольку v = λ.f

f = (120 м / с) / 0,60 м = 200 с -1 = 200 Гц.

Решение c

Y_р = [2A sin kx]. cos ωt

Нам нужно подставить значения:

k = 2π / λ = k = 2π / 0,60 м = 10 π / 3

ω = 2π x 200 Гц = 400 π Гц.

Амплитуда 2А уже дается выражением:

2А = 0,5 см = 5 х 10 -3 м.

Y_р = 5 х 10 -3 м. грех [(10π / 3) х]. cos (400πt) =

2.4. Стоячие волны

Помимо бегущих волн предыдущего раздела, в природе существуют и стоячие волны, образующиеся в результате суперпозиции бегущих. Мы постоянно встречаемся с ними в своей практической жизни: когда говорим, поем, слушаем музыку. В этом разделе, после общих математических формул, мы совсем коротко обсуждаем некоторые вопросы музыкальной акустики – в надежде, что эта часть не покажется нашим студентам самой скучной.

Струна, закрепленная на одном конце

Предположим, что струна закреплена неподвижно в точке с координатой и тянется в положительном направлении оси х. Пусть по струне справа налево (то есть в отрицательном направлении оси х) распространяется волна

Дойдя до точки закрепления, волна отразится. Если пренебречь потерями энергии, то амплитуда отраженной волны совпадет с амплитудой падающей волны. Надо учесть также, что при отражении происходит изменение направления движения элемента на обратное (как в упругом ударе шарика о стенку):

Суперпозиция падающей и отраженной волн имеет вид:

Мы видим, что в любой момент времени

Это и есть условие закрепления струны в точке . Воспользовавшись известными формулами тригонометрии для преобразования разности косинусов, записываем (2.53) в виде:

где — наибольшее смещение в стоячей волне.

Мы нашли особый тип колебаний: в каждой точке пространства струна колеблется с частотой и амплитудой , причем все точки струны одновременно достигают своих максимальных отклонений (или проходят положение равновесия), и если мы находимся, например, в узле струны, то есть в точке с координатой

то в любой момент времени эта точка остается узлом. Иными словами, здесь нет движения волны, точки узлов волны (нулевых значений смещения) неподвижны, равно как и точки ее максимумов. Такие колебания и называются стоячими волнами.

Стоячая волна — периодическое колебание с характерным пространственным распределением амплитуды – чередованием узлов (нулей) и пучностей (максимумов). В одномерных (линейных) системах может быть представлена как сумма двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу.

В стоячей волне плотность энергии меняется от точки к точке и зависит от времени, но в отличие от бегущей волны, здесь нет переноса энергии.

Это очевидно хотя бы потому, что точки узлов волны неподвижны, и переноса энергии через них быть не может. Можно рассуждать и иначе: две бегущие волны, образовавшие стоячую, переносят одну и ту же энергию, но в противоположных направлениях, так что оба эти процесса взаимно компенсируются.

На рис. 2.9 показано образование стоячей волны при сложении двух бегущих навстречу друг другу монохроматических волн.

Рис. 2.9. Возникновение стоячей волны

Подставляя найденное решение (2.53) в выражение (2.39), получаем для мгновенного значения плотности энергии стоячей волны выражение