Классификация уравнений математической физики (линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка)
Многие задачи механики, физики, технологии приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, называемых уравнениями математической физики.
Дифференциальные уравнения математической физики,которые мы будем изучать, – это линейные уравнения второго порядка. Как указано ранее уравнение называют линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, то есть если это уравнение может быть записано в виде уравнения (18.1)
Общепринята следующая классификация уравнения (18.1). Принадлежность уравнения к тому или иному типу определяется коэффициентами при старших производных.
Обозначим – дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции Δ уравнение (18.1) относится в данной области к одному из следующих типов:
Δ 0 – эллиптический тип;
Δ не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.
Замечание. В уравнении (18.1) независимыми переменными являются координаты x и y. Во многих задачах одной из двух независимых переменных является время и уравнение (18.1) можно записать через x и t (см. табл. 1).
B = C = 0; Δ = 0 – это уравнение параболического типа.
В уравнении Лапласа
–
A = 1, B = 0, C = 1, Δ = AC – B 2 > 0 – это уравнение эллиптического типа.
–
уравнение смешанного типа в любой области P, содержащей точки оси 0X. При y 0 – эллиптического типа, при y = 0 – линии параболичности.
Докажите самостоятельно, что уравнение
– гиперболического типа.
Краевые условия
Дифференциальные уравнения с частными производными имеют в общем случае бесчисленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса необходимы какие то дополнительные условия. Эти дополнительные данные состоят из краевых, то есть граничных и начальных условий.
Граничные условия заключаются в том, что указываются значения неизвестной функции u на концах промежутка изменения координаты (в задаче о линейной теплопроводности это концы стержня, в задачах о колебаниях струны – это концы струны и т.д.).
Условия, относящиеся к начальному моменту времени, называются начальными.
В каком же случае задаются какие краевые условия? Для того, чтобы лучше понять это, следует рассмотреть понятие стационарного и нестационарного процессов.
Нестационарными называются задачи, решение которых зависит не только от пространственных координат (x, y, z), но и от времени t. Эти задачи связаны с процессами, протекающими во времени. Например, это процессы распространения тепла, процессы диффузии, колебательные (волновые) процессы, процессы распространения электрических волн и ряд других.
Основными дифференциальными уравнениями математической физики, описывающими нестационарные процессы, являются уравнение теплопроводности
(18.2)
и волновое уравнение
(18.3)
Уравнение (18.2) является уравнением параболического типа, а уравнение (18.3) – гиперболического. Постановка задач для уравнений этих типов характеризуется наличием как граничных, так и начальных условий.
Начальные условия состоят в задании в момент времени t = 0 значений искомой функции u и ее производной (в гиперболическом случае) или только значений самой функции (в параболическом случае).
Таким образом, для уравнения теплопроводности ставится одно начальное условие (то есть условие при t = 0)
а для волнового уравнения – два:
(0, x, y, z) = ψ(x, y, z). (18.6)
В случае, если процесс протекает в неограниченной области (область называется неограниченной, если хотя бы одна из координат ее точек может быть сколь угодно большой, например бесконечный стержень, бесконечная струна и т.д.), то задаются лишь начальные условия (задача Коши).
В случае, если задача ставится для конечного интервала, то должны быть заданы и начальные и граничные условия. Тогда говорят о смешанной задаче.
Для описания стационарных процессов обычно используют уравнения эллиптического типа. Время t в эти уравнения не входит. Такими оказываются уравнения стационарного температурного поля, электростатического поля и т.д. Для задач такого типа ставятся только граничные условия, то есть указывается поведение неизвестной функции на контуре области (см.таблицу 1).
В рассматриваемых нами задачах математической физики именно физические соображения подсказывают, какие дополнительные условия следует поставить в той или иной задаче, чтобы получить единственное ее решение, отвечающее характеру изучаемого процесса.
Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики
Тип | Физический смысл | Одномерное уравнение | Многомерное уравнение | Дополнительные (краевые) условия |
Гиперболический | Волны (струны, мембраны, течение жидкости) затухающие волны | Граничные условия; начальные условия для u и | ||
Параболи- ческий | Уравнения теплопроводности, диффузии | Граничные условия; начальное условие для u | ||
Эллиптический | Статический случай | Только граничные условия |
– оператор Лапласа.
Основные типы уравнений математической физики
Основные типы уравнений
К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
1. Волновое уравнение:
.
Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.
2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:
.
Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.
3. Уравнение Лапласа:
.
Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.
В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид
,
и уравнение Лапласа
.
Уравнение колебаний струны.
Формулировка краевой задачи
В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка
.
Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства
Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.
Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.
.
Эти два условия называются начальными условиями.
Колебания бесконечной струны.
Формула Даламбера решения задачи Коши
для волнового уравнения
Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.
Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение
при начальных условиях
, ,
где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.
Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик
распадается на два уравнения:
интегралами которых служат прямые
Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.
, ,
,
,
и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет
.
Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим
,
где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция
. (8)
Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
.
,
.
Интегрируя последнее равенство, получим:
,
где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений
Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь
.
Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения
Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .
Используя формулу Даламбера, сразу получаем
.
Решение волнового уравнения
методом разделения переменных
Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения
, (9)
удовлетворяющее краевым условиям
u(x,0)=f(x), . (12),(13)
Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:
Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим
.
В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим
, где λ>0. (14)
Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
и . (15)
Общее решение этих уравнений
,
,
где A, B, C, D – произвольные постоянные.
Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим
А=0 и .
Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство
,
.
Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.
Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде
.
Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).
Зная , можем записать
.
Для каждого n получаем решение уравнения (9)
.
Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция
(16)
будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).
Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим
.
Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь
.
Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому
. (17)
Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.
Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения
, 0
http://pandia.ru/text/79/052/35879.php