Что такое уравнение математической модели

Уравнение как математическая модель в школьном курсе математики

Разделы: Математика

Класс: 9

Практически все изучаемые математическими представлениями явления и процессы в конечном итоге сводятся к нахождению решений уравнений или систем уравнений различной степени сложности. Учащиеся школ с самого начала изучения математики решают уравнения даже в самых простых ситуациях. Любая математическая задача представляет собой проблему нахождения неизвестной величины, зависящей от набора параметров с известными значениями. Простые арифметические задачи предполагают определение какого-либо значения путём выполнения основных арифметических действий с известными величинами, что означает решение уравнений.

На современном этапе развития информационных технологий с самых азов обучения совершенно необходимо развивать у обучаемых способности создавать абстрактные представления конкретных явлений и процессов в виде математических формул (по сути уравнений) с последующим определением способов вычисления значений параметров этих формул путём решения соответствующих уравнений методами программирования. То есть для решения даже самых простых задач в современных условиях надо научить школьников разрабатывать рабочие программы. Хорошо известно, что в основе разработки любой программы лежит алгоритм, моделирующий то или иное явление или процесс. Причём это заключение распространяется не только на математические области исследований, но и на все другие научные дисциплины.

Таким образом, для решения любого уравнения в самом начале надо разработать алгоритм процесса этого решения.

При разработке алгоритма решения задач прежде всего необходимо обозначить заключения и направления рассуждений, известные значения данных и искомые значения переменных, находить в базе данных признаки индивидуальные и общие, уделить достаточное внимание противопоставлению и сопоставлению фактов.

На начальном этапе изучения математических дисциплин учащимся обычно предлагаются для решения задачи в текстовом виде, преобразование условий которых в вид аналитических формул является достаточно эффективным средством для усвоения школьниками понятий, методов и даже математических теорий как строго формализованных построений. Такой приём является наиболее действенным средством развития логического мышления учеников и открывает возможности для воспитания математического восприятия изучаемых явлений и даёт возможность учащимся развивать умения и навыки применениях математики на практике [1].

На школьном этапе математического образования для большей наглядности учащимся полезно предлагать применение математического моделирования для решения задач, условия которых описывает конкретные жизненные ситуации, так как соответствующие уравнения наиболее просто ассоциировать с алгебраической или аналитической моделью изучаемых явлений. Подобные задачи позволяют, помимо перечисленного выше, усвоить учащимся понятия таких логических операций, как обобщение, классификация, анализ через синтез, сравнение, которые способствуют его развитию логического мышления.

На более поздних этапах обучения можно начинать создание математических моделей не только обычных алгебраических уравнений, а перейти к моделированию процессов, которые описываются в аналитическом виде с использованием понятий функций одной или нескольких переменных, а в выпускных классах даже дифференциальных уравнений. Наиболее интересующимся математикой ученикам можно предлагать моделировать неравенства, а также системы уравнений и системы неравенств и т.п. Таким образом, разработка математических моделей сопровождается приобретением школьниками навыков в умении перевода условий практических задач на язык алгебры или математического анализа [2, 3].

Для углубления знаний школьников полезно изучить процессы моделирования математических объектов, представленных самыми разными математическими формами, такими, как таблицы объектные и числовые, формулы числовые и буквенные, функции, уравнения алгебраические и дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств, математические ряды, геометрические формы, различные схемы, диаграммы, графы и пр.

При разработках математических моделей используются алгоритмы явлений и процессов, изображаемые в виде отрезков, направленных отрезков, ломаных и кривых линий, геометрических фигур, числовых лучей, схем, значков и т.п. Такие представления алгоритмов называются блок-схемами алгоритмов. Существует перечень специальных знаков элементов блок-схем, унифицированный в математической литературе. Эти знаки обозначают постоянные параметры, переменные, базы данных, математические действия, логические операторы, последовательность и направления расчётов, функционалы и т.п. операции. Такая унификация позволяет наглядным образом представлять блок-схемы алгоритмов в виде, понятном специалистам.

Согласно [4], математическое моделирование представляет собой «способ, инструмент, научный прием изучения окружающего мира».

Как указывалось выше, этот процесс заключается в описании исследуемых явлений, процессов, объектов и систем самой разной природы на математическом языке с применением соответствующих понятий, обозначений и функционалов. При этом важно показать зависимость степени сложности разрабатываемых математических моделей от предполагаемой детализации исследования поставленной задачи, поставленной цели исследования, и, конечно же, степени математической подготовки и уровня знаний школьника о моделируемом объекте.

В самом простом виде процесс моделирования выглядит следующим образом: реальный объект замещается моделью. Затем строится алгоритм процесса или явления, на его основе разрабатывается компьютерная программа, и уже эта программа служит объектом проведения экспериментов и исследований, результаты которых ложатся в основу выводов о проведённых исследованиях самого оригинального объекта.

Очень важно показать и добиться твёрдого усвоения школьниками того факта, что математическое моделирование в определённых ситуациях является единственным способом изучения сложных объектов, аналитические представления которых не имеют числовых решений, или таких, с которыми невозможно проводить прямые эксперименты в силу их размеров (мегаобъекты и нано-объекты), невозможности или опасности последствий вмешательства в их функционирование (экономические процессы и экологические системы). Необходимо продемонстрировать возможность математического моделирования существенно сокращать время исследования реального объекта, принимая время как переменный параметр.

Кроме этого, в результате обучения ученики должны усвоить основные приёмы математического моделирования явлений, объектов и процессов, типы, этапы, классификации решаемых задач, научиться преобразовывать математические модели одного класса в модели другого класса и т.п.

В качестве примера разработки математической модели уравнения рассмотрим решение несложной алгебраической задачи согласно рекомендациям работы [5].

Задача. Необходимо определить скорость моторной лодки, если известно, что она двигалась равномерно параллельно направлению равномерного движения теплохода, при этом её скорость в три раза превышала скорость теплохода и, стартовав на один час позже теплохода с того же причала, моторная лодка за два часа пути проплыла расстояние на 24 км больше, чем теплоход.

Создадим математическую модель задачи:

Теперь осталось решить уравнение, составленное на основе математической модели:

х = 8, и скорость моторной лодки:

Ответ: скорость моторной лодки равна 24 км/ч.

Таким образом, показано практическое применение процесса решения задачи с помощью разработки математической модели движения моторной лодки и теплохода путём разработки блок-схемы алгоритма процесса, который может быть основой для написания компьютерной программы решения этой задачи при различных значениях параметров движения этих судов.

Математическая модель

Что такое математическая модель

Математическая модель — концепция представления реальности математическим способом, вариант схемы как комплекса, изучение которого позволяет человеку обрести знания о некой другой системе.

Простой пример: график зависимости среднесуточной температуры от времени.

Математическая модель также была создана для того, чтобы проанализировать и предугадать поведение материального объекта. Однако у математической модели есть проблема, от которой не избавиться — идеализация.

Математическое моделирование — процесс создания, а также приемы построения и исследования математических моделей.

Все науки, которые используют для решения своих задач математический аппарат, практикуют математическое моделирование. То есть, заменяют объект своего исследования математической моделью и занимаются исследованием последней.

При помощи совокупности математических методов можно описать образцовый объект или процесс, который построен на стадии содержательного моделирования.

Как осуществляется связь математической модели и реальности?

1. Эмпирические законы.
2. Гипотезы.
3. Идеализация.
4. Упрощения.

Самые важные математические модели всегда обладают качеством универсальности. То есть, совершенно разные феномены могут быть описаны одной математической моделью.

Однако стоит помнить, что модель — объект, она может иметь собственные качества и свойства, которые могут не относиться к реальному моделируемому объекту.

Часто математические модели представляют в виде:

1. Графика. Получить данные для решения задачи мы можем, посмотрев на данные графика.
2. Уравнения. Данные для решения задачи зашифрованы в виде уравнения, под буквами x и y.

Представим основные понятия, которые важны для изучения данной темы:

1. Реальный объект — исследуемый объект. Им может быть явление, система, либо процесс.
2. Модель — нематериальный или материальный объект исследования, который является заменителем настоящего процесса\явления\системы.
3. Моделирование — способ исследования предметов с помощью прототипов.

Виды математических моделей, классификация

Существует несколько классификаций математических моделей. Рассмотрим некоторые из них.

Формальная типология

Основа данной классификации — какие математические средства используются для создания модели. Для создания схем в формальной классификации часто используется прием дихотомии.

Дихотомия — раздвоение, разделение чего-то на две части. Например, графиков.

К известным типам дихотомии относятся:

Типология по методу представления объекта

В рамках данной классификации выделяют структурные и функциональные модели.

• Структурная модель показывает объект как комплекс с механизмом и устройством функционирования.
• Функциональные модели могут отражать поведение объекта, которое мы можем воспринимать внешне.

Эти парадигмы также имеют название «черные ящики».

Содержательные, а также формальные модели

Многие авторы, которые описывают процесс моделирования в математике, отмечают, что для начала нужно построить специальную образцовую конструкцию, так называемую содержательную модель.

В разных учебных изданиях идеальный объект называется по-разному. Встречаются такие примеры как умозрительная модель, концептуальная модель, а также предмодель.

Конечная математическая схема будет назваться формальной моделью (математическая модель). Она получается в результате представления предмодели с помощью формального языка.

Построить умозрительную модель можно с помощью уже готового набора идеализаций. Например, в механике существуют идеальные пружины, маятники, твердые тела и тд, которые представляют собой готовые заготовки для построения содержательной модели.

Однако есть научные области, в которых сложно построить содержательные модели, потому что в них нет полноценных формализованных доктрин. К таким дисциплинам относятся биология, физика, психология, экономика и многие другие).

Содержательная типология

В работах английского физика Рудольфа Эрнста Пайерлса можно найти некоторые типологии математических моделей, которые используются в физике и других естественных науках. Советские ученые Александр Горбань и Рэм Хлебопрос расширили классификацию Пайерлса. Данная типология акцентирует свое внимание на процессе выстраивания содержательной модели. Итак, существуют следующие типы математических моделей:

• Гипотеза. Это пробное описание феноменов, автор которых либо верит в возможность их существования, либо считает это явление истинным. Такой, по мнению Пайерлса, является макет Солнечной системы от Птолемея, атомная модель Резерфорда, прототип Большого взрыва.
• Феноменологическая модель. Этот тип содержит систему для описания феномена. Эта система обычно не особенно убедительна, не имеет достаточную аргументационную базу, плохо соотносится с существующими теориями. У феноменологических моделей временный статус. Ответ на вопрос феноменологической модели неизвестен, поэтому продолжается поиск истинных решений проблемы. К этому типу относятся макет теплорода.
• Приближение. Если возможно построение уравнения, которое могло бы описать систему, это не значит, что его можно найти решения уравнения с помощью компьютерных программ. К таким уравнения относятся модели линейного отклика. Просто пример приближения — закон Ома.
• Упрощение. В рамках данной модели убираются детали, которые могли бы повлиять на результат исследования (заметно и не контролируемо). Примером данного типа являются уравнения состояния Вандер-Ваальса, а также модели из физики жидкостей, твердого тела и т.д.
• Эвристическая модель. Данная модель сохраняет подобие реальности, метод «слепого поиска» (через ошибки и пробы). Примером данной модели может быть измерение средней длины свободного пробега в кинетической теории.
• Аналогия. Этот тип учитывает лишь некоторые особенности систем. Примером аналогии может быть исследование Гейзенберга о происхождении ядерных сил.
• Мысленный эксперимент. Основа данного типа — предположение не на практике, не в результате реального эксперимента, а в опровержении какой-либо возможности в теории. Мысленный эксперимент часто использовал в своей работе Эйнштейн. В результате одного из мысленных экспериментов была выведена специальная теория относительности.
• Демонстрация возможности. Основа данного типа — показать непротиворечивость возможности. Это своеобразные мысленные эксперименты, которые демонстрируют, что явление может согласоваться с базовыми теориями и непротиворечиво само по себе. Модель демонстрации возможности был использован для эксперимента геометрии Лобачевского.

Сложность моделируемой системы

Выделяются три уровня систем по сложности:

• простые физические;
• сложные физические;
• биологические системы.

Советский академик Александр Андронов выделил три типа неустойчивых моделей:

1. Неустойчивые к преобразованию начальных требований.
2. Неустойчивые к небольшим преобразованиям условий, которые не вызывают никаких изменений в числе степеней свободы системы.
3. Неустойчивые к небольшим преобразованиям условий, которые вызывают изменения в числе степеней свободы системы.

Неустойчивые модели называют негрубыми. Устойчивые модели — мягкие.

Какие еще бывают модели?

1. Игровые (игры).
2. Учебные (тренажеры).
3. Опытные (уменьшенные копии чего-то).
4. Исследовательские (для исследования процессов).
5. Имитационные (представляют явления реальности).

Это ряд прототипов, которые выделяются по принципу применения.

Также выделяют материальные и информационные модели. Натуральные — муляжи, макеты. А информационные — прототипы, которые заменяют реальность формально (то есть словесно, графически и т.д.).

Какие параметры нужны для построения математической модели

Рассмотрим принципы построения математических моделей:

1. Информационная достаточность. Невозможно построить схему без исследуемой информации. А при полноценном информационном обеспечении (когда все известно), построение не имеет никакого смысла. Поэтому для разработки математической модели важно иметь достаточное количество информации (не избыточное или недостаточное).
2. Осуществимость проекта. Схема обязана гарантировать достижение определенной цели исследования.
3. Множественность модели. Модель обязана отражать свойства реальных явлений, которые сказываются на эффективности исследования. Должны исследоваться лишь некоторые части реального объекта. Для полноценного исследования необходимо проанализировать некоторое множество (ряд) моделей.
4. Агрегирование. Создание в рамках большой и сложной системы несколько подсистем, которые могут помочь решить задачу, поставленную в исследовании.
5. Параметризация. Подсистема с определенным параметром выражается в числовой величине. Они не описывают процесс функционирования. Зависимость величины может быть задано таблицей, формулой, графиком. Служит для сокращения объема.

Также все математические модели должны отличаться следующими признаками адекватностью, конечностью, полнотой, упрощенностью, гибкостью.

Алгоритм составления, основные моменты

Для того чтобы составить математическую модель необходимо перевести данные задачи в вид математической формы. То есть переделать слова в формулу, уравнение и т.д. Необходимо установить математические связи между всеми условиями задачи.

Стоит помнить, что формула, уравнение математической модели должно полностью соответствовать тексту задачи, потому что иначе цель исследования изменится, а значит и задачу мы будем решать другую.

Представим алгоритм решения математической модели:

1. Определяем цель исследования.
2. Выделяем свойства системы.
3. Выбираем средства, с помощью которых будем исследовать систему.
4. Проводим исследование.
5. Анализируем получившиеся результаты.
6. Корректируем прототип.

Попробуем составить математическую модель на примере простой задачи:

Иван Федорович вернулся с охоты и показал своей семье добычу. Оказалось, что он принес 10 тушек зайцев, которые живут в тайге, 50 % всей добычи — из тундры, а из местного леса, где охотился Иван Федорович нет ни одного животного. Сколько всего дичи купил Иван Федорович в магазине «Мясо диких животных?».

Данный текст нужно представить в виде уравнения. Для этого необходимо установить математические связи между всеми условиями задачи.

1. Обращаем внимание на главные математические данные. 10 тушек и 50%.
2. Найдем скрытую информацию. Под 50% имеется в виду 50% от всего количества дичи.
3. Представим главный вопрос — сколько дичи — в виде X. То есть, X — количество всей дичи, что есть у Ивана Федоровича.
4. Процентное соотношение дичи из тундры нужно перевести в штуки, потому что в математических задачах важно все составлять в одинаковых значениях.
5. Число дичи из тундры невозможно посчитать в штуках, поэтому переводим в уравнение 50% = 0,5*X. Данное уравнение верно для вычисления количества дичи из тундры.
6. Какие данные у нас есть? 10 штук тушек зайцев из тайги, 0,5*X — дичи из тундры, а также X общее количество дичи.
7. То есть, общее количество дичи будет равно сумме дичи из тайги и дичи из тундры. То есть, уравнение X = 10 + 0,5X.
8. X = 10 + 0,5X — математическая модель.
9. Далее решаем линейное уравнение и получаем, что дичи всего 20 штук.
10. Ответ: 20.

Обобщение — для того, чтобы построить математическую модель, нужно выбросить всю ненужную информацию из задачи, оставить только нужное и заменяем на математический объект.

Просто о сложном: что такое математическое моделирование и почему нам больше не нужны эксперименты на людях

tany_savelieva

Сегодня математики пытаются помочь медикам представить, как устроены внутренние процессы в организме, или предсказать реакцию конкретного пациента на лечение с помощью языков программирования и без проведения дорогих и опасных экспериментов. Метод математического моделирования применяется в самых разных областях науки, в том числе в физиологии и медицине. В рамках проекта «Физтех.Читалка» молодой ученый, аспирант МФТИ Тимур Гамилов рассказал «Теориям и практикам», как математические модели помогают врачам ставить диагнозы, а спортсменам — рекорды.

«Лего» для ученых

Математическое моделирование начали использовать в спорте и медицине еще в 50-х годах. В этой сфере активно работают математики, информатики и физики различных специализаций. Метод математического моделирования устроен по принципу конструктора «Лего», в котором вместо деталей — данные о состоянии здоровья человека и математические формулы, на основе которых врачи ставят диагноз и составляют план лечения. Используя данные о медицинских показателях, математики и инженеры создают гипотезу, которую затем проектируют и проверяют с помощью специального языка программирования.

Неудивительно, что интерес к математическому моделированию в медицине и спорте растет: в США с 1961 по 2006 год процент бюджетных денег, которые тратятся на медицину, возрос с 4% до 20%. В других странах люди тоже хотят жить долго и хорошо, а готовность властей финансировать науку и текущий уровень развития технологий растут с каждым годом. Поэтому вместо того, чтобы проводить медицинские эксперименты на людях, в качестве подопытных кроликов ученые используют математические модели.

Модель для сборки: инструкция

Для построения любой математической модели необходимы данные. Базовые знания о строении и функционировании организма человека можно найти в анатомических атласах и другой справочной литературе. Но поскольку организм каждого человека уникален, врачи наблюдают за каждым пациентом индивидуально: проводят МРТ, компьютерную томографию, измеряют пульс, давление.

Представим, что перед командой ученых (биологов, математиков, физиков, программистов) стоит задача — помочь в постановке диагноза и поиске метода лечения пациентов со стенозом. Первым делом мы, ученые, должны понять, что такое стеноз, и расспрашиваем об этом врачей. Оказывается, стеноз — это возникновение бляшек на сосудах, которые создают разницу в давлении между участками сосуда. В результате сосуд может не выдержать такой нагрузки и порваться. Диагностируется заболевание двумя путями. Первый — качественный способ: нужно сделать снимок сосуда, найти бляшку и по ее виду сделать вывод. Второй — количественный: через бедренную артерию в нужные участки сосуда вводятся датчики, которые измеряют разницу давлений. Результаты количественного анализа — более точные. Это значит, что можно не оперировать пациента без надобности, а осложнения после лечения будут минимальными. Минусы этого способа — в цене и высоких рисках для пациента. Нужна дешевая и безопасная альтернатива, которая поможет поставить количественный диагноз и принять верное решение о лечении. Такой альтернативой может стать математическая модель процессов, происходящих в организме, связанных с развитием болезни.

В нашем случае нужно понять, по каким законам возникает разница в давлениях внутри сосудов, и записать эти законы в виде уравнений. Модели создаются под каждую проблему, болезнь или задачу. Для начала в уравнения (например, гидродинамики) вписывают величины, примерно одинаковые для всех пациентов — в науке они называются константами. Помимо констант, существуют параметры — показатели, которые учитываются для каждого человека индивидуально: длина, ширина сосудов, частота пульса, вид шума в сосудах. После того как мы вписали в уравнения константы, снимаем данные с пациента и записываем их в уравнения. Так ученые связывают параметры и константы с помощью формул: теперь в готовое уравнение мы подставляем разные значения для разных пациентов, чтобы получить необходимый результат — показатель разницы давлений между участками сосуда. Лечение стеноза, в зависимости от степени тяжести заболевания, врачи проводят либо медикаментозно (когда разница в давлениях небольшая), либо с помощью хирургического вмешательства (для более серьезных случаев).

После того как модель запрограммирована, работа не заканчивается. Во-первых, измерить большую часть параметров, которые нужно внести в уравнения, скорее всего, не получится без огромных затрат и дорогостоящих операций. Например, для детального определения структуры бляшек, упругих свойств сосуда и законов, по которым он меняется со временем, потребуется колоссальное количество сил и средств. Поставить такую технологию на поток вряд ли удастся.

Во-вторых, снятые параметры могут измениться через определенное время. Эластичность сосудов сильно меняется в зависимости от гормонов, которые на данный момент присутствуют в крови. А чтобы предсказать, сколько каких гормонов содержится в кровяном русле в интересующий нас период, нужно замоделировать в буквальном смысле весь организм человека, так как гормональный фон зависит от огромного количества факторов.

Врачи не знают математику, а математики — биологию, однако без диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук

В-третьих, даже если мы сможем измерить все необходимые параметры и они не станут сильно меняться со временем, измерения, скорее всего, будут неточными. И чем больше параметров мы снимаем, тем активнее будет расти эта неточность. А поскольку в организме от небольшого изменения каждого параметра существенно меняются все остальные величины, такая неточность часто становится критичной. Например, даже несущественное количество введенного лекарства, растворяющего тромбы, может привести к передозировке, которая вызовет серьезное кровотечение.

Решаются эти проблемы путем упрощения модели: ученые по максимуму сокращают количество параметров и уравнений, стараются сделать их проще, или, как говорят математики, оптимизируют систему. Несмотря на технологическое несовершенство, метод математического моделирования уже работает и помогает людям. Благодаря математическому моделированию была создана известная модель токов в клетке Ходжкина — Хаксли, которая помогла описать, как распространяются электрохимические импульсы, передающие информацию в организме по нервным клеткам. Эта разработка считается одним из самых важных открытий неврологии XX века. За нее ученые получили Нобелевскую премию.

В помощь Усэйну Болту

Профессионалы рынка спортивных достижений шутят, что в 2015 году соревнования идут не между спортсменами, а между разработчиками программ тренировок. Чтобы исследовать живого спортсмена непосредственно во время тренировки, придется повесить на него кучу приборов: измерители пульса, давления, уровня сахара в крови — и еще, желательно, МРТ-аппарат. В таком обмундировании достичь высоких показателей (или хотя бы просто сдвинуться с места) нереально. А вот с помощью математической модели можно рассчитать интересующие показатели на компьютере: ученые заранее снимают параметры со спортсмена в состоянии покоя и составляют уравнения, из которых затем можно извлечь нужные параметры в состоянии физической нагрузки. Моделировать можно самые разные процессы: например, дыхание в клетках мышц футболиста во время бега до образования тромбов. Модели могут быть одномерными или трехмерными, а также учитывать большое количество параметров — например, степень упругости сосудов при моделировании сосудистой сети.

Математически смоделированные стратегии для тренировок — уже рутина для спортивной индустрии. Показатели великого бегуна Усэйна Болта почти совпадают с графиком кривой оптимального темпа для бега на 100 метров в каждый момент времени. На соревнованиях по прыжкам с трамплина на лыжах высота конструкции выбирается с использованием математической модели тел спортсменов так, чтобы нагрузки не стали критичны для организма.

Математика + медицина

Главная трудность в развитии метода пока заключается в том, что значительное количество разработок так и остаются теорией. В повседневное клиническое использование вводится крайне малая часть таких проектов. Ученые видят будущее моделей в их адаптации под реальные условия. Теоретические расчеты нужны и важны для понимания процессов, которые происходят в организме, но не менее важно научиться использовать такие расчеты глобально. Сильно упростит задачу, если пациентам будет легко и понятно снимать показатели самостоятельно.

Ученым из разных областей придется все чаще работать на стыке наук и сотрудничать с инженерами и врачами. Чтобы эти идеи не оставались на страницах научных журналов, а реально помогали людям, математики должны начать взаимодействовать с врачами, которые ставят перед ними конкретные медицинские задачи. Такое взаимодействие (из-за особенностей образования и способа мышления) часто дается обеим сторонам непросто: врачи не знают математику, а математики — биологию, все они пользуются разной терминологией и методами. Однако без подобного диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук.