Что такое уравнения математической физики

математической физики уравнения

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — ур-ния, описывающие матем. модели физ. явлений. Теория этих моделей (математическая физи-к а) занимает промежуточное положение между физикой и математикой. При построении моделей используют физ. законы, однако методы исследования полученных ур-ний являются математическими. В понятие методов математической физики включают те математические методы, к-рые применяют для построения и изучения моделей, описывающих широкие классы физических явлений.

Методы матем. физики начали разрабатываться в трудах И. Ньютона (I. Newton) по созданию основ классич. механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее их развитие и применение к изучению матем. моделей разл. физ. явлений связаны с именами Ж. Л. Лагранжа (J. L. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eulеr), Ж. Фурье (J. Fourier), K. Ф. Гаусса (С. F. Gaufi), Б. Римана (В. Riemann), M. В. Остроградского, A. M. Ляпунова, В. А. Стеклова.

Методы матем. физики применяли для изучения физ. явлений, связанных с разл. полями и волновыми процессами в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике, теории тепла и диффузии и ряде др. исследований физ. явлений в сплошных средах. Матем. модели этих явлений обычно описывают при помощи дифференц. ур-ний с частными производными, получивших название M. ф. у.

Помимо дифференц. ур-ний при описании матем. моделей физики применяют интегральные и интегро-дифференц. ур-ния, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теорию потенциала, методы теории аналитич. ф-ций и др. разделы математики. Особое значение для исследования матем. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, что позволило эффективно решать сложные задачи газовой динамики, теории переноса, физики плазмы.

Теоретич. исследования в области квантовой физики потребовали расширения используемых матем. методов. Стали применять теорию операторов, теорию обобщённых ф-ций, топологич. и алгебраич. методы. Интенсивное взаимодействие теоретич. физики, математики и использования ЭВМ в науч. исследованиях привело к расширению тематики, созданию новых классов моделей.

Постановка задач матем. физики заключается в построении матем. моделей, описывающих осн. закономерности изучаемого класса физ. явлений. Такая постановка состоит в выводе ур-ний (диффероиц., интегральных, интегро-дифференц. или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физ. процесс. При этом исходят из осн. физ. законов, учитывающих только наиб, существ, черты явления, отвлекаясь от второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., кол-ва движения, энергии, числа частиц и т. д. Поэтому для описания процессов разл. физ. природы, но имеющих общие характерные черты, применимы одни и те же матем. модели.

Краевые задачи. Для полного описания эволюции физ. процесса помимо ур-ний необходимо, во-первых, задать картину процесса в нок-рый фиксиров. момент времени (начальные условия) и, во-вторых, задать режим на границе той среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференц. ур-ния вместе с соответствующими краевыми условиями — краевую задачу матем. физики.

Большинство M. ф. у.- линейные дифференц. ур-ния с частными производными 2-го порядка:

с кусочно-непрерывными коэф.. Заменой переменных квадратичную форму можно привести к канонич. виду

причём числа r и т не зависят от преобразования. Если m = n и все слагаемые одного знака (r = 0 или r = т), то ур-ние относится к эллиптическому типу. Если т = п, но имеются слагаемые разных знаков, исследуемое ур-ние -гиперболического типа. При т h )изменяются в области где развивается рассматриваемый физ. процесс; при этом должно быть , При этих условиях ур-ние (1) — ур-ние гиперболич. типа. Прии q = 0 ур-ние (1) превращается в волновое уравнение

где — оператор Лапласа.

описывает процессы диффузии частиц и распространения тепла в среде. Ур-ние (3) — ур-ние параболич. типа. При ур-ние (3)

превращается в уравнение теплопроводности

Для стационарных процессов, когда отсутствует зависимость от времени f, ур-ния (1) и (3) принимают вид

Ур-ние (5) — ур-ние эллиптич. типа. При r = 1 и q = 0 ур-ние (5) наз. ур-нием Пуассона

Ур-ниям (6) и (7) удовлетворяют разл. потенциалы: ньютонов (кулонов) потенциал, потенциал течения несжимаемой жидкости и т. д.

Если в волновом ур-нии (2) внеш. возмущение f — периодическое с частотой

то амплитуда и(х)периодич. решения с той же частотой w

удовлетворяет Гельмголъца уравнению

К ур-нию Гельмгольца приводят задачи дифракции.

Для полного описания процесса колебаний необходимо задать нач. возмущение и нач. скорость

а для процесса диффузии — только нач. возмущение

Кроме того, на границе S области G необходимо удовлетворить заданному режиму. В простейших случаях граничные условия для ур-ний (1), (3), (5) описывают соотношением

где Ic и h — заданные неотрицательные ф-ции, не обращающиеся в нуль одновременно, h — внеш. нормаль к поверхности— заданная ф-ция. В случае неогранич. областей, напр, внешности огранич. области, кроме условия на границе задают также условие на бесконечности. Напр., для ур-ния Гельмгольца (8) на бесконечности задают Зоммерфельда условия излучения.

Краевая задача, к-рая содержит только нач. условия (и, стало быть, не содержит граничных условий, так что область G — всё пространство , наз. Коши задачей. Для ур-ния (1) задача Коши (1), (9) ставится след, образом: найти ф-циюудовлетворяющую ур-нию (1) прии нач. условиям (9) на плоскости . Аналогично ставится и задача Коши (3), (10) для ур-ния диффузии (3).

Если в краевой задаче присутствуют и нач., и граничные условия, то такая задача наз. смешанной задачей. Для ур-ния (1) смешанная задача (1), (9), (11) ставится так: найти ф-цию удовлетворяющую ур-нию (1) в цилиндре, нач. условиям (9) на его ниж. основании G и граничному условию (11) на его боковой поверхности. Аналогично ставится смешанная задача (3), (10), (11) для ур-пия диффузии (3). Существуют и др. постановки краевых задач.

Для стационарного ур-ния (5) нач. условия отсутствуют и соответствующая краевая задача ставится так: найти ф-цию удовлетворяющую ур-нию (5) в области G и граничному условию на границе S области G:

Для ур-ния (5) краевая задача с граничным условием наз. Дирихле задачей, а с граничным условием

— Неймана задачей. Различают внеш. и внутр. краевые задачи Дирихле и Неймана. Для внеш. задач кроме граничных условий необходимо задавать условия на бесконечности.

К краевым задачам для ур-ния (5) относятся также задачи на собств. значения: найти те значения параметра (собств. значения), при к-рых однородное ур-ние

имеет нетривиальные решения (собств. ф-ции), удовлетворяющие однородному граничному условию

Если G — огранич. область с достаточно гладкой границей S, то существует счётное число неотрицательных собств. значений, . задачи (12), (13)

, каждое — конечной кратности; соответствующие собств. ф-ции

образуют полную ортонормиров. систему ф-ций; при этом всякая ф-ция, удовлетворяющая граничному условию (13), разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по системе собств. ф-ций

Обобщённые задачи. Изложенные постановки краевых задач предполагают достаточную гладкость решения внутри области вплоть до границы. Такие постановки краевых задач наз. классическими. Однако во MH. физ. задачах приходится отказываться от требований гладкости. Внутри области решение может быть обобщённой функцией и удовлетворять ур-нию в смысле обобщенных ф-ций, краевые условия могут удовлетворяться в к—л. обобщённом смысле. Такие краевые задачи наз. обобщёнными, а соответствующие решения — обобщёнными решениями. Напр., обобщённая задача Коши для волнового ур-ния ставится след. образом. Пусть — классич. решение задачи Коши (2), (9). Ф-ции и и f продолжим нулём наи обозначим ихсоответственно. Тогда ф-циябудет удовлетворять в смысле обобщённых ф-ций во всём пространстве волновому ур-нию

При этом нач. возмущения u o и и 1 играют роль мгновенно действующих внеш. источников типа двойного слоя, , и простого слоя,. Сказанное позволяет ввести след, определение. Обобщённой задачей Коши для волнового ур-ния с источником F (обобщённая ф-ция F=0 при t 1 ; 2) решение должно быть единственным, возможно в др. классе ф-ций 3) решение должно непрерывно зависеть от данныхзадачи (нач. и граничных данных, свободных членов, коэф. ур-ния и т. д.). Требование непрерывной зависимости решения возникает в связи с тем, что данные физ. задачи, как правило, определяют из эксперимента приближённо, поэтому необходимо быть уверенным в том, что решение задачи не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.

Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям 1-3, наз. корректно поставленной, а множество ф-ций — классом корректности. Хотя требования 1-3, на первый взгляд, кажутся естественными, их тем не менее необходимо доказывать в рамках принятой матем. модели. Доказательство корректности — первая проверка матем. модели: модель непротиворечива, не содержит паразитных решений и мало чувствительна к погрешностям измерений.

Нахождение корректных постановок краевых задач матем. физики и методов построения их решений (точных или приближённых) и составляет одно из главных содержаний предмета M. ф. у. Известно, что все перечисленные выше краевые задачи поставлены корректно.

Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из условий 1-3, наз. некорректной задачей. Некорректные задачи приобретают в математической физике всё возрастающее значение: к ним в первую очередь относятся обратные задачи, а также задачи, связанные с обработкой и интерпретацией результатов наблюдений.

с заданными (однородными) краевыми условиями на границе области изменения переменных наз. ф-ция , удовлетворяющая при каждом из этой области ур-нию

В физ. ситуациях ф-ция Грина) описывает возмущение от точечного (в точке мгновенного (в момент источника единичной интенсивности (с учётом неоднородности среды и краевого эффекта). В случае постоянных коэф. и отсутствия границы ф-ция Грина прииназ. фундаментальным решением и обозначается

Доказано существование фундам. решения для любого оператора

С помощью фундам. решениярешение ур-ния

с произвольной правой частью F (обобщённая ф-ция) выражается во всем пространстве свёрткой

В этом состоит сущность метода точечного источника решения линейных задач матем. физики.

Методы решения. Для исследования и приближённого решения смешанных задач используют разделения переменных метод (метод Фурье) при условии, что коэф. в ур-нии и в граничном условии не зависят от времени t. Идея метода, напр, применительно к задачам (3), (10), (13), состоит в следующем: искомое решение и правую часть разлагают в ряд Фурье

по собств. ф-циям краевой задачи (12), (13):

Подставляя эти ряды в ур-ние (3), для неизвестных ф-ций получают ур-иие

При этом, чтобы ряд (17) для и удовлетворял нач. условию (10), необходимо положить

Решая задачу Коши (18), (19), получают формальное решение задачи (3), (10), (13) в виде ряда

Возникает задача обоснования метода Фурье: когда формальный ряд (20) даёт классич. или обобщённое решение задачи (3), (10), (13)? Аналогично метод Фурье применяют и к смешанной задаче (1), (9), (13).

Метод разделения переменных находит применение также и для решения краевых задач для ур-ння эл-липтич. типа (5). При исследовании и приближённом решении краевых задач для ур-ния (5) используют вариац. методы. Так, напр., для задачи на собств. значения (12), (13) (при r = 1) собств. значения l R удовлетворяют вариац. принципу:

где ф-ции сравнения и удовлетворяют (13); при этом inf в (21) реализуется на любой собств. ф-ции, соответствующей собств. значению, и только на ней.

Перечисленные краевые задачи не исчерпывают всё многообразие краевых задач матем. физики, это простейшие классич. примеры краевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физ. процессы, могут быть сложными: системы ур-ний, ур-ния высших порядков, нелинейные ур-ння. К ним в первую очередь относятся ур-ние Шрёдингера, ур-ния гидродинамики, переноса, магн. гидродинамики, ур-ния Максвелла, теории упругости, yp-ния Дирака, ур-ния Гильберта — Эйнштейна, ур-ния Янга — Миллса и др. В связи с поисками нетривиальных моделей, описывающих взаимодействие квантовых полей, возрос интерес к классич. нелинейным ур-ниям (см. Нелинейные уравнения математической физики).

Лит.: Тихонов A. H., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1977; Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., M., 1964; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 изд., M., 1988; его же, Обобщённые функции в математической физике, 2 изд., M., 1979; Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, M., 1973; Тихонов А. Н.,Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач, 3 изд., M., 1986; Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, 2 изд., M., 1983; Рид M., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1-4, M., 1977-82; Адамар Ж., Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, пер. с франц., M., 1978; Pихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, M., 1984. В. С. Владимиров.

МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЙ ФИ́ЗИКИ УРАВНЕ́НИЯ

МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЙ ФИ́ЗИКИ УРАВ­Н Е́­НИЯ, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми, а так­же не­ко­то­рые родств. урав­не­ния иных ти­пов (ин­те­граль­ные, ин­тег­родиф­фе­рен­ци­аль­ные и т. д.), к ко­то­рым при­во­дит ма­те­ма­тич. ана­лиз фи­зич. яв­ле­ний. Для пол­но­го опи­са­ния ди­на­ми­ки фи­зич. про­цес­са, по­ми­мо урав­не­ний, не­об­хо­ди­мо за­дать со­стоя­ние про­цес­са в не­ко­то­рый фик­си­рован­ный мо­мент вре­ме­ни (на­чаль­ные ус­ло­вия) и ре­жим на гра­ни­це сре­ды, где про­те­ка­ет этот про­цесс (гра­нич­ные ус­ло­вия). На­чаль­ные и гра­нич­ные ус­ло­вия об­ра­зу­ют крае­вые ус­ло­вия, а диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния вме­сте с со­от­вет­ст­вую­щи­ми крае­вы­ми ус­ло­вия­ми при­во­дят к крае­вым за­да­чам ма­те­ма­тич. фи­зи­ки.

Основные типы уравнений математической физики

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

,

и уравнение Лапласа

.

Уравнение колебаний струны.

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

при начальных условиях

, ,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

, ,

,

,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

.

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

,

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

.

,

.

Интегрируя последнее равенство, получим:

,

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

.

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), . (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (15)

Общее решение этих уравнений

,

,

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и .

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

,

.

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная , можем записать

.

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

.

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

.

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, 0