Метод итераций
Правила ввода функции
- Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Достаточные условия сходимости метода итерации
Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:
- Получить шаблон с омощью этого сервиса.
- Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
- Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).
Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .
3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)
Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.
Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)
Что можно сделать всегда и притом множеством способов.
Выберем начальное приближение x0Î [a;b].
Вычислим новые приближения:
Xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)
Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула — формулой итерационного процесса метода.
Если , то итерационный процесс Сходящийся .
Условие сходимости (3.9)
Точное решение x* получить невозможно, так как требуется Бесконечный Итерационный процесс.
Можно получить Приближенное Решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия
, (3.10)
Где ε — заданная точность; i — номер последней итерации.
В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.
Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).
Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.
Рис. 3.7 Итерационный процесс для случая 0 1 xÎ[a, b].
Рис. 3.10 Итерационный процесс для случая £ — 1 xÎ[a, b].
Из анализа графиков следует, что скорость сходимости растет при уменьшении значения
Метод достаточно прост, обобщается на системы уравнений, устойчив к погрешности округления (она не накапливается).
При разработке алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций следует предусмотреть защиту итерационного процесса от зацикливания: использовать в качестве дополнительного условия завершения итерационного процесса превышение заданного максимального числа итераций.
Рис 3.11. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций:
Основной проблемой применения метода является обеспечение сходимости итерационного процесса: нужно найти такое эквивалентное преобразование (3.1) в (3.7), чтобы обеспечивалось условие сходимости (3.9) .
Простейшие эквивалентные преобразования, например:
F(x) = 0 => x+f(x) = x, т. е. φ(x) = x + f(x)
Или выразить явно x из (3.1)
F(x) = 0 => x — φ(x) = 0 => x = φ(x)
Не гарантируют сходимость.
Рекомендуется следующий способ получения формулы Сходящегося итерационного процесса.
Пусть .
Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде
Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:
Константу l вычислить по формуле:
(3.11)
Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле
Xi = xi+1− λ f(x) (3.12)
Где i=1,2,… — номер итерации, x0Î[a, b] – начальное приближение.
Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].
Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.
Из уравнения выразим явно x:
Проверим условия сходимости для полученной формулы:
, ,
для x Î (0;1].
Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.
Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).
, , для всех x Î [0;1].
Наибольшее значение принимает при x = 1, т. е.
Следовательно .
Формула Сходящегося итерационного процесса
Уточним корень с помощью данной формулы.
Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).
Вычислим первое приближение
Проверим условие завершения итерационного процесса
Расчет следует продолжить.
X6 = 0,453917 − ответ, т. к.
Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:
Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.
Методы уточнения корней
Численные методы
На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому большое значение приобрели численные методы.
Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами. В зависимости от сложности задачи, заданной точности, применяемого метода может потребоваться огромное количество действий, и здесь без быстродействующего компьютера не обойтись.
Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т. е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения задачи являются:
— погрешность метода решения;
— погрешности округлений в действиях над числами.
Погрешность метода вызвана тем, что численным методом обычно решается другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. В ряде случаев численный метод представляет собой бесконечный процесс, который в пределе приводит к искомому решению. Процесс, прерванный на некотором шаге, дает приближенное решение.
Погрешность округления зависит от количества арифметических действий, выполняемых в процессе решения задачи. Для решения одной и той же задачи могут применяться различные численные методы. Чувствительность к погрешностям округления существенно зависит от выбранного метода.
Решение нелинейных уравнений
Постановка задачи
Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.
В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать:
где f ( x) – некоторая непрерывная функция аргумента x.
Всякое число x0 , при котором f (x0) ≡ 0, называется корнем уравнения f ( x) = 0.
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени не удается получить аналитического решения в виде формулы с конечным числом арифметических действий. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой заданной точностью.
При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.
Локализация корней
Для отделения корней уравнения f ( x) = 0 необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке [ a, b] имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке.
Если функция f ( x) непрерывна на отрезке [ a, b], а на концах отрезка её значения имеют разные знаки, т. е.
должно отличаться от точного x0 не более чем на величину ε:
Процедура численного определения приближенных значений корней нелинейных уравнений, как правило, состоит в выборе начального приближения к корню x0 Î[ a, b] и вычислении по некоторой формуле последующих приближений , x1 x2 и т.д. Каждый такой шаг называется итерацией, а сами методы уточнения – итерационными методами. В результате итераций получается последовательность приближенных значений корня
x0 , x1 , . . . , xk, . . . , которая называется итерационной последовательностью. Если эти значения с ростом k стремятся к точному значению корня x0, то говорят, что итерационный процесс сходится :
Методы уточнения корней
Дата добавления: 2017-09-19 ; просмотров: 3270 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/vychislitelnaia-matematika/3-2-1-metod-prostykh-iteratcii-metod-posledovatelnykh-priblizhenii
http://helpiks.org/9-30762.html