Что такое уравнение тренда статистика

Статистика: Учебник /Под ред. Елисеевой. — М., 2006. С.180-184

Оглавление

Средние показатели динамики – средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста- используются при обобщении характеристик тенденции за длительный период, по различным периодам; при сравнении развития за неодинаковые по длительности отрезки времени и при выборе аналитического выражения тренда.

На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста.

Описание нескольких моделей кривых роста, форма которых соответствует характеру изменения динамического ряда, содержит следующий фрагмент учебника «Статистика»:

Типы уравнений тренда

«В настоящее время компьютерные программы анализа временных рядов предлагают достаточно широкий набор математических функций для построения уравнения тренда. Наиболее часто используются полиномы К-й степени, экспоненты, различного рода кривые с насыщением. В общем виде полином К-й степени представляет собой выражение:

При К=1 получаем линейный тренд:

По содержанию линейный тренд означает, что уровни динамического ряда изменяются с одинаковой скоростью.

Параметр а₀ отражает начальный уровень ряда при t=0. Параметр a₁ характеризует средний абсолютный прирост в единицу времени t.

Так, по уравнению тренда для индексов потребительских цен y = 99,9+1,9 t , где t = 1, 2…, 12 мес., видно, что ежемесячно цены возрастали в среднем на 1,9 процентных пункта. В линейном тренде уровни динамического ряда изменяются в арифметической прогрессии. Поэтому при прогнозировании по линейному тренду предполагаются падающие темпы роста уровня временного ряда.

При К=2 получаем параболу второй степени: .

Данная функция рекомендуется для прогнозирования, если ряд характеризуется стабильным абсолютным ускорением, т.е. постоянными являются вторые разности (приросты абсолютных приростов).

Параметр а₀ – начальный уровень тренда при t = 0; а₁– средний абсолютный прирост за рассматриваемый период времени, если t обозначено так, что ; а₂ – половина абсолютного ускорения динамического ряда.

Даже если тренд хорошо описывается параболой второй степени, то для долгосрочного прогноза в экономике он, как правило, затруднителен (особенно если а₂

Рис. 9.7. График параболы третьей степени для уровней динамического ряда (а) и ее приростов (б)

В этом случае ряд характеризуется тремя этапами развития (рост, спад и опять рост), и при прогнозе на длительный период нет уверенности в правомерности и экстраполяции третьего периода. Кроме того, полиномы высоких степеней требуют достаточно длинных динамических рядов, чтобы параметры тренда были статистически надежными: на каждый параметр при t должно приходиться не менее 6-7 временных единиц. Следовательно, парабола третьей степени должна содержать ряд хотя бы в 20 лет, что предполагает достаточно стабильную экономику. Чаще отдают предпочтение функциям с меньшим числом параметров. Среди них широкое применение находит показательная кривая у=аb‘ или равносильная ей экспонента у=е a+bt . Эти функции рекомендуется использовать, если ряд динамики характеризуется стабильным темпом роста.

Следовательно, если за ряд лет динамика прибыли характеризуется уравнением вида: , где t = 1,2. то ежегодно прибыль возрастает в среднем на 50% (коэффициент роста 1,5). Данный тренд в виде экспоненты примет выражение:у=е 2,603=0405t , где e= 2,603 =13,5 и e 0,405 =1,5. Рост по экспоненте означает геометрическую прогрессию уровней динамического ряда, что в экономике возможно в сравнительно небольшой период времени (ограничены ресурсы, меняются условия рынка). Поэтому данный вид тренда используется в основном в краткосрочных прогнозах.

Если стабильными оказываются коэффициенты опережения темпов роста, то динамический ряд может быть описан логарифмической параболой:

Свое название данная функция получила потому, что, прологарифмировав ее, получим параболу второй степени: lgy = lga+tlgb+t 2 lgc.

Для этой функции темпы роста изменяются в одно и то же число раз.

Так, если дебиторская задолженность за ряд лет характеризуется уравнением: , то это означает ее ускоренное увеличение с коэффициентом опережения темпов роста, равным 1,052, т.е. 1,1025. Или, иначе, темпы роста ежегодно возрастают в среднем в 1,1025 раза.

При подборе функций уравнений трендов можно использовать и другие их виды, параметры при которых не имеют экономической интерпретации. При этом применяются линеаризуемые функции, т.е. функции, приводимые к линейному виду. Так, при замедленном росте уровней динамического ряда может использоваться полулогарифмическая кривая: y=a+blnt. Она легко преобразовывается в линейную функцию, если заменить lnt на Т: y=a+bT. В 90-e годы по этой функции развивалось потребление в стране картофеля: y=93,1+11,81·lnt.

Среди функций, легко приводимых к линейному виду, можно назвать степенную: y=at b . Прологарифмировав ее, получим линейно-логарифмический тренд: lny=lna+blnt.

Заменив в нем lny на Y, lna на А, lnt на Т, придем к выражению линейного тренда: Y = A + bT

Степенная кривая предполагает разную меру пропорциональности изменений уровней динамического ряда во времени. При b>0 она характеризует непрерывный рост уровней, а при b b означает базисный коэффициент роста. Так, при t =1 y=a1 b =a; при t =2 y =а2 b ; при t = 3y =а3 b ; при t =4 у=а4 b и т.д.

Поэтому степенная функция практически сообщает о величине среднего темпа роста:

Например, обеспеченность городского населения Республики Коми жильем (кв. м общей площади на человека) за 1990-1999 гг. описывается уравнением тренда: lny=2,765+0,08lnt или при потенцировании: y=15,876t 0,08 . Из уравнения видно, что в 1990 г. теоретическое (расчетное) значение составляло 15,9 м 2 . Годы были обозначены как 1, 2. 10. Следовательно, за весь период обеспеченность населения жильем выросла в 1,202 раза (10 0,08 ), т.е. ежегодно она возрастала в среднем на 2,07%: ()·100.

В частном случае при b=- 1 уравнение степенного тренда превращается в гиперболу: y=a/t, асимптотами которой служат оси координат, а произведение у на t постоянно (у· t =а). Такого рода функцию можно видеть при изучении тенденций спроса на товары первой необходимости, если для них наблюдается рост цен за рассматриваемый период. В этом случае процент увеличения единицы времени t приводит к такому же уменьшению спроса.

Среди гипербол наибольшее распространение получили тренды следующего вида:

Гиперболические кривые характеризуются наличием асимптоты, выше или ниже которой признак не может принимать значения (верхняя или нижняя асимптоты).

При наличии понижающейся тенденции уровней ряда гипербола для прогноза предпочтительнее, чем, например, линейный тренд y=a-bt, ибо при увеличении значений t в уравнении линейного тренда возможно при прогнозе на дальнюю перспективу получить y 0, то значения уровней динамического ряда снижаются во времени и асимптотически приближаются к параметру a.

Например, отношение валютного курса рубля к паритету покупательной силы за период с мая 1995 г. по апрель 1996 г. характеризовалось уравнением тренда: y=1,396+0,707/t при r 2 =0,989. Оно демонстрирует понижающуюся тенденцию, при которой соотношение курса рубля и паритета покупательной силы не может быть меньше 1,396. Тенденция описывает 98,9% вариации уровней временного ряда, и лишь 1,1% дисперсии уровней ряда связано с действием случайных факторов.

Если b 0 уровни ряда имеют тенденцию к понижению и стремятся к 0 при неограниченном увеличении t, что в прогнозах практически не используется: в краткосрочных и среднесрочных прогнозах число прогнозных точек для t невелико. При b t и нижняя для функции y=c+ab t ).

Модифицированная экспонента применима, когда при прогнозе следует учитывать ограничение роста (или снижения) уровней динамического ряда. Так, при изучении тенденций роста уровня механизации труда в уравнение тренда может быть включена верхняя асимптота, равная 100%, – максимально возможный уровень, к которому стремится у. Если изучается динамика детской смертности, то речь может идти об установлении нижней асимптоты – значения у, ниже которого детская смертность не может быть исходя из достигнутых условий жизни.

Модифицированная экспонента служит базовой кривой для других кривых с насыщением, например, для логистической кривой. Тенденция развития явления при этом охватывает три этапа: вначале довольно медленный рост, который затем убыстряется и сменяется уменьшением роста и приближением уровня ряда к предельному значению, т. е. к уровню насыщения (см. график).

Рис. 9.8. Логистическая кривая

Логистическая кривая имеет следующий вид: , где с – верхняя асимптота; b и а – параметры функции; е – основание натурального логарифма.

Механизм развития производства новых товаров описывается иногда этой кривой. Г.Тинтнер применил данную функцию для описания тенденции роста численности шведского населения за 100 лет по 10-летним интервалам с 1850 по 1950 г.: .

Согласно этой кривой верхняя асимптота тенденции роста численности шведского населения составляла 10328806 человек (справка: в 1999 г. численность населения Швеции составляла 9,2 млн. человек).

Максимальное значение показателя с соответствует на графике отрезку кривой, параллельному оси абсцисс. Минимальное значение функции (y=0) будет при , что, естественно, в прогнозных расчетах отсутствует».

О линейном тренде

Автор: Алексей Батурин.

Из данного материалы вы узнаете, что важно знать о линейном тренде для прогнозирования :

Линейный тренд разложим на «запчасти»;

Как скорректировать значения линейного тренда и для чего;

Линейный тренд – это функция y=ax+b, где

Значение x – это номер периода во временном ряду (например, номер месяца, квартала, дня; См. статью о временных рядах.)

y – это последовательность значений , которые мы анализируем (например, продажи по месяцам.)

b – точка пересечения с осью y на графике (минимальный уровень);

a – это значение, на которое увеличивается следующее значение временного ряда;

Причем, если a>0, то динамика роста положительная,

по 28-й — y=53934*28+1784066 = 3294218

Получили прогнозные значения тренда с 15 по 28 месяца. Отношение прогноза к фактическим данным 1,34, т.е. прогнозируется рост на 34%.

Как мы можем скорректировать прогнозные значения тренда?

Если нас рост не устраивает, т.е. мы понимаем, что есть факторы, которые на него повлияют, мы можем скорректировать тренд.

Скорректируем значение рассчитанного нами выше тренда y=53934x+1784066 – ряд 1 на графике:

Если изменяем значение «a» линейного тренда y=ax+b, то увеличиваем наклон тренда (ряд 3 на графике);

Если изменяем значение «b» линейного тренда (Ряд 2), то тренд мы поднимаем параллельно ряду 1.

Т.е. мы можем изменять наклон тренда, изменять уровень тренда, и одновременно и уровень и наклон — ряд 4 (пример во вложении).

Теперь рассчитаем коэффициенты сезонности с помощью Forecast4AC PRO (лист «ForLin»). Умножим значения тренда на сезонность. Прогноз продаж готов! Также стоит учесть дополнительные факторы, кроме сезонности, которые влияют на объем продаж.

Точных вам прогнозов!

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

• Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel .
• 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
• Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

• Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Анализ временных рядов, тренд ряда динамики, точечная оценка прогноза

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Анализ временных рядов

Временной ряд (или ряд динамики) – это упорядоченная по времени последовательность значений некоторой произвольной переменной величины. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом (уровнем элементов) временного ряда.

Временные ряды состоят из двух элементов:

• периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;
• числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

• по форме представления уровней: ряды абсолютных показателей, относительных показателей, средних величин;
• по количеству показателей, когда определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;
• по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени. Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможности суммирования их уровней. Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;
• по расстоянию между датами и интервалами времени выделяют равноотстоящие – когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами и неполные (неравноотстоящие) – когда принцип равных интервалов не соблюдается;
• по наличию пропущенных значений: полные и неполные временные ряды. Временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции (ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины;
• в зависимости от наличия основной тенденции выделяют стационарные ряды – в которых среднее значение и дисперсия постоянны и нестационарные – содержащие основную тенденцию развития.

Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).

Анализ временных рядов – совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.

Прогноз, характеристики и параметры прогнозирования

Прогноз (от греч. – предвидение, предсказание) – предсказание будущего с помощью научных методов, а также сам результат предсказания. Прогноз – это научная модель будущего события, явлений и т.п.

Прогнозирование, разработка прогноза; в узком значении – специальное научное исследование конкретных перспектив развития какого-либо процесса.

• по срокам: краткосрочные, среднесрочные, долгосрочные;
• по масштабу: личные, на уровне предприятия (организации), местные, региональные, отраслевые, мировые (глобальные).

К основным методам прогнозирования относятся:

• статистические методы;
• экспертные оценки (метод Дельфи);
• моделирование.

Прогноз – обоснованное суждение о возможном состоянии объекта в будущем или альтернативных путях и сроках достижения этих состояний. Прогнозирование – процесс разработки прогноза. Этап прогнозирования – часть процесса разработки прогнозов, характеризующаяся своими задачами, методами и результатами. Деление на этапы связано со спецификой построения систематизированного описания объекта прогнозирования, сбора данных, с построением модели, верификацией прогноза.

Прием прогнозирования – одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата в процессе разработки прогноза. В качестве приема могут выступать сглаживание динамического ряда, определение компетентности эксперта, вычисление средневзвешенного значения оценок экспертов и т. д.

Модель прогнозирования – модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта прогнозирования в будущем и (или) путях и сроках их осуществления.

Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. Методы прогнозирования являются основанием для методик прогнозирования.

Методика прогнозирования – совокупность специальных правил и приемов (одного или нескольких методов) разработки прогнозов.

Прогнозирующая система – система методов и средств их реализации, функционирующая в соответствии с основными принципами прогнозирования. Средствами реализации являются экспертная группа, совокупность программ и т. д. Прогнозирующие системы могут быть автоматизированными и неавтоматизированными.

Прогнозный вариант – один из прогнозов, составляющих группу возможных прогнозов.

Объект прогнозирования – процесс, система, или явление, о состоянии которого даётся прогноз.

Характеристика объекта прогнозирования – качественное или количественное отражение какого-либо свойства объекта прогнозирования.

Переменная объекта прогнозирования – количественная характеристика объекта прогнозирования, которая является или принимается за изменяемую в течение периода основания и (или) периода упреждения прогноза.

Период основания прогноза – промежуток времени, за который используют информацию для разработки прогноза. Этот промежуток времени называют также периодом предыстории.

Период упреждения прогноза – промежуток времени, на который разрабатывается прогноз.

Прогнозный горизонт – максимально возможный период упреждения прогноза заданной точности.

Точность прогноза – оценка доверительного интервала прогноза для заданной вероятности его осуществления.

Достоверность прогноза – оценка вероятности осуществления прогноза для заданного доверительного интервала.

Ошибка прогноза – апостериорная величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта.

Источник ошибки прогноза – фактор, способный привести к появлению ошибки прогноза. Различают источники регулярных и нерегулярных ошибок.

Верификация прогноза – оценка достоверности и точности или обоснованности прогноза.

Статистические методы прогнозирования – научная и учебная дисциплина, к основным задачам которой относятся разработка, изучение и применение современных математико-статистических методов прогнозирования на основе объективных данных; развитие теории и практики вероятностно-статистического моделирования экспертных методов прогнозирования; методов прогнозирования в условиях риска и комбинированных методов прогнозирования с использованием совместно экономико-математических и эконометрических (как математико-статистических, так и экспертных) моделей. Научной базой статистических методов прогнозирования является прикладная статистика и теория принятия решений.

Простейшие методы восстановления используемых для прогнозирования зависимостей исходят из заданного временного ряда, т. е. функции, определённой в конечном числе точек на оси времени. Временной ряд при этом часто рассматривается в рамках той или иной вероятностной модели, вводятся другие факторы (независимые переменные), помимо времени, например, объем денежной массы. Временной ряд может быть многомерным. Основные решаемые задачи – интерполяция и экстраполяция. Метод наименьших квадратов в простейшем случае (линейная функция от одного фактора) был разработан К. Гауссом в 1794–1795 гг. Могут оказаться полезными предварительные преобразования переменных, например, логарифмирование. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов при нескольких факторах.

Оценивание точности прогноза (в частности, с помощью доверительных интервалов) – необходимая часть процедуры прогнозирования. Обычно используют вероятностно-статистические модели восстановления зависимости, например, строят наилучший прогноз по методу максимального правдоподобия. Разработаны параметрические (обычно на основе модели нормальных ошибок) и непараметрические оценки точности прогноза и доверительные границы для него (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей). Применяются также эвристические приемы, не основанные на вероятностно-статистической теории: метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания.

Многомерная регрессия, в том числе с использованием непараметрических оценок плотности распределения – основной на настоящий момент статистический аппарат прогнозирования. Нереалистическое предположение о нормальности погрешностей измерений и отклонений от линии (поверхности) регрессии использовать не обязательно; однако для отказа от предположения нормальности необходимо опереться на иной математический аппарат, основанный на многомерной Центральной Предельной Теореме теории вероятностей, технологии линеаризации и наследования сходимости. Он позволяет проводить точечное и интервальное оценивание параметров, проверять значимость их отличия от 0 в непараметрической постановке, строить доверительные границы для прогноза.

Уравнение тренда временного ряда

Рассматривая временной ряд как множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени, в качестве основных целей исследования временных рядов можно выделить: выявление и анализ характерного изменения параметра у, оценка возможного изменения параметра в будущем (прогноз).

Значения временного ряда можно представить в виде: , где f (t) – неслучайная функция, описывающая связь оценки математического ожидания со временем, – случайная величина, характеризующая отклонение уровня от f(t ).

Неслучайная функция f (t) называется трендом. Тренд отражает характерное изменение (тенденцию) y_t за некоторый промежуток времени. На практике в качестве тренда выбирают несколько возможных теоретических или эмпирических моделей. Могут быть выбраны, например, линейная, параболическая, логарифмическая, показательная функции. Для выявления типа модели на координатную плоскость наносят точки с координатами ( t, y_t ) и по характеру расположения точек делают вывод о виде уравнения тренда. Для получения уравнения тренда применяют различные методы: сглаживание с помощью скользящей средней, метод наименьших квадратов и другие.

Уравнение тренда линейного вида будем искать в виде y_t=f(t ), где f (t) = a₀+a₁(t ).

Пример 1. Имеется временной ряд:

Построим график x_ti во времени. Добавим на графике линию тренда исходных значений ряда. При этом, щелкнув правой кнопкой мыши по линии тренда, можно вызвать контекстное меню «Формат линии тренда», а в нем поставить флажок «показывать уравнение на диаграмме», тогда на диаграмме высветится уравнение линии тренда, вычисленное встроенными возможностями Excel .

Чтобы определить уравнение тренда, необходимо найти значения коэффициентов а₀ и а₁. Эти коэффициенты следует определять, исходя из условия минимального отклонения значений функции f (t) в точках t_i от значений исходного временного ряда в тех же точках t_i . Это условие можно записать в виде (на основе метода наименьших квадратов):

где n – количество значений временного ряда.

Для того, чтобы найти значения а₀ и а₁, необходимо иметь систему из двух уравнений. Эти уравнения можно получить, используя условие равенства нулю производной функции в точках её экстремума. В нашем случае эта функция имеет вид . Обозначим её через Q . Найдем производные функции Q(а₀, а₁) по переменным а₀ и а₁. Получим систему уравнений:

Полученная система может быть преобразована (математически) в систему так называемых нормальных уравнений. При этом уравнения примут вид:

Теперь необходимо решить преобразованную систему уравнений относительно а₀ и а₁. Однако предварительно следует составить и заполнить вспомогательную таблицу:

t	t 2	хt	хtt
1	1	2	2
2	4	1	2
3	9	4	12
4	16	4	16
5	25	6	30
6	36	8	48
7	49	7	49
8	64	9	72
9	81	12	108
10	100	11	110

Подставив значения n = 10 в систему уравнений (2), получим

Решив систему уравнений относительно а₀ и а₁, получим а₀ = -0,035, а₁ = 1,17. Тогда функция тренда заданного временного ряда f (t) имеет вид:

f (t) = -0,035 + 1,17t.

Изобразим полученную функцию на графике.

Временной ряд приведен в таблице. Используя средства MS Excel :

1. построить график временного ряда;
2. добавить линию тренда и ее уравнение;
3. найти уравнение тренда методом наименьших квадратов, сравнить уравнения (выше на графике и полученное);
4. построить график временного ряда и полученной функции тренда в одной системе координат.

1. Реализация аспирина по аптеке (у.е.) за последние 7 недель приведена в таблице:

2. Динамика потребления молочных продуктов (у.е.) по району за последние 7 месяцев:

3. Динамика числа работников, занятых в одной из торговых сетей города за последние 8 лет приведена в таблице:

4. Динамика потребления сульфаниламидных препаратов в клинике по годам (тыс. упаковок):

5. Динамика продаж однокомнатных квартир в городе за последние 8 лет (тыс. ед.):

6. Динамика потребления антибиотиков в клинике (тыс. упаковок):

7. Динамика производства хлебобулочных изделий на хлебозаводе (тонн):

8. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в начале эпидемии гриппа (тыс. единиц):

9. Динамика потребления противовирусных препаратов по аптечной сети в конце эпидемии гриппа (тыс. единиц):

10. Динамика потребления витаминов по аптечной сети в весенний период (с марта по апрель) в разные годы (у.е.):

Пример 2. Используя данные примера 1, приведенного выше, вычислить точечный прогноз исходного временного ряда на 5 шагов вперед.

Исходя из условия задачи, необходимо определить точечную оценку прогноза для t = 11, 12, 13, 14, 15, где t в данном случае – шаг упреждения.

Рассмотрим решение этой задачи средствами Microsoft Excel . При решении данной задачи следует так же, как и в примере 1, ввести исходные данные. Выделив данные, построить точечный график, щелкнув правой кнопкой мыши по ряду данных, вызвать контекстное меню и выбрать «Добавить линию тренда».

Щелкнув правой кнопкой мыши по линии тренда, вызвать контекстное меню, выбрать «Формат линии тренда», в окне Параметры линии тренда указать прогноз на 5 периодов и поставить флажок в окошке «Показывать уравнение на диаграмме (рис. 14.3 рис. 14.3.). В версии Excel ранее 2007 окно диалога представлено на рисунке 14.4 рис. 14.4.

Итоговый график представлен на рисунке 14.5 рис. 14.5.

Значения прогноза для 11, 12, 13, 14 и 15 уровней получим, используя функцию ПРЕДСКАЗ( ). Данная функция позволяет получить значения прогноза линейного тренда. Вычисленные значения: 12,87, 14,04, 15,22, 16,39, 17,57.

Значения точечного прогноза для исходного временного ряда на 5 шагов вперед можно вычислить и с помощью уравнения функции тренда f(t ), найденного по методу наименьших квадратов. Для этого в полученное для f (t) выражение необходимо подставить значения t = 11, 12, 13, 14, 15. В результате получим (эти значения следует рассчитать, сформировав формулу в табличном процессоре MS Excel ):

Сравнивая результаты точечных прогнозных оценок, полученных разными способами, выявляем, что данные отличаются незначительно, таким образом, в любом из способов расчета присутствует определенная погрешность (ошибка) прогноза ().

Используя значения временного ряда Задания 1 согласно вашего варианта, вычислить точечный прогноз на 4 шага вперед. Продлить линию тренда на 4 прогнозных значения, вывести уравнение тренда, определить эти значения с помощью функции ПРЕДСКАЗ() или ТЕНДЕНЦИЯ(), а также по выражению функции тренда f(t ), полученному по методу наименьших квадратов в Задании 1. Сравнить полученные результаты.