Уравнения фигур
Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.
Содержание:
Понятие уравнения фигур
Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).
Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: — уравнение прямой; — уравнение окружности; — уравнение сферы и т. д.
Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:
1. Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.
2. Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.
Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.
Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.
Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.
Уравнение прямой
Можно доказать такую теорему.
Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида — некоторые числа.
Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение имеет тот или иной частный вид.
1. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
2. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).
Если в общем уравнении прямой коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: Или, обозначая получим: у = kх + d.
Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.
Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.
Уравнения окружности и сферы
Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом R (рис. 2.467).
1. Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.
2. Квадрат расстояния от точки А до точки О равен (формула расстояния между точками).
3. Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению
(2, определение окружности).
Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.
Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:
Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром и радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).
Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:
Это и есть уравнение сферы S с центром и радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).
Если центр А находится в начале координат, т. е. то уравнение получает простой вид:
Рассмотрим шар с центром и радиусом R (рис. 2.469).
По определению, это множество точек М, для которых , т. е. . Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:
Это неравенство задает шар S с центром и радиусом R, так как оно равносильно неравенству , задающему такой шар по самому его определению.
Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:
Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?
Решение:
1. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).
2. Пусть N — произвольная точка, — расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).
3. При доставке груза из пункта А расходы равны (1,2).
4. При доставке груза из пункта Б расходы равны (1,2).
5. Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то откуда , в обратном случае получим (3,4).
6. Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (5)
7. Выразим через координаты:
(1,2, формула расстояния между точками).
8. Имея в виду равенство из п. 6, получим:
(6,7).
9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).
Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.
Пример 2.
Два наблюдаемых пункта находятся в точках Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние км, а от В на расстояние с км (с > ). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?
Решение:
Из условий задачи имеем:
1. Два наблюдаемых пункта находятся в точках
2. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии км, а от В — с км (с > ).
3. Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.
4. По какой линии должен идти наблюдатель?
5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).
6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):
(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).
7. По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.
(3, 6).
8. Решая это уравнение, получим:
9. Раскроем скобки и перегруппируем:
10. Наблюдатель должен идти по окружности с центром и радиусом (4, уравнение окружности).
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Уравнение фигуры
Уравнение фигуры F в прямоугольной системе координат — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия:
1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению;
2) любая пара чисел (x; y), удовлетворяющая этому уравнению, является координатами некоторой точки фигуры F.
1) Уравнение вида
где a, b и c — числа (причем a и b не равны нулю одновременно) задаёт в прямоугольной системе координат уравнение некоторой прямой.
2) Уравнение вида
задаёт в прямоугольной системе координат окружность с центром в точке (a;b) и радиусом R.
Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Числовая ось |
Прямоугольная декартова система координат на плоскости |
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости |
Уравнение окружности на координатной плоскости |
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . | (1) |
что и требовалось доказать.
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
http://www.treugolniki.ru/uravnenie-figury/
http://www.resolventa.ru/demo/him/diagege.htm