Что такое уравнение второй степени 8 класс

Степень уравнения

Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.

Чтобы определить степень уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:

• раскрыть скобки,
• освободить уравнение от дробных членов,
• перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
• сделать приведение подобных членов.

После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:

Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.

10 — x = 2 — уравнение первой степени с одним неизвестным;

x 2 + 7x = 16 — уравнение второй степени с одним неизвестным;

x 3 = 8 — уравнение третьей степени с одним неизвестным.

Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.

Для примера возьмём уравнение

Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):

3x 2 y 1 + x 1 y 1 + 25 1 = 0.

Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:

3x 2 y 1 — сумма показателей равна 2 + 1 = 3;

x 1 y 1 — сумма показателей равна 1 + 1 = 2.

Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

2xy — x = 25 — уравнение второй степени с двумя неизвестным,

xy 2 — 2xy + 8y = 0 — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Уравнения второй степени: формулы, как их решать, примеры, упражнения

Уравнения второй степени: формулы, как их решать, примеры, упражнения — Наука

Содержание:

В квадратные или квадратные уравнения и неизвестное имеют видтопор 2 + bx + c = 0.Где a ≠ 0, поскольку если бы он был равен 0, уравнение было бы преобразовано в линейное уравнение, а коэффициенты a, b и c — действительные числа.

Неизвестным, которое предстоит определить, является значение x. Например, уравнение 3x 2 — 5x + 2 = 0 — полное квадратное уравнение.

Существуют также варианты, известные как неполные уравнения второй степени, в которых отсутствуют какие-либо члены, кроме топор 2 . Вот некоторые примеры:

Аль-Джуарисми, известный арабский математик античности, описал в своих работах различные типы уравнений первой и второй степени, но только с положительными коэффициентами. Однако именно французский математик Франсуа Вите первым ввел буквы для обозначения величин и предложил решение с помощью формулы решительный:

Это общая формула, позволяющая решить квадратное уравнение, найти его корни или нули, даже если решения не являются действительными. Есть и другие способы их решения.

Как решать квадратные уравнения?

Уравнения второй степени могут быть решены с использованием формулы, приведенной выше, и есть также другие алгебраические процедуры, которые могут дать результаты в некоторых уравнениях.

Мы собираемся решить уравнение, предложенное в начале, с формулой, подходящим методом для любого квадратного уравнения с одной неизвестной:

Чтобы правильно использовать формулу, обратите внимание, что:

• к коэффициент при члене с x 2
• б коэффициент при линейном члене
• c это самостоятельный термин.

Мы собираемся идентифицировать их с помощью того же уравнения:

Обратите внимание, что знак, который сопровождает коэффициент, необходимо учитывать. Теперь подставляем эти значения в формулу:

В числителе стоит символ «плюс — минус» ±, который указывает, что величина с корнем может приниматься как положительная, так и отрицательная. Квадратное уравнение имеет не более двух действительных решений, и этот символ учитывает это.

Позвоните x₁ и х₂ к этим двум решениям, то:

Икс₂ = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Разрешение по факторингу

Некоторые уравнения второй степени состоят из трехчленов, которые легко разложить на множители. Если так, то этот метод работает намного быстрее. Рассмотрим уравнение:

Икс 2 + 7x — 18 = 0

Факторизация имеет следующий вид:

Пустые места заполняются двумя числами, которые при умножении дают 18, а при вычитании — 7. Знаки в скобках выбираются по этому критерию:

-В первой скобке знак ставится между первым и вторым слагаемыми.

-А во второй скобке указано произведение увиденных знаков.

Что касается чисел, то в этом случае их легко подсчитать: это 9 и 2. Самый большой всегда помещается в первую из круглых скобок, например:

Икс 2 + 7x — 18 = (x + 9). (х — 2)

Читатель может проверить с помощью свойства дистрибутивности, что при построении произведения правой части равенства получается трехчлен левой. Теперь уравнение переписано:

Для выполнения равенства достаточно, чтобы один из двух множителей был равен нулю. Итак, в первом x должно быть выполнено₁ = -9 или может оказаться, что второй множитель исчезнет, ​​и в этом случае x₂ = 2. Это решения уравнения.

Графический метод

Корни или решения квадратного уравнения соответствуют пересечениям параболы y = топор 2 + bx + c с горизонтальной осью или осью x. Таким образом, при построении графика соответствующей параболы мы найдем решение квадратного уравнения, сделав y = 0.

Разрезы параболы с горизонтальной осью представляют собой решения уравнения топор 2 + bx + c = 0. Парабола, которая пересекает горизонтальную ось только в одной точке, имеет единственный корень, и он всегда будет вершиной параболы.

И наконец, если парабола не пересекает горизонтальную ось, соответствующее уравнениетопор 2 + bx + c = 0 ему не хватает реальных решений.

Построение графика вручную может быть трудоемким, но с использованием онлайн-программ для построения графиков это очень просто.

Разрешение научного калькулятора

Многие модели научных калькуляторов позволяют решать квадратные уравнения (а также уравнения других типов). Чтобы узнать это, вам нужно проверить меню.

После выбора варианта квадратного уравнения для одного неизвестного, меню просит ввести значения коэффициентов a, b и c и возвращает реальные решения, если они существуют. И есть также модели научных калькуляторов, которые работают с комплексными числами и предлагают эти решения.

Дискриминант квадратного уравнения

Чтобы узнать, имеет ли уравнение действительные решения или нет и сколько их, без необходимости сначала решать, дискриминант Δ определяется как величина под квадратным корнем:

По знаку дискриминанта известно, сколько решений имеет уравнение по этому критерию:

-Два реальных решения: Δ> 0

-Реальное решение (или два одинаковых решения): Δ = 0

-Нет реального решения: Δ 2 + 12x + 64 = 0? Идентифицируем коэффициенты:

Δ = Ь 2 — 4ac = 12 2 — 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

У уравнения есть два решения. Теперь посмотрим на этот другой:

Икс 2 — 6x + 9 = 0

Δ = (-6) 2 — 4 х 1 х 9 = 36 — 36 = 0

Это уравнение с одним решением или с двумя равными решениями.

Примеры простых квадратных уравнений

Вначале мы сказали, что уравнения второй степени могут быть полными, если трехчлен есть, и неполными, если линейный член или независимый член отсутствует. Теперь давайте посмотрим на некоторые конкретные типы:

Уравнение вида x 2 + mx + n = 0

В этом случае a = 1 и формула сводится к:

Для этого типа уравнения и всегда в зависимости от оставшихся коэффициентов, метод факторизации может работать хорошо, как мы видели в предыдущем разделе.

Неполное уравнение вида ax 2 + c = 0

Решение, если оно существует, имеет вид:

Когда a или c имеют отрицательный знак, существует реальное решение, но если два члена имеют одинаковый знак, решение будет мнимым.

Неполное уравнение вида ax 2 + bx = 0

Это уравнение быстро решается с использованием факторизации, поскольку x является общим множителем в обоих терминах. Одно из решений всегда x = 0, другое находится так:

ах + Ь = 0 → х = -b / а

Давайте посмотрим на пример ниже. Решить:

Следовательно, x₁ = 0 и x₂ = 5

Уравнения со знаменателем

Существуют различные уравнения рационального типа, в которых неизвестное может присутствовать как в числителе, так и в знаменателе или даже только в последнем, и которые с помощью алгебраических манипуляций сводятся к квадратным уравнениям.

Чтобы решить их, нужно умножить обе части равенства на наименьшее общее кратное или m.c.m знаменателей, а затем переставить члены. Например:

Уравнения высшего порядка, которые становятся квадратичными

Существуют уравнения более высокого порядка, которые можно решить, как если бы они были квадратичными, с помощью замены переменной, например это уравнение двуквадратный:

Икс 4 — 10x 2 + 9 = 0

Пусть x 2 = u, тогда уравнение принимает вид:

или 2 — 10u + 9 = 0

Это уравнение быстро решается путем факторизации, нахождения двух чисел, которые умножаются на 9 и складываются с 10. Это числа 9 и 1:

Следовательно, решениями этого уравнения являются u₁ = 9 и u₂ = 1. Теперь возвращаем изменение:

Икс 2 = 9 → х₁ = 3 и x₂ = -3

Икс 2 = 1 → х₁ = 1 и x₂ = -1

Исходное уравнение имеет порядок 4, поэтому у него не менее 4 корней. В примере это -3, -1, 1 и 3.

Простые решаемые упражнения

— Упражнение 1

Решите следующее квадратное уравнение с неизвестным в знаменателе:

Наименьшее общее кратное — это x (x + 2), и вы должны умножить все члены:

Эквивалентное выражение остается:

5х (х + 2) — х = х (х + 2)

5x 2 + 10х — х = х 2 + 2x

Все слагаемые переносим слева от равенства, а справа оставляем 0:

5x 2 + 10х — х — х 2 — 2x = 0

Мы учитываем, поскольку это неполное уравнение:

Одно из решений x = 0, другое:

— Упражнение 2.

Найдите решение квадратных уравнений:

а) -7x 2 + 12x + 64 = 0

б) х 2 — 6x + 9 = 0

Решение для

Из этого уравнения мы знаем определитель Δ, потому что он был вычислен в качестве примера ранее, поэтому мы собираемся воспользоваться им, выразив разрешающую формулу следующим образом:

Икс₁ = (-12+44) / -14 = – (32/14) = – (16/7)

Икс₂ = (-12 – 44) / -14 = 4

Решение б

Квадратный трехчлен x 2 — 6x + 9 факторизуем, так как это трехчлен полного квадрата:

Икс 2 — 6х + 9 = (х-3) 2 = 0

Решение этого уравнения — x = 3.

— Упражнение 3.

Какое уравнение имеет решения 3 и 4?

Решение

Применение распределительного свойства:

Икс 2 — 4х -3х + 12 = 0

Два центральных члена похожи и могут быть сокращены, в результате чего остается:

Икс 2 — 7х + 12 = 0

Ссылки

1. Балдор. 1977. Элементарная алгебра. Венесуэльские культурные издания.
2. Хоффман, Дж. Выбор тем по математике. Том 2.
3. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
4. Стюарт, Дж. 2006. Precalculus: математика для исчисления. 5-е. Издание. Cengage Learning.
5. Сапата, Ф. 4 способа решения квадратного уравнения. Получено с: francesphysics.blogspot.com.
6. Зилл, Д. 1984. Алгебра и тригонометрия. Макгроу Хилл.

Что такое детрит? (В биологии, геологии и медицине)

Мойсес Саенс Гарса: биография, вклад и работы

Урок изучения нового материала «Уравнения второй степени» 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Уравнения второй степени

обобщение и систематизация знаний обучающихся по теме «Квадратные уравнения»

— развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

— развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

— развитие навыков критериального оценивания

— воспитание познавательного интереса к предмету;

— воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

— воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Форма урока: урок путешествие –восхождение к вершинам знаний

— Какую тему мы изучаем?

— Зачем мы изучаем квадратные уравнения?

— На следующем уроке вы пишете контрольную работу по теме «Квадратные уравнения». Значит, какова основная цель урока?

— На основе листа оценки достижений по теме сформулируйте задачи лично для себя.

— Сегодня мы совершим путешествие к вершинам знаний по теме «Квадратные и рациональные уравнения».

Маршрут путешествия таков:

Первая вершина- основа основ (отработка теоретической базы)

Вторая вершина-техника безопасности (устные упражнения)

Третья вершина –лучше гор могут быть только горы (отработка навыков решения уравнений и задач)

Четвертая вершина — сияющая вершина, или умный в гору не пойдет, умный гору обойдёт.

Отвечают на вопросы учителя.

Формулируют цели и задачи урока

Читают девиз урока, объясняют, как они его понимают.

Итак, первая вершина-основа основ (отработка теоретической базы)

Повторим теорию с помощью игры «Домино»

Совершим небольшое путешествие в историю квадратных уравнений (3 мин.)

Вспомним формулы, которые нужны для решения квадратных уравнений (3 мин.)

Оценим степень успешности прохождения первой вершины, сделаем вывод (1 мин.)

Вторая вершина-техника безопасности

(устные упражнения) – 5 минут

Устно решите уравнения, предложенные на слайде

Найдите количество корней уравнения:

Определите наибольший корень первого квадратного уравнения (задание из ОГЭ).

Оцените степень успешности преодоления второй вершины, сделайте вывод для себя.

Третья вершина – лучше гор могут быть только горы (Самостоятельная работа по отработке навыков решения уравнений и задач). – 7 мин.

— На этом этапе вы можете реализовать поставленные в начале урока личные задачи.

1. Выберите задание, соответствующее одному из базовых критериев.

3. Выполните задание.

4. Проверьте себя по карточке –эталону (она такого же цвета), оцените степень успешности.

— Если позволяет время, можете выполнить ещё одно задание.

-Если что-то непонятно, обратитесь к учителю или соседу по парте.

Четвертая вершина — сияющая вершина, или умный в гору не пойдет, умный гору обойдёт.

— На этом этапе урока вы тоже можете сделать выбор: попробовать свои силы в заданиях повышенного уровня сложности или потренироваться в нахождении корней квадратного уравнения с помощью теоремы Виета.

Вы можете работать самостоятельно или в паре, группе.

В группах играют в математическое домино (Приложение 1)

Смотрят слайды презентации

Выполняют задание на выбор формул из предложенных с избытком

Работают с листом самооценки на урок (Приложение 4)

В паре решают устно уравнения:

Находят число корней уравнения, используя дискриминант.

Определяют наибольший корень первого уравнения.

Работают с листом самооценки

Самостоятельно решают выбранное задание (Приложение 3) , проверяют и оценивают себя.

Решают задания, дифференцированные по уровню сложности индивидуально или в паре, тройке.

Проверяют и оценивают свою работу

— Подведите итоги своей работы: подсчитайте общее количество баллов, определите свой уровень успешности на уроке, поставьте оценку.

— Вернитесь к листу оценки достижений по теме. Вспомните, какую задачу вы ставили себе на урок?

— Достигли ли вы её?

— По каким критериям вы могли бы добавить себе баллы после сегодняшнего урока?

— Удалось ли продвинуться на более высокий уровень?

— Домашние задания я вам предлагаю на выбор, в зависимости от того, на какую оценку вы претендуете.

Работают с листом самооценки по уроку и с листом оценки достижений по теме (Приложение 5)

Выбирают домашнее задание (Приложение 4)

Какое уравнение называется квадратным?

Квадратным уравнением называется уравнение вида

ах 2 +вх + с = 0, где а, в и с – числа, коэффициенты, а х — переменная

Что называют корнем квадратного уравнения?

Корнем квадратного уравнения называют значение переменной х , при котором ах 2 +вх + с = 0

Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это определить?

Если D >0 – 2 корня, D =0 – 1 корень,

Как найти дискриминант квадратного уравнения?

Дискриминант можно найти по формуле: D = в 2 – 4ас

Какие виды квадратных уравнений существуют?

Полное, неполное, приведённое

Какое уравнение называют приведённым?

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент а= 1 ( х 2 + px + q = 0)

Карточки для самостоятельной работы

А) х 2 +8 х + 15 = 0 Б) х 2 — 112 х + 327 = 0 В) х 2 +102 х + 392 = 0

Найдите корни уравнения : x 2 + 3 x = 18

Решите уравнение x 2 −20= x

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший
из корней.

Разложи на множители квадратный трёхчлен:

А) х 2 — 11 х + 24 = 0 Б) — х 2 +11 х — 28 = 0 В) 6 х 2 + 5 х + 1 = 0

Разложи на множители квадратный трёхчлен:

Из города M в город N , находящийся на расстоянии 120 км, выехали одновременно автобус и легковая машина, скорость которой на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости автобуса и легкового автомобиля, если автомобиль прибыл в город N на 1 час раньше.

Из пунктов А и В , расстояние между которыми 19 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста и встретились в 10 км от В . Турист, шедший из А , сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость туриста, шедшего из В , если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем турист, шедший из А .

Умный в гору не пойдёт, умный гору обойдёт!

Найди корни уравнения, пользуясь теоремой Виета, выпиши в ответ наименьший корень

А) х 2 — 7 х +12 = 0 Б) х 2 + 12 х +20 = 0 А) х 2 +9 х — 22 = 0

Умный в гору не пойдёт, умный гору обойдёт!

Отношение корней квадратного уравнения х 2 + 3 х + q = 0

равно 5. Найди корни уравнения и значение q .

Один из корней квадратного уравнения х 2 — 2 х + q = 0 на 5 больше другого.

Найди корни уравнения и значение q .

1. Реши уравнения: А) х 2 +11 х + 28 = 0 Б) х 2 — 116 х + 660 = 0

1. Реши уравнения: А) — х 2 -11 х — 28 = 0 Б) х 2 — 116 х + 1600 = 0

Реши задачу №27.12

1. Реши уравнения: А) — х 2 -11 х — 28 = 0 Б) х 2 — 116 х + 1600 = 0

2.Сократи дробь:

3.Реши задачу №27.13

4. Один из корней квадратного уравнения х 2 — 5 х + q = 0 на 3 меньше другого.

Найди корни уравнения и значение q .

Найди корни уравнения и значение q .

Лист самооценки по математике

Тема : Квадратные уравнения (обобщающий урок)

2б. – знаю, понимаю, умею, но в решении иногда допускаю ошибку

1б. – знаю, умею, но в решении обычно допускаю ошибки

0 б. – не знаю, не понимаю, не умею

Знание теории и формул по теме «Квадратные уравнения»

Умение устно решать простейшие квадратные уравнения

2 критерия – общие для всех, далее следуют индивидуально выбранные критерии

Лист оценки индивидуальных достижений

по предмету «Математика» (8 класс)

Блок №7 «Квадратные уравнения»

3. Умение решать квадратные уравнения

4. Умение решать задачи с помощью квадратных уравнений

Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой, а его площадь равна 84 см 2 . Найдите стороны прямоугольника

5. Умение раскладывать квадратный трёхчлен на множители

Разложи на множители квадратный трёхчлен:

6. Умение сокращать дроби, содержащие квадратный трёхчлен

7. Умение решать рациональные уравнения

8. Умение использовать рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Реши задачу: №27.5, 27.25, 27.27

9. Умение решать иррациональные уравнения

10. Умение выполнять задания повышенного уровня сложности, в том числе решать квадратные уравнения с параметрами

При каких значениях параметра р уравнение х 2 – рх + р = 0 имеет один корень?

Отношение корней квадратного уравнения х 2 + 3 х + q = 0

равно 4. Найди корни уравнения и значение q .

27 – 30 б. (90 –100%) – высокий уровень освоения темы – «5»

20 – 26 б. (66 – 89%) – выше среднего – «4»

15-19 б. (50–65%) – средний уровень – «3»

Меньше 15 б. (менее 50%) – низкий уровень – «2»

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 427 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

Глава 3. Квадратные уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 28.12.2020
• 204
• 6

• 28.12.2020
• 97
• 4

• 28.12.2020
• 83
• 3

• 28.12.2020
• 622
• 4

• 28.12.2020
• 179
• 6

• 28.12.2020
• 122
• 1

• 28.12.2020
• 160
• 13

• 28.12.2020
• 113
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 28.12.2020 169
• DOCX 189 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Никитина Raya Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 3 месяца
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 2457
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.