Что такое удельная энергия в уравнении бернулли

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли для струйки жидкости формулируется следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Уравнение Бернулли выглядит так:

Подробное описание всех входящих в состав уравнения параметров уже описан в этой статье.

Содержание статьи

Смысл уравнения Бернулли

По существу вывода уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Это следует из того, что в процессе вывода значения работы сил, приложенных к выделенному объему струйки и значения кинетической энергии этого объема были поделены на величину ρqΔT.

Отсюда вытекает, что поскольку член υ 2 /2 является мерой кинетической энергии единицы массы движущейся жидкости, то сумма членов gz+p/ρ будет мерилом ее потенциальной энергии.

В отношении величины gz это очевидно, ведь если частица жидкости массы m расположена на высоте z относительно некоторой плоскости и находится под действием сил тяжести, то способность ее совершить работу, т.е. её потенциальная энергия относительно этой плоскости равняется mgz. Но если её поделить на массу частиц m, то эта часть потенциальной энергии даст величину gz.

Для более ясного физического представления о том, что потенциальная энергия измеряется величиной p/ρ рассмотрим такую схему: пусть к трубе, заполненной жидкостью с избыточным давлением p, присоединен пьезометр, снабженный на входе в него краном.

Кран сначала закрыт, т.е. пьезометр свободен от жидкости, а элементарный объем жидкости ΔV массой ρ*ΔV перед краном находится под давлением p.

Если затем открыть кран, то жидкость в пьезометре поднимется на некоторую высоту, равную

Таким образом, единица массы, находящейся под давлением p, как бы несет в себе ещё заряд потенциальной энергии, определяемой величиной p/ρ.

В гидравлике для характеристики удельной энергии обычно используется понятие напор, под которым понимают энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести, а не её массы. В соответствии с этим уравнение Бернулли записанное в начале этой статьи примет вид

Такое уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости в другой форме, весьма удобно для гидравлических расчетов и может быть сформулировано следующим образом.

Для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех её сечениях.

Отсюда следует, что между напором и удельной энергией существует очень простая зависимость

где э – удельная энергия

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную, то уравнение Бернулли для реальной жидкости должно принять несколько другой вид.

При движении идеальной жидкости её полная удельная энергия или напор сохраняет постоянное значение по длине струйки, а при движении реальной жидкости эта энергия будет убывать по направлению движения. Причиной этого являются затраты энергии на преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением в вязкой жидкости.

Если же мы рассмотрим два сечения для струйки идеальной жидкости: 1-1 в начале и 2-2 в конце струйки, то полная удельная энергия будет

Полная удельная энергия для сечения 1-1 всегда будет больше, чем полная удельная энергия для сечения 2-2 на некоторую величину потерь, и уравнение Бернулли в этом случае получается

Величина Э_1-2 представляет собой меру энергии, потерянную единицей массы жидкости на преодоление сопротивлений при её движениями между указанными сечениями.

Соответствующий этой потере удельной энергии напор называют потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2 и обозначают h_1-2 . Поэтому уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости можно представить в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости это еще только половина дела, ведь в при решении различных практических вопросов о движении жидкостей приходится иметь дело с потоками конечных размеров. Уравнение Бернулли в этом случае может быть получено, исходя из рассмотрения потока как совокупности множества элементарных струек.

Учитывая, что все струйки движутся с одной и той же средней скоростью форма записи уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости становится идентичной его записи для элементарной струйки.

В таком виде уравнение Бернулли обычно и применяется при решении практических задач для потоков однородной несжимаемой жидкости при установившемся движении, происходящем под действием одной силы тяжести.

Такое уравнение составляется для различных живых сечений потока, вблизи которых движение жидкости должно удовлетворять условиям медленно изменяющегося движения, хотя на пути между этими сечениями движение может и не удовлетворять указанным условиям.

Слагаемое h_1-2 в этом уравнении показывает потери напора на преодоление сопротивлений движению жидкости. При этом в гидравлике различают два основных вида сопротивлений:
— h_лп — линейные потери — сопротивления, проявляющиеся по всей длине потока, обусловленные силами трения частиц жидкости друг о друга и о стенки, ограничивающие поток.
— h_мп — местные потери – местные сопротивления, обусловленные различного рода препятствиями, устанавливаемыми в потоке (задвижка, кран, колено), приводящими к изменениям величины или направления скорости течения жидкости

Поэтому полная потеря напора между двумя сечениями потока при наличии сопротивлений обоих видов будет

Видео по теме

Уравнение Бернулли подходит и для газов. Явление уменьшения давления при повышении скорости потока является основой работы различных приборов для измерения расхода. Закон Бернулли справедлив и для жидкостей вязкость которых равна нулю. При описании течения таких жидкостей используют уравнение Бернулли с добавлением слагаемых учитывающих потери на местные сопротивления.

Энергетический смысл уравнения Бернулли

Определения

Элементарная струйка – струйка жидкости, боковая поверхность которой образована линией тока, проходящей через бесконечно малый замкнутый контур. Распределение скоростей по поперечному сечению элементарной струйки считается равномерным, по причине малости площади поперечного сечения, поэтому коэффициент Кориолиса равен единице.

Идеальная жидкость – модель жидкости, применяемая для расчётов реальных гидродинамических процессов.

Для идеальной жидкости приняты следующие допущения:

· отсутствуют касательные напряжения между слоями жидкости, следовательно,

отсутствует вязкость жидкости, следовательно, отсутствует трение между слоями жидкости, следовательно, в жидкости отсутствуют потери напора;

· жидкость является не сжимаемой;

· в жидкости отсутствует теплопроводность, т.е. жидкость не изменяет свой объём при изменении температуры;

· поток жидкости является сплошным, т.е. в жидкости отсутствуют места пустот или переуплотнений.

Виды уравнения Бернулли

Для элементарной струйки идеальной жидкости

Для элементарной струйки коэффициент Кориолиса равен единице, в идеальной жидкости отсутствуют потери, поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид:

(1)

Для потока реальной жидкости

Для потока жидкости коэффициент Кориолиса будет иметь значение отличное от единицы, и зависеть от режима течения, для ламинарного режима α = 2, для турбулентного режима α = 1,05-1,1. Реальная жидкость имеет вязкость, следовательно, в реальной жидкости будут потери напора, поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид:

Геометрический смысл уравнения Бернулли

Рассмотрим уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости (1).

В уравнении (1) все три слагаемых имеют линейную размерность [м]. Соответственно каждую высоту можно представить в виде реальных отрезков:

геометрическая высота, представляет собой расстояние от оси элементарной струйки (трубопровода) до поверхности земли.

пьезометрическая высота, показывает на какую высоту, может подняться жидкость под действием избыточного давления в данной точке, при условии, что на свободную поверхность действует давление внешней газообразной среды (т.е. атмосферное давление).

скоростная высота, показывает высоту, при падении с которой, частица жидкости достигла бы скорости .

Рис. 1 Иллюстрация геометрического смысла уравнения Бернулли.

1 – элементарная струйка; 2 – пьезометр; 3 – трубка Пито (прибор для измерения скоростной высоты).

Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: по длине элементарной струйки сумма трёх слагаемых уравнения Бернулли остаётся величиной постоянной и равной величине полного напора Н [м].

(2)

Энергетический смысл уравнения Бернулли

Умножим каждое слагаемое уравнения (2) на величину ускорения свободного падения:

В итоге получаем слагаемые, который можно описать с точки зрения энергии:

где удельная потенциальная энергия положения, т.е. если поднять жидкость массой 1 кг на высоту , то она будет иметь потенциальную энергию ;

удельная потенциальная энергия давления;

удельная кинетическая энергия;

полная удельная механическая энергия элементарной струйки.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в следующем: по длине элементарной струйки сумма трёх удельных энергий остаётся величиной постоянной и равной величине полной удельной механической энергии Е [Дж]. Возможна и другая формулировка: уравнение Бернулли – это есть закон сохранения энергии для элементарной струйки (потока) жидкости, который отображает взаимный переход кинетической и потенциальной энергии.

Потери

В потоке реальной жидкости в уравнение Бернулли добавляется слагаемое , которое

представляет собой величину потерь напора. Запишем уравнение Бернулли для двух произвольных сечений потока жидкости:

С геометрической точки зрения потери отображаются отрезком, расположенным над скоростным напором, при этом потери отображаются во втором сечении.

Рис. 2. Иллюстрация потерь напора.

С энергетической точки зрения это величина, показывающая, сколько энергии жидкость тратит на преодоление различных сопротивлений при переходе из первого сечения во второе сечение.

6. Порядок проведения расчётов:

1. Определить величину расхода жидкости:

2. Поскольку диаметры d₁=d₃, дальнейшие расчёты для широких частей трубопровода будут одинаковы. Поэтому будем проводить расчёт для одной широкой части трубопровода, при этом параметры жидкости, обозначая через индекс _1-3

Определить площади поперечного сечения трубопроводов S_1-3, S₂ [м];

3. Определить скорость течения жидкости:

4. Определить режим течения жидкости:

5. Определить величины скоростного напора: ;

6. На листе А4 построить график, зависимости изменения пьезометрического напора от

длины сечения трубопровода.По оси Х откладываются расстояния между точками, к которым подключены пьезометры. Расстояния равны: А=25см, В=12,5 см

Рис. 3 Условное изображение исследуемого

трубопровода с точками подключения пьезометров.

По оси Y откладываются показания соответствующих пьезометров. В результате получится шесть точек, который соединяются ломаной линией. Поскольку экспериментальные исследования проводились для трёх различных случаев, поэтому в результате мы имеем три графика в одной системе координат.

7. На листе А4 построить график, зависимость изменения скоростного напора от длины

сечения трубопровода.По оси Х откладывается расстояние между точками, к которым подключены пьезометры. Расстояния равны: А=25см, В=12,5 см.

По оси Y откладываются значения скоростного напора. Поскольку экспериментальные исследования проводились для трёх различных случаев, поэтому в результате мы имеем три графика в одной системе координат.

8. Вывод о работе с описанием графиков

Таблица 1. Результаты опыта

Что такое удельная энергия в уравнении бернулли

29. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Пусть теперь имеем установившееся движение жидкости, которая невязкая, несжимаемая.

И пусть она находится под воздействием сил тяжести и давления, тогда уравнение Бернулли имеет вид:

Теперь требуется идентифицировать каждое из слагаемых. Потенциальная энергия положения Z – это высота элементарной струйки над горизонтальной плоскостью сравнения. Жидкость с массой М на высоте Z от плоскости сравнения имеет некоторую потенциальную энергию MgZ. Тогда

Это та же потенциальная энергия, отнесенная к единичной массе. Поэтому Z называют удельной потенциальной энергией положения.

Движущаяся частица с массой Ми скоростью u имеет вес MG и кинематическую энергию U2/2g. Если соотнести кинематическую энергию с единичной массой, то

Полученное выражение есть не что иное, как последнее, третье слагаемое в уравнении Бернулли. Следовательно, U 2 / 2 – это удельная кинетическая энергия струйки. Таким образом, общий энергетический смысл уравнения Бернулли таков: уравнение Бернулли представляет собой сумму, содержащую в себе полную удельную энергию сечения жидкости в потоке:

1) если полная энергия соотнесена с единичной массой, то она есть сумма gz + p/ρ + U 2 / 2;

2) если полная энергия соотнесена с единичным объемом, то ρgz + p + pU 2 / 2;

3) если полная энергия соотнесена единичному весу, то полная энергия есть сумма z + p/ρg + U 2 / 2g. Не следует забывать, что удельная энергия определяется относительно плоскости сравнения: эта плоскость выбирается произвольно и горизонтально. Для любой пары точек, произвольно выбранной из потока, в котором установившееся движение и который движется потенциальноовихрево, а жидкость невязко-несжимаемая, суммарная и удельная энергия одинаковы, то есть распределены по потоку равномерно.

30. Геометрический смысл уравнения Бернулли

Основу теоретической части такой интерпретации составляет гидравлическое понятие напор, которое принято обозначать буквой Н, где

Гидродинамический напор Н состоит из следующих разновидностей напоров, которые входят в формулу (198) как слагаемые:

1) пьезометрический напор, если в (198) p = p_изг, или гидростатический, если p ≠ p_изг;

2) U 2 /2g – скоростной напор.

Все слагаемые имеют линейную размерность, их можно считать высотами. Назовем эти высоты:

1) z – геометрическая высота, или высота по положению;

2) p/ρg – высота, соответствующая давлению p;

3) U 2 /2g – скоростная высота, соответствующая скорости.

Геометрическое место концов высоты Н соответствует некоторой горизонтальной линии, которую принято называть напорной линией или линией удельной энергии.

Точно так же (по аналогии) геометрические места концов пьезометрического напора принято называть пьезометрической линией. Напорная и пьезометрическая линии расположены друг от друга на расстоянии (высоте) p_атм/ρg, поскольку p = p_изг + pат, т. е.

Отметим, что горизонтальная плоскость, содержащая напорную линию и находящаяся над плоскостью сравнения, называется напорной плоскостью. Характеристику плоскости при разных движениях называют пьезометрическим уклоном J_п, который показывает, как изменяется на единице длины пьезометрический напор (или пьезометрическая линия):

Пьезометрический уклон считается положительным, если он по течению струйки (или потока) уменьшается, отсюда и знак минус в формуле (3) перед дифференциалом. Чтобы J_п остался положительным, должно выполняться условие

31. Уравнения движения вязкой жидкости

Для получения уравнения движения вязкой жидкости рассмотрим такой же объем жидкости dV = dxdydz, который принадлежит вязкой жидкости (рис. 1).

Грани этого объема обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Рис. 1. Силы, действующие на элементарный объем вязкой жидкости в потоке

Будем считать, что для любой точки жидкости

Тогда из шести касательных напряжений остается только три, поскольку попарно они равны. Поэтому для описания движения вязкой жидкости оказываются достаточными всего шесть независимых компонентов:

Аналогичное уравнение легко можно получить для осей O_Y и O_Z; объединив все три уравнения в систему, получим (предварительно разделив на ρ)

Полученную систему называют уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях.

32. Деформация в движущейся вязкой жидкости

В вязкой жидкости имеются силы трения, в силу этого при движении один слой тормозит другой. В итоге возникает сжатие, деформация жидкости. Из-за этого свойства жидкость и называют вязкой.

Если вспомнить из механики закон Гука, то по нему напряжение, которое возникает в твердом теле, пропорционально соответствующей относительной деформации. Для вязкой жидкости относительную деформацию заменяет скорость деформации. Речь идет об угловой скорости деформации частицы жидкости dΘ/dt, которую поодругому называют скоростью деформации сдвига. Еще Исааком Ньютоном установлена закономерность о пропорциональности силы внутреннего трения, площади соприкосновения слоев и относительной скорости слоев. Также им был установлен

коэффициент пропорциональности динамической вязкости жидкости.

Если выразить касательное напряжение через его компоненты, то

А что касается нормальных напряжений (τ —это касательная составляющая деформации), которые зависимы от направления действия, то они зависят также от того, к какой площади они приложены. Это их свойство называют инвариантностью.

Сумма значений нормальных напряжений

Чтобы окончательно установить зависимость между pudΘ/dt через зависимость между нормальными

где p′_xx– добавочные нормальные напряжения, которые и зависят от направления воздействия, по

аналогии с формулой (4) получим:

Сделав то же самое для компонентов p_yy, p_zz, получили систему.

33. Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости

Элементарная струйка при установившемся движении вязкой жидкости

Уравнение для этого случая имеет вид (приводим его без вывода, поскольку его вывод сопряжен с применением некоторых операций, приведение которых усложнило бы текст)

Потеря напора (или удельной энергии) h_Пp – результат того, что часть энергии превращается из механической в тепловую. Поскольку процесс необратим, то имеет место потеря напора.

Этот процесс называется диссипацией энергии.

Другими словами, h_Пp можно рассматривать как разность между удельной энергией двух сечений, при движении жидкости от одного к другому происходит потеря напора. Удельная энергия – это энергия, которую содержит единичная масса.

Поток с установившимся плавно изменяющемся движением. Коэффициент удельной кинематической энергии Х

Для того, чтобы получить уравнение Бернулли в этом случае, приходится исходить из уравнения (1), то есть из струйки надо переходить в поток. Но для этого нужно определиться, что представляет собой энергия потока (которая состоит из суммы потенциальной и кинематической энергий) при плавно изменяющемся потоке

Разберемся с потенциальной энергией: при плавном изменении движения, если поток установившийся

Окончательно при рассматриваемом движении давление по живому сечению распределено согласно гидростатическому закону, т. е.

где величину Х называют коэффициентом кинетической энергии, или коэффициентом Кориолиса.

Коэффициент Х всегда больше 1. Из (4) следует:

34. Гидродинамический удар. Гидро– и пьезо– уклоны

В силу плавности движения жидкости для любой точки живого сечения потенциальная энергия Еп = Z + p/ρg. Удельная кинетическая Еk= Xυ 2 /2g. Поэтому для сечения 1–1 полная удельная энергия

Сумму правой части (1) также называют гидродинамическим напором Н. В случае невязкой жидкости U 2 = xυ 2 . Теперь остается учесть потери напора h_пр жидкости при ее движении к сечению 2–2 (или 3–3).

Например, для сечения 2–2:

Следует отметить, что условие плавной изменяемости должно быть выполнено только в сечениях 1–1 и 2–2 (только в рассматриваемых): между этими сечениями условие плавной изменяемости необязательно.

В формуле (2) физический смысл всех величин приведен ранее.

В основном все так же, как и в случае с невязкой жидкостью, основная разница в том, что теперь напорная линия Е = Н= Z + p/ρg + Xυ 2 /2g не параллельна к горизонтальной плоскости сравнения, поскольку имеет места потери напора

Степень потери напора hпр по длине называют гидравлическим уклоном J. Если потеря напора h_пр происходит равномерно, то

Числитель в формуле (3) можно рассматривать как приращение напора dH на длине dl.

Поэтому в общем случае

Знак минус перед dH/dl – потому, что изменение напора по его течению отрицательно.

Если рассмотреть изменение пьезометрического напора Z + p/ρg, то величину (4) называют пьезометрическим уклоном.

Напорная линия, она же линия удельной энергии, находится выше пьезометрической линии на высоту u 2 /2g: здесь то же самое, но только разница между этими линиями теперь равна xυ 2 /2g. Эта разница сохраняется также при безнапорном движении. Только в этом случае пьезометрическая линия совпадает со свободной поверхностью потока.

35. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости

Для того, чтобы получить уравнение Бернулли, придется определить его для элементарной струйки при неустановившемся движении вязкой жидкости, а затем распространять его на весь поток

Прежде всего, вспомним основное отличие неустановившегося движения от установившегося. Если в первом случае в любой точке потока местные скорости изменяются по времени, то во втором случае таких изменений нет.

Приводим уравнение Бернулли для элементарной струйки без вывода:

здесь учтено, что υω = Q; ρQ = m; mυ = (КД)_υ.

Так же, как и в случае с удельной кинетической энергией, считать (КД)_υ не таккто просто. Чтобы считать, нужно связать его с (КД)_υ. Для этого служит коэффициент количества движения

Коэффициент a′ принято называть еще и коэффициентом Бусинеска. С учетом a′, средний инерционный напор по живому сечению

Окончательно уравнение Бернулли для потока, получение которого и являлось задачей рассматриваемого вопроса имеет следующий вид:

Что касается (5), то оно получено из (4) с учетом того, что dQ = wdu; подставив dQ в (4) и сократив ω, приходим к (6).