Что такое уравнение геометрического места точек

Геометрические места точек

Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.

Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.

Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом .

Уравнение линии как геометрического места точек. Различные виды уравнений прямой. Исследование общего уравнения прямой. Построение прямой по ее уравнению

Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теоретический курс.

Координаты точки на прямой и плоскости. Расстояние между двумя точками

Величина AB (алгебраическая) направленного отрезка на оси:

Если известны координаты концов отрезка прямой, то тем самым положение отрезка на плоскости вполне определено. Координаты точки записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором — ее ордината. Например, если x₁ — абсцисса точки A, а y₁ — ее ордината, то это записывается так: A(x₁, y₁).

У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты начала координат равны нулю.

Проекции на оси координат направленного отрезка, или вектора на плоскости с началом A(x₁, y₁) и концом B(x₂, y₂):

Тангенс угла между отрезком и положительным направлением оси Ox определяется по формуле (этот угол отсчитывается от оси Ox против часовой стрелки):

Определенный по этой формуле является угловым коэффициентом прямой.

Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин. Площадь многоугольника

1. Если x₁ и y₁ — координаты точки A, а x₂ и y₂ — координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам

Если , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

Выражение вида равно x₁y₂ — x₂y₁ и называется определителем второго порядка.

Уравнение линии как геометрического места точек. Различные виды уравнений прямой. Исследование общего уравнения прямой. Построение прямой по ее уравнению

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные — параметрами.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;
2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.

В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:

Что такое уравнение геометрического места точек

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Определение: Геометрическим местом точек называется геометрическая фигура на плоскости, каждая точка которой обладает одним и тем же определенным свойством.

Метод геометрических мест применяется чаще всего при построениях. Например, серединный перпендикуляр к отрезку можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от точек концов отрезков; окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Теорема (о геометрическом месте точек). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть даны точки А и В, а точка С – середина отрезка АВ. Нужно найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В.

Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра к отрезку.

Серединный перпендикуляр СК, принадлежащий прямой а, как и любая точка этой прямой, — есть геометрическое место точек, равноудаленных от А и В, так как СКꓕАВ.

Допустим, что есть еще точка К₁, расстояние до которой от А и В одинаково.

Рассмотрим ∆АК₁В, он разбит отрезком К₁С на два треугольника: ∆АК₁С и ∆К₁СВ. Если эти треугольники равны, то точка К₁ тоже удалена на одинаковое расстояние от А и В.

Через точку С проходят две прямые СК и СК₁. На основании теоремы 16 (о единственности перпендикуляра из точки к прямой), если СКꓕАВ по построению, то СК₁ не может быть перпендикулярна АВ.

Метод геометрических мест

Построить точку Х, равноудаленную от А и В и находящуюся на расстоянии h от точки С.

1.Построим геометрическое место точек, удовлетворяющее первому условию: это будет серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Прямая а, которая содержит серединный перпендикуляр к отрезку АВ, удовлетворяет полностью первому условию.

2.На перпендикуляре (прямая а) должна находится точка Х, которая удовлетворяла бы второму условию (расстояние от нее до С должно составлять h).

Если из точки С радиусом h провести окружность, то все точки окружности будут расположены от С на одинаковом расстоянии h (построили второе геометрическое место точек, равноудаленных от С).

3.Пересечение первого геометрического места точек (прямая а) и второго (окружности с центром в точке С) будет удовлетворять обоим условиям задачи. Точки пересечения окружности и прямой (Х₁ и Х) и будут теми искомыми точками, которые равноудалены от точек А и В и находятся от С на расстоянии h.

источники:

http://lektsii.org/8-59919.html

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson1118/?LESSON_PATH=456.518.1118