Что такое тригонометрическое уравнение определение

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $=<180>/<π>≈57$ градусов

Значения тригонометрических функций некоторых углов

• Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

• Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Вычислить $cos 840°$

У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.

$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$

По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$

$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

3. $sin^ <2>α+cos^ <2>α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ — это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус.

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.

Арккосинус

Если, $|а|≤1$, то $arccos а$ – это такое число из отрезка $[0;π]$, косинус которого равен $а$.

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

Уравнение вида $cos t=a$, eсли, $|а|≤1$, имеет решение

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = 0, t = <π>/<2>+πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Найдите наименьший положительный корень уравнения сos $<2πx>/<3>=-<√3>/<2>$

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на $<2π>/<3>$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения

Нам подходит $1.25$ – это и есть результат

Арксинус

Если, $|а|≤1$, то $arcsin a$ – это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, синус которого равен $а$.

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

Если, $|а|≤1$, то уравнение $sin t =a$ можно решить и записать двумя способами:

1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg a$ — это такое число, из отрезка $[-<π>/<2>;<π>/<2>]$, тангенс которого равен $а.$

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Здравствуй, уважаемый посетитель!

Меня зовут Александр Бабаев. И это мой сайт.Он посвящён не только математике. Вы найдёте здесь много интересных и полезных, я надеюсь, для себя вещей.
Кроме того, что здесь выкладываются интересные задачки, разбираются непонятные моменты и осуществляется помощь в решении трудных задач, на сайте выкладывается фото и видео мероприятий, которые я провожу, в блоге вы найдёте обсуждение различных проблем с которыми я сталкиваюсь и могу поделиться с вами, дорогой посетитель.
Для моих замечательных студентов есть специальный раздел, где они могут посмотреть всё, что им нужно для овладевания курсом математики.
Более того, в специальных разделах я публикую мои рецензии на просмотренные мной фильмы и игры.

Что такое тригонометрическое уравнение определение

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: