Уравнения состояния
При решении некоторых задач теории автоматического управления удобнее представлять дифференциальное уравнение объекта (5.1) или дифференциальные уравнения системы (5.4) и (5.6) в виде совокупности дифференциальных уравнений первого порядка. Не умаляя общности, рассмотрим эти уравнения применительно к управляемому объекту.
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением n-го порядка (5.1)
называемых переменными состояния и представим уравнение (5.70) в виде системы дифференциальных уравнений
устанавливается алгебраическим уравнением
Обычно уравнения (5.71) и (5.72) записываются в векторпо-матричной форме:
— матрицы-столбцы. Матрицу-столбец-
могут иметь неодинаковые размерности.
В выборе переменных состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они были независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений (5.73) и (5.74), т. е. вид входящих в них матриц.
При нормальной форме уравнений состояния в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина \п- 1 ее производные:
т. с. когда оно имеет вид
Достоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, а некоторые из них (например, хих2 и х:]) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.
Для получения уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта (5.70) представляется в виде
Если корни рь Ръ-Рп полинома С0(р) действительные однократные, то правая часть (5.80) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей:
где К; и ()г- — коэффициенты разложения.
В качестве неременных состояния выбираются слагаемые суммы (5.81):
Большим достоинством канонической формы является диагоиальиость матрицы Л , что существенно упрощает решение уравнения (5.73). Основной недостаток ее состоит в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла, в результате чего возникает проблема их непосредственного измерения.
Существуют и другие способы выбора переменных состояния, которые здесь не рассматриваются.
Решение векторно-матричиого уравнения (5.73) может быть представлено в виде
Здесь оно без строгого доказательства построено по аналогии с решением линейного дифференциального уравнения 1-го порядка
общий интеграл которого, как известно, определяется но формуле
называется переходной или фундаментальной матрицей. Если уравнения состояния представлены в канонической форме, то матрица А диагональная и имеет вид (5.85). Тогда
При других формах уравнений состояния для определения фундаментальной матрицы можно использовать известные способы нахождения матричных функций, например, теоремы Кели—Гамильтона или Сильвестра. Можно также использовать формулу
—
При необходимости можно осуществить обратный переход от уравнений состояния к передаточным функциям объекта. Для этого уравнение (5.73) запишем в изображениях по Лапласу:
получается формула (5.88). Из уравнения
(5.74) с учетом (5.89) найдем изображение управляемой величины при нулевых начальных значениях:
При описании свойств объекта уравнениями состояния возникают две проблемы, нетипичные для случая, когда используется одно дифференциальное уравнение я-то порядка. Эти проблемы рассматриваются в следующем параграфе.
Что такое уравнения состояния в тау
Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»
Понятие пространства состояний
Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а).
Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»
Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.
1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа.
r — число входов
2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода
m — число выходов.
3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, — переменные состояния, представляются вектором
n — число переменных состояния.
Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, — в виде вектора состояния x (см. рис. 1.1, б).
Состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно.
Собственно система, ее входы и выходы — это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных.
Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний,.
Векторно-матричные модели в непрерывном времени
В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений:
Если компонентами вектора состояния выбрать , где Uп – напряжение преобразователя, iя — ток электродвигателя, — скорость вращения электродвигателя, МУ — момент упругости механизма, — скорость вращения механизма, то элементы векторно-матричной модели
не всегда являются физическими величинами. Иногда для удобства математического моделирования САУ целенаправленно отказываются от физического содержания переменных состояния. Поэтому в общем случае x n (t) являются абстрактными переменными. Однако они должны однозначно выражаться через физические величины y p (t).
В общем случае исследуемую САУ считают многомерной (рисунок 2.29). Для упрощения работы с многомерными величинами их представляют в векторно-матричном виде. Так, совокупность входных переменных представляют в виде вектора входа совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода а совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния
Согласно МПС множество всех значений, которые может принять вектор входа U в момент времени t, образует пространство входа исследуемой САУ. Аналогично, множество всех значений, которые может принять вектор выхода Y в момент времени t, образует пространство выхода, а множество всех значений, которые может принять вектор состояния X в момент времени t, образует пространство состояний САУ.
Как было отмечено, векторно-матричные уравнения (2.82) описывают многомерную САУ. Эта же совокупность уравнений служит ММ одномерной САУ, т.е. системы с одним входом и одним выходом. При использовании МПС такие САУ часто называют системами со скалярным входом и выходом, так как входная и выходная величины являются скалярными. Уравнения состояния и выхода одномерной системы имеют вид
Канонические формы уравнений состояния
Разработано множество эквивалентных форм (представлений) уравнений состояния, различающихся между собой видом матриц A , B и C . Одни из форм используются чаще, так как обладают в некоторых случаях известными преимуществами перед другими. Такие формы записи уравнений состояния называются каноническими. Считают, что удобство канонических форм заключается в следующем. Во-первых, канонические представления матриц обеспечивают минимальное количество ненулевых элементов, что заметно упрощает вычисления. Во-вторых, канонические представления приводят к простым алгоритмам синтеза оптимальных регуляторов замкнутых САУ /3/.
Таким образом, в результате приведения уравнений к канонической форме более простую структуру принимают две из трех матриц: A и B (управляемые формы) или A и C (наблюдаемые формы). Управляемые канонические формы используют при синтезе регулятора, а наблюдаемые канонические формы – при синтезе наблюдателя /23/.
Первая управляемая каноническая форма
Первой управляемой канонической формой называют специальные матрицы
Очевидно, что коэффициенты характеристического полинома A(s) составляют последний столбец матрицы A. Матрицы такого вида называют матрицами Фробениуса. Элементы таких матриц определяют без вычислений. Характеристический многочлен A(s) совпадает со знаменателем ПФ системы управления. Корни данного многочлена определяют устойчивость и качество переходных процессов в САУ.
Матрица входа B рассматриваемого канонического представления также имеет специальный вид. Вследствие скалярного входного воздействия матрица B представляет собой вектор-столбец, элементы которого также не требуется вычислять.
Полученная ММ системы управления может быть изображена в виде структурной схемы, представленной на рисунке 2.31.
Принятые переменные состояния являются выходными сигналами интеграторов.
Первую управляемую каноническую форму называют также канонической формой дуальной фазовой переменной /20/.
http://drive.ispu.ru/elib/kolganov2/l1.html
http://tau-predmet.narod.ru/tau2-2-modeli_vhod-sostoyanie-vihod.html