Уравнения сферы, плоскости и прямой
презентация к уроку по геометрии (10, 11 класс)
Уравнения сферы, плоскости и прямой
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
uravneniya_sfery_ploskosti_i_pryamoy.ppt | 1.87 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат СФЕРА УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
Тело вращения — сфера
Определение сферы Элементы сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. т.О — центр сферы ОА – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы. ВС – диаметр сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы d=2r
? Какие из тел, изображенных на рисунках, являются сферой? 1 2 3 4 5 6
На плоскости В пространстве L М(х;у) х у L Сформулируйте определение линии L на плоскости Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии Уравнение с тремя переменными х,у, z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности Х z Сформулируйте определение уравнения поверхности в пространстве Х у М(х;у; z ) •
На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у; z ) С
Частные случаи 1.Уравнение окружности с центром в т.О(0;0) и радиусом r 1.Уравнение сферы с центром в т.О(0;0;0) и радиусом R
Выбрать из предложенных уравнений – уравнение сферы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1.Ур-е окружности 2.Ур-е сферы 3.Ур-е прямой 4.Ур-е сферы 5.Ур-е параболы 6.Ур-е сферы 7.Ур-е сферы 8. ?
В данных уравнениях определите координаты центра сферы и радиус 1. 2. 3. 4.
Составьте уравнение сферы по следующим данным центра и радиуса сферы: Дано: С(-2;8;1); R =11 Дано: А(3;-2;0); R =0,7 Дано: О(0;0;0); R =1 Проверяем ответы:
Задача Определить принадлежит ли т.А сфере, заданной уравнением если: а) т.А(5;-2;6) б) т.А(-5;2;6) Решение: Равенство верное , следовательно А(5;-2;6) принадлежит сфере Равенство неверное , следовательно А(5;-2;6) не принадлежит сфере
Уравнение плоскости и прямой
совпадают, если существует такое число k , что параллельны, если существует такое число k , что В остальных случаях плоскости пересекаются.
Если известна какая-нибудь точка плоскости M 0 и какой-нибудь вектор нормали к ней , то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид: n (A;B;C) M 0
Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M( x ; y ; z ) . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле : Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:
Используем формулу A ( x — x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0
Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.
Уравнение прямой в пространстве Прямую, проходящую через точку A 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) с направляющим вектором ( a , b , c ) можно задавать параметрическими уравнениями В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и в качестве точки А 0 точку А 1 , получим следующие уравнения
Упражнение 1 Какими уравнениями задаются координатные прямые? Ответ: Ось Ox Ось O y Ось O z
Упражнение 2 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А (1,-2,3) с направляющим вектором, имеющим координаты (2,3,-1). Ответ:
Упражнение 3 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А 1 (-2,1,-3), А 2 (5,4,6). Ответ:
Упражнение 4 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1,2,-3) и перпендикулярную плоскости x + y + z + 1 = 0. Ответ:
Упражнение 5 В каком случае параметрические уравнения определяют перпендикулярные прямые? Ответ: Если выполняется равенство a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0 .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Практическая работа «Построение углов между плоскостями, между прямой и плоскостью»
Практическая работа по геометрии ,10 класс. Хотя данную работу можно провести при подготовке к ЕГЭ по математике, при решении задач типа С2. Работа содержит 8 заданий на построение угла между прямой и.
Тест по теме «Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых в пространстве» (геометрия 10 класс)
Данный тест можно предложить учащимся как входной перед изучением темы «Многогранники».
Параллельность прямых и плоскостей. Параллельные прямые в пространстве
Урок-презентация по геометрии 10 класс.
Тесты по теме «Прямые в пространстве. Параллельность прямых, прямой и плоскости», «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости»
Тесты предназначены для проверки усвоенияследующих понятий и определений: взаимное расположение прямых в пространстве, определение скрещивающихся прямых, определение параллельных прямых, признак парал.
Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве
Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространств.
Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости
Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости".
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
Уравнение прямой, плоскости и сферы
306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.
Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»
Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.
З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:
Упростим:
Ответ: Самостоятельная работа
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:
Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве
Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу
П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.
Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0
0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно
Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.
Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0
Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.
Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением
Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением
Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0
Решить задания №1, №2
О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.
R – радиус сферы, т. О – центр сферы.
Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.
Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .
Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.
Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.
1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64
2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,
Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.
Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6
Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.
Уравнение сферы, плоскости, прямой
Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат
Понятие сферы и её элементов
Уравнение сферы в заданной системе координат
Тело вращения — сфера
Тело вращения — сфера
Определение сферы Элементы сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
т.О — центр сферы
ОА – радиус сферы.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы.
ВС – диаметр сферы.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы
d=2r
На плоскости В пространстве Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии
Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии
Уравнение с тремя переменными х,у,z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности
На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у;z)
Уравнение плоскости и прямой
Уравнение плоскости и прямой
Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 где
Общее уравнение плоскости
где А, В, С, D – числовые коэффициенты
Особые случаи уравнения: D = 0
Особые случаи уравнения:
D = 0 Ax+By+Cz = 0
плоскость проходит через начало координат.
А = 0 Ву + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Ох.
В = 0 Ах + Cz +D = 0
плоскость параллельна оси Оу.
C = 0 Ax+By+D = 0
плоскость параллельна оси Oz.
Особые случаи уравнения: А = В = 0
Особые случаи уравнения:
А = В = 0 Сz + D = 0
плоскость параллельна плоскости Оху.
А = С = 0 Ву + D = 0
плоскость параллельна плоскости Охz.
В = C= 0 Ах+D = 0
плоскость параллельна плоскости Оуz.
Особые случаи уравнения: A = D = 0
Особые случаи уравнения:
A = D = 0 By+Cz = 0
плоскость проходит через ось Ox.
B = D = 0 Ax + Cz = 0
плоскость параллельна оси Оy.
C = D = 0 Ах + By = 0
плоскость параллельна оси Оz.
Уравнения координатных плоскостей x = 0, плоскость
Уравнения координатных плоскостей
x = 0, плоскость Оyz
y = 0, плоскость Оxz
z = 0, плоскость Оxy
Две плоскости в пространстве: параллельны, если существует такое число k, что
совпадают, если существует такое число k, что
Две плоскости в пространстве:
параллельны, если существует такое число k, что
В остальных случаях плоскости пересекаются.
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Итак, пусть произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей ненулевой вектор называется вектором нормали к этой плоскости.
Если известна какая-нибудь точка плоскости
Если известна какая-нибудь точка плоскости M0 и какой-нибудь вектор нормали к ней, то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид:
Алгоритм составления уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору
Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку
Чтобы получить уравнение плоскости, имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M(x;y;z). Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е.
Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :
Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
Используем формулу
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Решение:
Ответ: 5x + y — 4z — 3=0
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Прямую, проходящую через точку A0(x0,y0,z0) с направляющим вектором (a,b,c) можно задавать параметрическими уравнениями
В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор (x2-x1,y2-y1,z2-z1) и в качестве точки А0 точку А1, получим следующие уравнения
http://multiurok.ru/files/uravnenie-priamoi-ploskosti-i-sfery.html
http://znanio.ru/media/uravnenie-sfery-ploskosti-pryamoj-2761629