Что такое теплопроводность и уравнение фурье

Закон Фурье – основной закон теплопроводности.

В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры:

,

где Q – тепловой поток, выражается в Вт;

grad(T) – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени), единицы измерения К/м;

S – площадь поверхности теплообмена, м 2 ;

Градиент температуры получится характеризовать в виде векторной суммы составляющих по осям декартовых координат:

,

где i, j, k – ортогональные между собой единичные векторы, нацеленные по координатным осям.

Значит, данный закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности.

Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока принимает вид:

.

Знак « минус» обозначает, что векторы теплового потока и градиента температуры разнонаправленные. Следует понимать, что теплота передается в направлении спада температуры.

И все же не лишним будет указать, что закон Фурье не принимает в расчет инерционность процесса теплопроводности, иначе говоря, в представленной модели колебание температуры в любой точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье некорректно применять для характеристики высокочастотных процессов таких как, к примеру, распространение ультразвука, ударной волны.

Закон Фурье | Все это важно с 6 часто задаваемыми вопросами

Content

Закон теплопроводности Фурье

Закон Фурье теплопроводности может иметь следующий вид:

«Скорость теплопередачи от материала или образца прямо пропорциональна площади поперечного сечения (перпендикулярной площади), через которую проходит тепло, и разности температур вдоль торцевых поверхностей материала».

Мы можем записать это утверждение математически как,

q = скорость теплопередачи в ваттах (Вт или Дж / с)

K = теплопроводность материала или образца (Вт / м · K)

A = Площадь поперечного сечения, через которую проходит тепло, в м 2

dT = разница температур между горячей и холодной сторонами в K (Кельвинах)

dx = Толщина материала в м (толщина между горячей и холодной стороной)

Самое важное: здесь в уравнении отрицательный знак означает, что тепло всегда течет в направлении уменьшения температуры.

Уравнение закона Фурье

Уравнение закона теплопроводности получено выше. Он широко используется для решения задач теплопроводности и анализа. Суть уравнения остается прежней, но параметры меняются в зависимости от формы и положения объекта.

Сферические координаты закона Фурье

Закон теплопроводности, примененный к цилиндру и уравнению, приведен ниже:

Здесь, в любом месте

r — радиус рассматриваемого цилиндрического участка,

Цилиндрические координаты закона Фурье

Закон теплопроводности, применяемый к цилиндру и уравнению, приведен ниже:

в любом месте площадь A = 2πrL,

r — радиус рассматриваемого цилиндрического участка,

Эксперимент с законом Фурье

Перенос тепла проводимостью происходит за счет микроскопической диффузии и столкновений молекул или квазичастиц внутри объекта из-за разницы температур. Если мы видим микроскопически, то диффузный и сталкивающийся любой материал включает в себя молекулы, электроны, атомы.

Обычно у металлов есть свободная подвижность электронов внутри объекта. Это причина его хорошей проводимости.

Рассмотрим двухблочный A и B,

Блок А очень горячий

Блок Б холодный

Предположим, мы соединяем эти два блока и изолируем все остальные внешние поверхности. Изоляция предназначена для уменьшения потерь тепла от блока. Вы можете быстро понять, что тепловая энергия будет перетекать от горячего блока к холодному. Передача тепла будет продолжаться до тех пор, пока оба блока не достигнут одинаковой температуры (температурного равновесия).

Это один из способов передачи тепла в обоих блоках. Это кондуктивный режим теплопередачи. Используя уравнение закона теплопроводности, мы можем рассчитать теплопередачу с помощью этого эксперимента. Выполнение в лаборатории теплопередачи (машиностроение и химическая инженерия) очень информативно и важно с практической точки зрения.

История закона Фурье

Фурье начал свою работу по выражению теплопроводности в 1822 году. Он также дал понятие ряда Фурье и интеграла Фурье. Он был математиком. Его закон теплопроводности хорошо известен благодаря его имени «закон теплопроводности Фурье».

Единицы закона Фурье

Для теплопередачи сформулирован закон Фурье теплопроводности. Итак, мы можем рассматривать для него единицу теплоотдачи. Единицей теплоотдачи является ватт (Дж / с) Вт.

Допущения закона Фурье

Есть некоторые предположения о законе теплопроводности Фурье. Закон применяется только при соблюдении и соблюдении следующих условий.

• Кондуктивная теплопередача будет происходить в стационарных условиях объекта.
• Поток тепла должен быть однонаправленным.
• Температурный градиент должен быть постоянным на протяжении всего процесса, а температурный профиль должен быть линейным.
• Внутреннее тепловыделение должно быть нулевым.
• Ограничивающие поверхности должны быть должным образом изолированы.
• Материал должен быть однородным и изотропным.

Пример закона теплопроводности Фурье

Есть много примеров закона теплопроводности в повседневной жизни. Некоторые примеры обсуждаются ниже.

В кружке горячий кофе. Теперь вы знаете, что тепло будет передаваться с горячей стороны на холодную. Здесь передача тепла происходит от внутренней стенки к внешней стенке кружки. Это кондуктивный перенос тепла, основанный на законе теплопроводности Фурье.

В качестве примера можно рассмотреть стену нашего дома.

Если в стержне происходит внутреннее тепловыделение, тепло будет течь во внутренней части к внешним поверхностям.

Можно потрогать любое электрическое и электронное оборудование. Вы получите немного тепла. Все эти устройства могут быть примером закона Фурье.

Число Фурье

Это безразмерное число, полученное с помощью безразмерного уравнения теплопроводности..

Число Фурье обозначается F_o

L — длина пластины (диаметр в случае цилиндра) в м.

K — коэффициент градиентного переноса

Поток закона Фурье

Согласно информации закон теплопроводности,

Тепловой поток можно определить как тепловой поток на единицу площади в единицу времени прямо пропорционален разнице температур между горячей и холодной стороной (температурный градиент).

Тепловой поток

Тепловой поток можно определить как тепловой поток на единицу площади в единицу времени прямо пропорционален разнице температур между горячей и холодной стороной (температурный градиент).

Уравнение теплового потока

Уравнение теплового потока приведено ниже.,

q- тепловой поток в Вт / м 2

K — теплопроводность, Вт / м · K

ΔT / ΔX — температурный градиент,

Агрегаты теплового потока

Единица теплового потока — Вт / м 2

Часто задаваемые вопросы

Что такое закон Фурье

«Скорость теплопередачи через материал или образец прямо пропорциональна площади поперечного сечения, через которую проходит тепло, и разности температур вдоль торцевых поверхностей материала».

Мы можем записать это утверждение математически как,

q = скорость теплопередачи в ваттах (Вт или Дж / с)

K = теплопроводность материала или образца (Вт / м · K)

A = Площадь поперечного сечения, через которую проходит тепло, в м 2

dT = разница температур между горячей и холодной сторонами в K (Кельвинах)

dx = Толщина материала в м (толщина между горячей и холодной стороной)

Самое важное: здесь в уравнении отрицательный знак означает, что тепло всегда течет в направлении уменьшения температуры.

Каковы предположения закона теплопроводности Фурье?

Есть некоторые предположения о законе теплопроводности Фурье. Закон применяется только при соблюдении и соблюдении следующих условий. Закон теплопроводности Фурье можно сравнить с законом охлаждения Ньютона и законом диффузии Фика. Допущения в каждом законе разные.

1. Кондуктивная теплопередача будет происходить в стационарных условиях объекта.
2. Поток тепла должен быть однонаправленным.

1. Температурный градиент не изменится, а температурный профиль должен быть линейным.
2. Внутреннее тепловыделение должно быть нулевым.
3. Ограничивающие поверхности должны быть должным образом изолированы.
4. Материал должен быть однородным и изотропным.

Что является доказательством закона теплопроводности Фурье и отрицательного градиента?

Доказательство закона теплопроводности Фурье уже дано в теме «Закон Фурье».

Отрицательный градиент используется, потому что тепло всегда течет при понижении температуры.

Этот вопрос очень важен для собеседования, потому что интервьюер всегда старается проверить ваши фундаментальные знания.

Чем закон теплопроводности Фурье противоречит теории относительности?

Закон Фурье противоречит теории относительности из-за его мгновенного распространения тепла через диффузию тепла. Если мы рассмотрим зависящую от времени диффузию тепла с помощью уравнения в частных производных, то рост теплового потока будет со временем релаксации. На этот раз порядка 10 -11 . Распространение тепла в природе занимает бесконечное время. Время релаксации незначительно.

Если исключить время релаксации, уравнение станет законом теплопроводности Фурье. Это нарушает популярную теорию Эйнштейна (теория относительности). Скорость света в вакууме составляет 2.998 * 10. 8

Чем физика, лежащая в основе закона Фурье, отличается от физики, лежащей в основе закона охлаждения Ньютона

Как мы уже знаем, закон Фурье используется для теплопроводности, а закон охлаждения Ньютона — для конвективной теплопередачи. Предположим, у вас есть вопрос, почему для анализа скорости теплопередачи требуются два разных закона. Причина в том, что режимы теплопередачи отличаются от индивидуальной физики.

Перенос тепла проводимостью происходит за счет микроскопической диффузии и столкновений молекул или квазичастиц внутри объекта из-за разницы температур. Если мы видим микроскопически, то диффузный и сталкивающийся любой материал включает в себя молекулы, электроны, атомы. Они передают друг другу кинетическую и потенциальную энергию микроскопически. Эта энергия известна как внутренняя энергия объекта. Закон гласит, что теплопроводность является законом Фурье.

Конвекционную теплопередачу в любом объекте можно определить как теплопередачу от одной молекулы к другой за счет перемещения жидкостей или потока жидкости. Закон охлаждения Ньютона определяет конвекционную теплопередачу.

Физика, используемая для отдельного процесса, различна. Следовательно, регулирующий закон для человека отличается.

В чем сходство между законом вязкости Ньютона, законом теплопроводности Фурье и законом диффузии Фика?

Это аналогия между этими уравнениями.

Закон Фурье теплопроводности

В нем описан процесс теплопроводности. Уравнение можно записать следующим образом:

Уравнение теплового потока приведено ниже.,

q- тепловой поток в Вт / м 2

K — теплопроводность, Вт / м · K

ΔT / ΔX — температурный градиент,

Закон диффузии Фика

Он используется для описания и определения процесса массопереноса. Уравнение массопереноса можно записать следующим образом:

(dC / dx) — градиент концентрации

D — коэффициент диффузии транспортных свойств

Закон вязкости Ньютона

Он используется для передачи импульса и широко используется для изучения вязкости любой жидкости.

Здесь (du / dx) — градиент скорости

μ — вязкость жидкости

Таким образом, вы можете сразу проанализировать три разных закона относительности этих уравнений.

Чтобы прочитать больше статей по соответствующей теме, пожалуйста нажмите сюда

Последнее сообщение о машиностроении

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п\ так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.