Что такое сумма действительных корней уравнения

Квадратное уравнение. Дискриминант. Теорема Виета.

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дискриминант

Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).

Нахождение корней квадратного уравнения

Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:

D=b 2 –4ac

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:

Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.

D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1

Теорема Виета

Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.

Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.

Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.

Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:

Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.

Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:

Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:

Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный

Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного

Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.

Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):

х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0

Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:

х 2 − 2 х − 24 = 0

Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.

Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Решение (корни) квадратного уравнения

Определение квадратного уравнения и общее понятие о его корнях

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0 , где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0 .

Например, квадратным является уравнение

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0 ,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac , которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности, при нахождении пределов, производных и интегралов;

— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения, чаще всего один, являются обычно конечным решением).

Геометрический смысл решения квадратного уравнения

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c — левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна оси 0y . Число точек пересечения параболы с осью 0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает ось 0x , то квадратное уравнение не имеет действительных корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью 0x .

Три случая после нахождения дискриминанта квадратного уравнения

1. Если дискриминант больше нуля (), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (), то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня, которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (), то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

Решение. Найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, . О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

Решение. Найдём дискриминант:

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

Решение. Найдём дискриминант:

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Решение полных квадратных уравнений

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:

Пример 5. Найти корни квадратного уравнения:

В примере 2 нашли дискриминант этого уравнения:

Применим формулу корней квадратного уравнения . Отсюда , . Найденные корни квадратного уравнения равны друг другу, а это значит, что уравнение имеет единственный корень:

Корни приведённого квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение . Так как , то разделив обе части данного уравнения на a, получим уравнение . Полагая, что и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведённым.

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

Теорема Виета

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a , а произведение равно с/a :

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет действительные корни и , то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней приведённого квадратного уравнения.

Пример 6. Написать приведённое квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.

Иначе говоря, надо найти числа p и q такие, чтобы квадратное уравнение

имело корни и .

По формулам Виета , . Требуемое в условии задачи уравнение имеет вид

Решение неполных квадратных уравнений

Пример 7. Решить квадратное уравнение .

Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, разложим его левую часть на множители. Получим

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: или . Решая уравнение , находим .

Следовательно, произведение обращается в нулю при и при . Поэтому числа 0 и 1/2 являются корнями неполного квадратного уравнения .

Пример 8. Решить квадратное уравнение .

Решение. Чтобы решить данное неполное квадратное уравнение, перенесём в его правую часть свободный член с противоположным знаком и разделим обе части уравнения на 3. Получим уравнение

Так как , то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не имеет действительных корней и эквивалентное ему неполное квадратное уравнение .

Разложение квадратного трёхчлена на множители с применением корней квадратного уравнения

Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно разложить на множители по следующей формуле:

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Корни квадратного уравнения будут следующими:

Разложим квадратный многочлен на множители:

Упростили выражение, проще не бывает:

Пример 10. Упростить выражение:

Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется при решении многих задач высшей математики, например, при нахождении пределов, интегралов, исследовании функций на возрастание и убывание и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде, он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Из истории решения квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39 ).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)² . Она складывается из площади x² + 10x заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх квадратов со стороной 5/2 , равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Различные прикладные задачи на квадратные уравнения

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках. Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом 2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение. Процесс записывается так:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

источники:

http://function-x.ru/sq_equations.html

http://ege-study.ru/kvadratnye-uravneniya-i-kvadratichnye-neravenstva-s-parametrami/