Значение слова «уравнение»
1. Действие по знач. глаг. уравнять и состояние по знач. глаг. уравняться. — Первее всего — полное уравнение в правах. М. Горький, Жизнь Матвея Кожемякина. Печать уравнения лежала на всех лицах, и часто Никита Иваныч здоровался с Карпом Спиридонычем, разумея при этом Павла Иваныча, и наоборот. Серафимович, Преступление.
2. Математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин. Алгебраическое уравнение. Дифференциальное уравнение. Уравнение с одним неизвестным.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
- Уравне́ние — равенство вида
Что такое уравнение: определение, решение, примеры
В данной публикации мы рассмотрим, что такое уравнение, а также, что значит его решить. Представленная теоретическая информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
Определение уравнения
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которе требуется найти.
Это число обычно обозначается маленькой латинской буквой (чаще всего – x , y или z ) и называется переменной уравнения.
Другими словами, равенство является уравнением только в том случае, когда содержит букву, значение которой требуется вычислить.
Примеры простейших уравнений (одна неизвестная и одно арифметическое действие):
В более сложных уравнениях переменная может встречаться несколько раз, также, в них могут содержаться скобки и более сложные математические операции. Например:
Также, в уравнении может быть несколько переменных, например:
Корень уравнения
Допустим, у нас есть уравнение .
Оно обращается в верное равенство при . Это значение (число) и является корнем уравнения.
Решить уравнение – это значит найти его корень или корни (в зависимости от количества переменных), либо доказать, что их нет.
Обычно, корень пишется так: . Если корней несколько, они просто перечисляются через запятую, например: , .
Примечания:
1. Некоторые уравнения могут быть не решаемы.
Например: . Какое бы мы число не подставили вместо x , получить верное равенство не получится. В этом случае в ответе пишется: “уравнение не имеет корней”.
2. Некоторые уравнения имеют бесконечное множество корней.
Например: . В данном случае решением является любое число, т.е. , , , где N , Z и R – это натуральные, целые и действительные числа, соответственно.
Равносильные уравнения
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
Например: и . У обоих уравнений решением является число два, т.е. .
Основные равносильные преобразования уравнений:
1. Перенос какого-то слагаемого из одной части уравнений в другую с изменением его знака на противоположный.
Например: 3x + 7 = 5 равносильно .
2. Умножение/разделение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
Например: 4x – 7 = 17 равносильно .
Уравнение, также, не изменится, если к обеим его частям прибавить/отнять одно и то же число.
3. Приведение подобных слагаемых.
Например: 2x + 5x – 6 + 2 = 14 равносильно .
«Виды уравнений и способы их решения»
Содержимое публикации
Актуальность темы: Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений. Исходя из этого я хочу помочь систематизировать знания для студентов и сделать картотеку с решением различных уравнений.
Цель проекта: изучить различные виды уравнений и понять способы их решения
1. Изучить литературу и интернет-ресурсы по данному вопросу.
2. Выбрать и разобрать более распространенные виды уравнений.
3. Создать картотеку с решением различных видов уравнений.
Математические уравнения, их виды, способы их решения.
Изучение, анализ, практическое применение полученных знаний.
Практическая значимость проекта:
1. Мой продукт будет полезен для учеников и студентов при подготовке к экзаменам;
2. Привлечения внимания студентов к математике, повышение их заинтересованность в данном предмете и успеваемость.
Глава 1. Теоретические основы применения математических уравнений, их виды и способы решения
Математика — удивительнейшая наука, без которой не может существовать человечество. В ней интересно абсолютно всё — от арифметических действий и решения различных задач до её истории.
Но историей люди зачастую пренебрегают, ссылаясь на то, что математика и история — науки совершенно противоположные. Позвольте разрушить этот стереотип, доказав, что изучать историю очень интересно и, к тому же, важно для знания и понимания самой математики, царицы всех наук.
Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.
Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:
«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.
Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х²= 16, мы получаем два числа: 4, –4.
Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы X = 4, так как длина поля может быть только положительной величиной.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает, по существу, с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».
Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В его «Арифметике» нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m и др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение, которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5,y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру,x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19,x+6·(x+6·(x−8))=3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменнойx, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5.
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0.
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня – три и минус три, вx·(x−1)·(x−2) =0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как(3,4).
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Глава 2 Картотека математических уравнений
2.1. Линейное уравнение
Линейнымуравнением называется уравнение вида ax+b=0, в котором a и b — действительные числа.
Решение линейного уравнения в зависимости от параметра
1. Если a не является 0, у уравнения — один корень.
Например, если 2x−4=0, то x=2.
2. Если a=0, но b не равно 0, у уравнения нет корней.
Например, 0x=3 — нет такого значения x, при умножении которого на 0 можно получить 3.
3. Если a=0 и b=0, то корень уравнения — любое число.
Например, 0x=0 — умножив ноль на любое число, получим 0.
2.2. Степенное уравнение
В показательных уравнениях, которые часто называют степенными, в основании находятся исключительно числа. Переменная же есть только в показателе.
Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная величина находится в показателе степени.
Для решения необходимо опираться на следующие свойства и правила:
1. Любое положительное число, возведенное в степень, равную единице, равно самому себе, то есть 91 = 9. Если же возвести число в степень ноль, то результат всегда будет одинаковым, а именно, равным единице: 90 = 1. 2. Если математическое выражение возводится в отрицательное значение, то его можно заменить дробью, где числитель – единица, а знаменатель первоначальное выражение, но уже в положительной степени. Числитель – значение, находящееся над чертой, знаменатель – под ней. Математически правило записывается в следующем виде:
3. Чтобы возвести число в степень, нужно умножить его на себя такое количество раз, которое равно ее значению, то есть р5 = р·р·р·р·р.
4. Если нужно умножить два положительных числа, отличных от единицы и равных между собой, то нужно сложить их показатели и возвести в полученное значение основание: p5·p3= p5+3 = p8.
5. Когда требуется разделить одно число на другое, имеющие отличные показатели, нужно вычесть из одного другой и возвести в полученное значение неизменное основание: p9/p3= p9-3 = p6.
6. Если необходимо возвести одну степень в другую, то нужно их перемножить. Само основание при этом остается без изменений. Его нужно возвести в полученное после арифметических действий значение: (p3)4 = p3*4 = p12.
Применение свойств и правил помогает упростить выражения, быстрее произвести вычисления и получить результат. Закрепить материал помогут подробные объяснения при решении показательных уравнений. Разъяснения на практике помогут изучить сложные моменты и облегчат усвоение знаний.
Упростить и решить уравнение:
В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится:
Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:
2.3. Дробное уравнение
Дробные рациональные уравнения — вид: Рациональное уравнение — это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень. Любое рациональное уравнение сводится к алгебраическому
Например, вот такое уравнение:
В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:
1) Все слагаемые переносим в одну сторону.
2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).
3) После упрощения решаем уравнение типа « дробь равна нулю ».
В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.
Начнем с рассмотрения примеров общего случая.
Решить дробно-рациональные уравнения:
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:
Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:
Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:
Это — квадратное уравнение. Его корни
Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4. Ответ: 5; -6.
Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
— при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.
Из двух корней квадратного уравнения
— второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.
2.4. Иррациональное уравнение
Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.
Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.
Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.
Если а 1 не имеет решений.
При|a|≤1 имеет бесконечное число решений.
2. Уравнение cosx=a
При|a|>1 — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При|a|≤1 имеет бесконечное множество решений.
3. Уравнение tgx=a
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa.
4. Уравнение ctgx=actgx=a
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях aa
Проанализировав собранную информацию о линейном, степенном, дробном, иррациональном и тригонометрическом уравнениях, все данные я соберу в самодельную картотеку. В ней будут находится данные виды уравнений и способы их решения с примерами. Эта картотека будет выступать продуктом в моей работе.
После сбора информации, я подготовила необходимые материалы для создания продукта. (Приложение А)
Затем сделала фон будущих страниц картотеки. (Приложение Б)
После того как страницы высохли, я перенесла нужную информацию, отталкиваясь на содержание картотеки. (Приложение В)
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XXI век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
Работа была выполнена в соответствии с поставленными задачами. Я изучила литературу и интернет-ресурсы по своей теме. Из всех видов уравнений я выбрала наиболее распространенные и создала картотеку с их решением.
В ходе работы, пока я создавала свою картотеку, я разобралась в решении уравнений таких видов как: линейное, степенное, дробное, иррациональное и тригонометрическое уравнение. Я надеюсь, что мой доклад может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений.
Также мой продукт поможет студентам и школьникам при подготовке к экзаменам. Ведь, видя перед собой наглядный пример уравнений с их решением и примерами, понимать и запоминать информацию намного легче.
Список использованных источников
Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.
Бурцева У. А. Системы линейных уравнений. — Волгоград: гос. техн. ун-т. — 2005. — 23 с.
Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.
Калягин Ю.М., Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физико-математических педагогических институтов. М.: Просвещение, 1985 г. — 462 с.
Фридман Л.М., Е.Н. Турецкий Как научиться решать задачи. Книга для учащихся старших классов средней школы. Москва «Просвещение», 1998 г. — 192 с.
Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. Справочник по математике для средней школы. – М.: Наука, 1980.- 400 с.
http://microexcel.ru/uravnenie/
http://www.art-talant.org/publikacii/47300-vidy-uravneniy-i-sposoby-ih-resheniya