Что такое векторное уравнение прямой

Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости

В прошлом материале мы рассмотрели основные моменты, касающиеся темы прямой на плоскости. Теперь же перейдем к изучению уравнения прямой: рассмотрим, какое уравнение может называться уравнением прямой, а также то, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости.

Определение уравнения прямой на плоскости

Допустим, что есть прямая линия, которая задана в прямоугольной декартовой системе координат O х у .

Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат. Уравнение, которое описывает зависимость координат каждой точки прямой в декартовой системе O x y , называется уравнением прямой на плоскости.

Фактически, уравнение прямой на плоскости – это уравнение с двумя переменными, которые обозначаются как x и y . Уравнение обращается в тождество при подстановке в него значений любой из точек прямой линии.

Давайте посмотрим, какой вид будет иметь уравнение прямой на плоскости. Этому будет посвящен весь следующий раздел нашей статьи. Отметим, что существует несколько вариантов записи уравнения прямой. Объясняется это наличием нескольких способов задания прямой линии на плоскости, и также различной спецификой задач.

Общее уравнение прямой линии

Познакомимся с теоремой, которая задает вид уравнения прямой линии на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Уравнение вида A x + B y + C = 0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат O x y . В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида A x + B y + C = 0 .

Таким образом, общее уравнение прямой на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 .

Поясним некоторые важные аспекты темы.

Посмотрите на рисунок.

Линия на чертеже определяется уравнением вида 2 x + 3 y — 2 = 0 , так как координаты любой точки, составляющей эту прямую, удовлетворяют приведенному уравнению. В то же время, определенное количество точек плоскости, определяемых уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , дают нам прямую линию, которую мы видим на рисунке.

Общее уравнение прямой может быть полным и неполным. В полном уравнении все числа А , В и C отличны от нуля. Во всех остальных случаях уравнение считается неполным. Уравнение вида A x + B y = 0 определяет прямую линию, которая проходит через начало координат. Если A равно нулю, то уравнение A x + B y + C = 0 задает прямую, расположенную параллельно оси абсцисс O x . Если B равно нулю, то линия параллельна оси ординат O y .

Вывод: при некотором наборе значений чисел А , В и C с помощью общего уравнения прямой можно записать любую прямую линию на плоскости в прямоугольной системе координат O х у .

Прямая, заданная уравнением вида A x + B y + C = 0 , имеет нормальный вектор прямой с координатами A , B .

Все приведенные уравнения прямых, которые мы рассмотрим ниже, могут быть получены из общего уравнения прямой. Также возможен и обратный процесс, когда любое из рассматриваемых уравнений может быть приведено к общему уравнению прямой.

Разобраться во всех нюансах темы можно в статье «Общее уравнение прямой». В материале мы приводим доказательство теоремы с графическими иллюстрациями и подробным разбором примеров. Особое внимание в статье уделяется переходам от общего уравнения прямой к уравнениям других видов и обратно.

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, которые не равны нулю. Абсолютные величины чисел a и b равны длине отрезков, которые отсекаются прямой линией на осях координат. Длина отрезков отсчитывается от начала координат.

Благодаря уравнению можно легко построить прямую линию на чертеже. Для этого необходимо отметить в прямоугольной системе координат точки a , 0 и 0 , b , а затем соединить их прямой линией.

Построим прямую, которая задана формулой x 3 + y — 5 2 = 1 . Отмечаем на графике две точки 3 , 0 , 0 , — 5 2 , соединяем их между собой.

Дополнительно рекомендуем ознакомиться с материалом, изложенным в статье «Уравнение прямой в отрезках».

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Эти уравнения, имеющие вид y = k · x + b должны быть нам хорошо известны из курса алгебры. Здесь x и y – это переменные, k и b – это некоторые действительные числа, из которых k представляет собой угловой коэффициент. В этих уравнениях переменная у является функцией аргумента x .

Дадим определение углового коэффициента через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси O x .

Для обозначения угла наклона прямой к положительному направлению оси O x в декартовой системе координат введем величину угла α . Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс до прямой линии против хода часовой стрелки. Угол α считается равным нулю в том случае, если линия параллельна оси O x или совпадает с ней.

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой. Записывается это следующим образом k = t g α . Для прямой, которая располагается параллельно оси O y или совпадает с ней, записать уравнение прямой с угловым коэффициентом не представляется возможным, так как угловой коэффициент в этом случае превращается в бесконечность (не существует).

Прямая, которая задана уравнением y = k · x + b , проходит через точку 0 , b на оси ординат. Это значит, что уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , задает на плоскости прямую линию, которая проходит через точку 0 , b и образует угол α с положительным направлением оси O x , причем k = t g α .

Изобразим прямую линию, которая определяется уравнением вида y = 3 · x — 1 .

Эта линия должна пройти через точку ( 0 , — 1 ) . Угол наклона α = a r c t g 3 = π 3 равен 60 градусов к положительному направлению оси O x . Угловой коэффициент равен 3

Обращаем ваше внимание, что с помощью уравнения прямой с угловым коэффициентом очень удобно искать уравнение касательной к графику функции в точке.

Больше материала по теме можно найти в статье «Уравнение прямой с угловым коэффициентом». Помимо теории там размещено большое количество графических примеров и подробный разбор задач.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Данный вид уравнения имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не равны нулю.

Прямая линия, заданная каноническим уравнением прямой, проходит через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) . Числа a x и a y в знаменателях дробей представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии. Это значит, что каноническое уравнение прямой линии x — x 1 a x = y — y 1 a y в декартовой системе координат O x y соответствует линии, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 ) и имеющей направляющий вектор a → = ( a x , a y ) .

Изобразим в системе координат O x y прямую линию, которая задается уравнением x — 2 3 = y — 3 1 . Точка M 1 ( 2 , 3 ) принадлежит прямой, вектор a → ( 3 , 1 ) является направляющим вектором этой прямой линии.

Каноническое уравнение прямой линии вида x — x 1 a x = y — y 1 a y может быть использовано в случаях, когда a x или a y равно нулю. Наличие ноля в знаменателе делает запись x — x 1 a x = y — y 1 a y условной. Уравнение можно записать следующим образом a y ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) .

В том случае, когда a x = 0 , каноническое уравнение прямой принимает вид x — x 1 0 = y — y 1 a y и задает прямую линию, которая расположена параллельно оси ординат или совпадает с этой осью.

Каноническое уравнение прямой при условии, что a y = 0 , принимает вид x — x 1 a x = y — y 1 0 . Такое уравнение задает прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс или совпадающую с ней.

Больше материала на тему канонического уравнения прямой смотрите здесь. В статье мы приводим целый ряд решений задач, а также многочисленные примеры, которые позволяют лучше овладеть темой.

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Данные уравнения имеют вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , где x 1 , y 1 , a x , a y — это некоторые действительные числа, из которых a x и a y не могут быть одновременно равны нулю. В формулу вводится дополнительный параметр λ , который может принимать любые действительные значения.

Назначение параметрического уравнения в том, чтобы установить неявную зависимости между координатами точек прямой линии. Для этого и вводится параметр λ .

Числа x , y представляют собой координаты некоторой точки прямой. Они вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра λ .

Предположим, что λ = 0 .

Тогда x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 , т. е. точка с координатами ( x 1 , y 1 ) принадлежит прямой.

Обращаем ваше внимание на то, что коэффициенты a x и a y при параметре λ в данном виде уравнений представляют собой координаты направляющего вектора прямой линии.

Рассмотрим параметрические уравнения прямой линии вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ . Прямая, заданная уравнениями, в декартовой системе координат проходит через точку ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .

Больше информации ищите в статье «Параметрические уравнения прямой на плоскости».

Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид , A x + B y + C = 0 , где числа А , В , и C таковы, что длина вектора n → = ( A , B ) равна единице, а C ≤ 0 .

Нормальным вектором линии, заданной нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат O х у , является вектор n → = ( A , B ) . Эта прямая проходит на расстоянии C от начала координат в направлении вектора n → = ( A , B ) .

Еще одним вариантом записи нормального уравнения прямой линии является cos α · x + cos β · y — p = 0 , где cos α и cos β — это два действительных числа, которые представляют собой направляющие косинусы нормального вектора прямой единичной длины. Это значит, что n → = ( cos α , cos β ) , справедливо равенство n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 , величина p ≥ 0 и равна расстоянию от начала координат до прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой — 1 2 · x + 3 2 · y — 3 = 0 . Это общее уравнение прямой является нормальным уравнением прямой, так как n → = A 2 + B 2 = — 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = — 3 ≤ 0 .

Уравнение задает в декартовой системе координат 0ху прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты — 1 2 , 3 2 . Линия удалена от начала координат на 3 единицы в направлении нормального вектора n → = — 1 2 , 3 2 .

Обращаем ваше внимание на то, что нормальное уравнение прямой на плоскости позволяет находить расстояние от точки до прямой на плоскости.

Если в общем уравнении прямой A x + B y + C = 0 числа А , В и С таковы, что уравнение A x + B y + C = 0 не является нормальным уравнением прямой, то его можно привести к нормальному виду. Подробнее об этом читайте в статье «Нормальное уравнение прямой».

Уравнения прямых и плоскостей

Поверхности и линии первого порядка.

Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\label
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть \(A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0\). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,\label
$$
при условии \(A^<2>+B^ <2>\neq 0\).

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения \eqref и \eqref определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.

В общей декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+Cz+D = 0.\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат определяет плоскость.

В общей декартовой системе координат на плоскости каждая прямая может быть задана линейным уравнением
$$
Ax+By+C = 0,\nonumber
$$
Обратно, каждое линейное уравнение в общей декартовой системе координат на плоскости определяет прямую.

Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Рис. 6.1

Вектор \(\overrightarrowM> = \boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда \(M\) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки \(M\) найдется такое число \(t\), что
$$
\boldsymbol-\boldsymbol_ <0>= t\boldsymbol.\label
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref в качестве \(t\), вектор \(\boldsymbol\) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение \eqref называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина \(t\), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) ее направляющие векторы, а через \(\boldsymbol_<0>\) — радиус-вектор ее начальной точки \(M_<0>\). Пусть точка \(M\) с радиус-вектором \(\boldsymbol\) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Вектор \(\overrightarrowM> = \boldsymbol-\boldsymbol_<0>\), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец \(M\) также лежит на плоскости. Так как \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) не коллинеарны, в этом и только этом случае \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка \(M\) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа \(t_<1>\) и \(t_<2>\), что
$$
\boldsymbol-\boldsymbol_ <0>= t_<1>\boldsymbol

+t_<2>\boldsymbol.\label
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров \(t_<1>\) и \(t_<2>\). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения \(t_<1>\) и \(t_<2>\), уравнение \eqref определит некоторую точку плоскости.

Пусть \((x, y, z)\) и \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) — координаты точек \(M\) и \(M_<0>\) соответственно, а векторы \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\) имеют компоненты \((p_<1>, p_<2>, p_<3>)\) и \((q_<1>, q_<2>, q_<3>)\). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_ <0>= t_<1>p_<1>+t_<2>q_<1>,\ y-y_ <0>= t_<1>p_<2>+t_<2>q_<2>,\ z-z_ <0>= t_<1>p_<3>+t_<2>q_<3>.\label
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра \(t\), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

Прямая линия на плоскости.

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) и направляющим вектором \(\boldsymbol(a_<1>, a_<2>)\) может быть записано в виде \eqref.

Уравнение \eqref линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид \(a_<2>x-a_<1>y+(a_<1>y_<0>-a_<2>x_<0>) = 0\), то есть \(Ax+By+C = 0\), где \(A = a_<2>\), \(B = -a_<1>\) и \(C = a_<1>y_<0>-a_<2>x_<0>\).

Вектор с координатами \((-B, A)\) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref в общей декартовой системе координат, а точку \eqref за начальную точку.

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор \(\boldsymbol(A, B)\) перпендикулярен прямой с уравнением \eqref.

Действительно, в этом случае \((\boldsymbol, \boldsymbol) = -BA+AB = 0\).

Пусть в уравнении прямой \(Ax+By+C = 0\) коэффициент \(B\) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label
$$
где \(k = -A/B\), а \(b = -C/B\). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: \(k = a_<2>/a_<1>\) (рис. 6.3).

Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2

Отношение компонент направляющего вектора \(a_<2>/a_<1>\) называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от \(\boldsymbol_<1>\) к \(\boldsymbol_<2>\) (рис. 6.4).

Рис. 6.4. \(k=\operatorname\varphi = -1\). Прямая \(y=-x+1/2\)

Положив \(x = 0\) в уравнении \eqref, получаем \(y = b\). Это означает, что свободный член уравнения \(b\) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой \(B = 0\) и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref, то обязательно \(A \neq 0\). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид \(x = x_<0>\), где \(x_ <0>= -C/A\) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка \(M\) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки \(M_<0>\) компланарна направляющим векторам \(\boldsymbol

\) и \(\boldsymbol\). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol

, \boldsymbol) = 0.\label
$$
Вектор \(\boldsymbol = [\boldsymbol

, \boldsymbol]\) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение \eqref в виде
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) = 0.\label
$$

Уравнения \eqref и \eqref называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в \eqref \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\), получим
$$
(\boldsymbol, \boldsymbol)+D = 0.\label
$$

Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные \eqref и \eqref,
$$
(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol) = 0\ \mbox<или>\ (\boldsymbol, \boldsymbol)+C = 0.\nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор \(\boldsymbol-\boldsymbol_<0>\) перпендикулярен ненулевому вектору \(\boldsymbol\), перпендикулярному направляющему вектору \(\boldsymbol\), и потому коллинеарен \(\boldsymbol\).

Пусть \(x, y, z\) — компоненты вектора \(\boldsymbol\) в общей декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) при \(\boldsymbol \neq 0\) записывается линейным многочленом \(Ax+By+Cz+D\), где \((A^<2>+B^<2>+C^ <2>\neq 0)\).

Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы \(\boldsymbol_<0>\) и \(\boldsymbol \neq 0\), что в заданной общей декартовой системе координат \(Ax+By+Cz+D = (\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\).

Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора \(\boldsymbol\) по базису в данное скалярное произведение:
$$
(x\boldsymbol_<1>+y\boldsymbol_<2>+z\boldsymbol_<3>-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol),\nonumber
$$
раскроем скобки и получим многочлен \(Ax+By+Cz+D\), в котором \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\) и
$$
A = (\boldsymbol_<1>, \boldsymbol),\ B = (\boldsymbol_<2>, \boldsymbol),\ C = (\boldsymbol_<3>, \boldsymbol)\label
$$
\(A\), \(B\) и \(C\) одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор \(\boldsymbol\) не может быть ортогонален всем векторам базиса.

Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор \(\boldsymbol\) из равенств \eqref, считая \(A\), \(B\) и \(C\) заданными. Из ранее доказанного утверждения 10 следует, что
$$
\boldsymbol = \frac_<2>, \boldsymbol_<3>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>+\frac_<3>, \boldsymbol_<1>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>+\frac_<1>, \boldsymbol_<2>]><(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<2>, \boldsymbol_<3>)>.\label
$$

Вектор \(\boldsymbol_<0>\) должен удовлетворять условию \(D = -(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\). Один из таких векторов можно найти в виде \(\boldsymbol_ <0>= \lambda \boldsymbol\). Подставляя, видим, что \(-\lambda(\boldsymbol, \boldsymbol) = D\), откуда \(\boldsymbol_ <0>= -D\boldsymbol/|\boldsymbol|^<2>\).

Итак, мы нашли векторы \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol_<0>\) такие, что линейный многочлен записывается в виде
$$
x(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol)+y(\boldsymbol_<2>, \boldsymbol)+z(\boldsymbol_<3>, \boldsymbol)-(\boldsymbol_<0>, \boldsymbol),\nonumber
$$
который совпадает с требуемым \((\boldsymbol-\boldsymbol_<0>, \boldsymbol)\).

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами \(A\), \(B\), \(C\) является нормальным вектором для плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\).

Это сразу вытекает из формул \eqref и доказанного ранее утверждения о нахождении компонент в ортогональном базисе.

Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяющие уравнению \eqref, можно принять за направляющие векторы плоскости.

Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.

Действительно, \(\alpha_<1>, \alpha_<2>\), должны быть пропорциональны компонентам — \(B\), \(A\) направляющего вектора прямой.

Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Прямые линии, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B.\label
$$

Прямые совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнения \eqref выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
C_ <1>= \lambda C.\label
$$

Первая часть предложения прямо следует из того, что векторы с компонентами \((-B, A)\) и \((-B_<1>, A_<1>)\) — направляющие векторы прямых.

Докажем вторую часть. В равенствах \eqref и \eqref \(\lambda \neq 0\), так как коэффициенты в уравнении прямой одновременно нулю не равны. Поэтому, если эти равенства выполнены, уравнения эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.

Обратно, пусть прямые параллельны. В силу первой части предложения их уравнения должны иметь вид \(Ax+By+C = 0\) и \(\lambda(Ax+By)+C_ <1>= 0\) при некотором \(\lambda\). Если, кроме того, существует общая точка \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) обеих прямых, то \(Ax_<0>+By_<0>+C = 0\) и \(\lambda(Ax_<0>+By_<0>)+C_ <1>= 0\). Вычитая одно равенство из другого, получаем \(C_ <1>= \lambda C\), как и требовалось.

Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями
$$
Ax+By+Cz+D = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0\nonumber
$$
параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, то есть существует такое число \(\lambda\), что
$$
A_ <1>= \lambda A,\ B_ <1>= \lambda B,\ C_ <1>= \lambda C.\label
$$

Плоскости совпадают в том и только том случае, когда их уравнения пропорциональны, то есть помимо уравнений \eqref выполнено (с тем же \(\lambda\)) равенство
$$
D_ <1>= \lambda D.\label
$$

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol_<1>\) коллинеарны, и существует такое число \(\lambda\), что \(\boldsymbol_ <1>= \lambda\boldsymbol\). В силу уравнений \eqref \(A_ <1>= (\boldsymbol_<1>, \boldsymbol_<1>) = \lambda(\boldsymbol_<1>, \boldsymbol) = \lambda A\). Аналогично доказываются и остальные равенства \eqref. Обратно, если равенства \eqref выполнены, то из формулы \eqref следует, что \(\boldsymbol_ <1>= \lambda\boldsymbol\). Это доказывает первую часть предложения. Вторая его часть доказывается так же, как вторая часть предложения 7.

Условия \eqref выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами \((A, B)\) и \((A_<1>, B_<1>)\). Точно так же условия \eqref означают коллинеарность векторов с компонентами \((A, B, C)\) и \((A_<1>, B_<1>, C_<1>)\). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0,\label
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end =
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end =
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
= 0.\label
$$

Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

При условии \eqref система линейных уравнений
$$
Ax+By+C = 0,\ A_<1>x+B_<1>y+C_ <1>= 0,\nonumber
$$
не имеет решений или имеет бесконечно много решений (в зависимости от \(C\) и \(C_<1>\). В последнем случае система равносильна одному из составляющих ее уравнений. Если же
$$
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end
\neq 0.\nonumber
$$
то при любых \(C\) и \(C_<1>\) система имеет единственное решение \((x, y)\).

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
\left\<\begin
Ax+By+Cz+D = 0,\\
A_<1>x+B_<1>y+C_<1>z+D_ <1>= 0.
\end\right.\label
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно \eqref означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end^ <2>+
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end^ <2>+
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end^<2>
\neq 0.\label
$$

Разумеется, систему \eqref можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой \eqref. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = \frac><\alpha_<1>>,\ t = \frac><\alpha_<2>>,\ t = \frac><\alpha_<3>>,\nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
\frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\ \frac><\alpha_<1>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
или, в более симметричном виде,
$$
\frac><\alpha_<1>> = \frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
Уравнения \eqref представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная \(x\)), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_<0>,\ \frac><\alpha_<2>> = \frac><\alpha_<3>>,\label
$$
Эта прямая лежит в плоскости \(x = x_<0>\) и, следовательно, параллельна плоскости \(x = 0\). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не \(\alpha_<1>\), а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, \(\alpha_<1>\) и \(\alpha_<2>\), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_<0>,\ y = y_<0>.\label
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений \eqref. По условию \eqref один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что \(AB_<1>-A_<1>B \neq 0\). В силу утверждения 9 при любом фиксированном \(z\) система уравнений будет иметь единственное решение \((x, y)\), в котором \(x\) и \(y\), разумеется, зависят от \(z\). Они — линейные многочлены от \(z\): \(x = \alpha_<1>z+\beta_<1>\), \(y = \alpha_<2>z+\beta_<2>\).

Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя \(z\) на \(t\), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = \alpha_<1>t+\beta_<1>,\ y = \alpha_<2>t+\beta_<2>,\ z = t.\nonumber
$$

Первые две координаты начальной точки прямой \(M_<0>(\beta_<1>, \beta_<2>, 0)\) можно получить, решая систему \eqref при значении \(z = 0\).

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, 1)\). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами \((A, B, C)\) и \(A_<1>, B_<1>, C_<1>\) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой \eqref, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
\begin
B& C\\
B_<1>& C_<1>
\end,\
\begin
C& A\\
C_<1>& A_<1>
\end,\
\begin
A& B\\
A_<1>& B_<1>
\end.\label
$$

Вектор с компонентами \eqref есть направляющий вектор прямой с уравнениями \eqref, какова бы ни была декартова система координат.

Согласно утверждению 5 каждый ненулевой вектор, компоненты которого \((\alpha_<1>, \alpha_<2>, \alpha_<3>)\) удовлетворяют уравнению \(A\alpha_<1>+B\alpha_<2>+C\alpha_ <3>= 0\), параллелен плоскости с уравнением \(Ax+By+Cz+D = 0\). Если, кроме того, он удовлетворяет уравнению \(A_<1>\alpha_<1>+B_<1>\alpha_<2>+C_<1>\alpha_ <3>= 0\), то он параллелен и второй плоскости, то есть может быть принят за направляющий вектор прямой. Вектор с компонентами \eqref ненулевой в силу неравенства \eqref. Непосредственно легко проверить, что его компоненты удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом доказательство заканчивается.

Прямая — понятие, виды и её свойства с примерами

Содержание:

Прямая:

Прямая бесконечна (в обе стороны) и разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 24), для которых прямая является границей. Граница принадлежит полуплоскостям. На рисунке 25 точка С лежит на прямой между точками А и В, которые лежат по разные стороны от точки С. Точки С и В лежат по одну сторону от точки А. Из трех точек на прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими.

Если на плоскости отметить две точки А и В, то через них всегда можно провести прямую АВ (рис. 26, а). Через одну точку можно провести бесконечно много прямых (рис. 26, б), через три точки не всегда можно провести прямую (рис. 26, в). Через две точки можно провести бесконечно много окружностей (рис. 26, г), а прямую — только одну!

Аксиома прямой. Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

Из аксиомы следует, что если две прямые () имеют общую точку (М), то это единственная общая точка (рис. 27). Если предположить, что существует еще одна общая точка (К), то тогда через две точки (М и К) пройдут две прямые, что по аксиоме прямой невозможно.

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если прямые параллельны, то отрезки, изображающие эти прямые, никогда не пересекутся, сколько бы их ни продолжали (рис. 28).

Луч:

Определение. Лучом называется часть прямой, ограниченная одной точкой.

Точка, ограничивающая луч, принадлежит лучу и называется началом луча. Луч бесконечен (в одну сторону). Он обозначается одной малой буквой, или двумя большими буквами, где первой всегда записывается начало луча.

При этом вторая точка может быть не отмечена на луче. Она указывает направление луча, например как точка В на луче АВ (рис. 29).

Определение. Два луча называются дополнительными (противоположными), если они имеют общее начало и лежат на одной прямой.

На рисунке 30 изображены дополнительные дополнительные лучи ОМ и ОК. Они дополняют друг друга до прямой. Чтобы построить луч, дополнительный данному, достаточно продлить данный луч за его начало вдоль прямой, на которой лежит данный луч. Любая точка прямой разбивает ее на два дополнительных луча.

Отрезок:

Определение. Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

Точки, ограничивающие отрезок, принадлежат отрезку и называются концами отрезка, остальные точки отрезка — его внутренними точками. На рисунке 31 изображен отрезок АВ с концами А и В. Точка М — внутренняя точка отрезка АВ.

Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, то этот отрезок пересекает прямую, если в одной полуплоскости — то не пересекает. На рисунке 32 концы отрезка АВ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой а, и он пересекает прямую . Концы же отрезка CD лежат в одной полуплоскости, и он не пересекает прямую .

Если при наложении отрезков их концы совпадут, то по аксиоме прямой эти отрезки совпадут всеми своими точками.

Определение. Два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением.

Важной характеристикой отрезка является его длина.

Свойства длины отрезка: каждый отрезок имеет длину, выраженную положительным числом; равным отрезкам соответствуют равные длины, большему отрезку — большая длина. И наоборот.

Аксиома измерения отрезков. Если на отрезке взять точку, то она разобьет данный отрезок на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка.

Аксиома откладывания отрезков. На любом луче от его вершины можно отложить отрезок данной длины, и притом только один.

На рисунке 33 точка С лежит на отрезке АВ. По аксиоме измерения отрезков следует, что АС + СВ=АВ.

Серединой отрезка называется точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. На рисунке 34 точка М — середина отрезка EF, то есть ЕМ = MF.

Определение. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

На рисунке 35 расстояние между точками К и N равно длине отрезка KN.

Ломаная:

На рисунке 36 отрезки АВ, ВС, CD, DE и EF последовательно соединены своими концами: отрезок ВС соединен с отрезком АВ, отрезок CD соединен с отрезком ВС и так далее. Полученная фигура представляет собой ломаную ABCDEF. Указанные отрезки называются звеньями ломаной, а точки А, В, С, D, Е и F — вершинами ломаной.

Определение. Ломаной называется геометрическая фигура, образованная отрезками, последовательно соединенными своими концами, у которой никакие два соседних звена не лежат на одной прямой. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Определение. Ломаная называется замкнутой, если начало ее первого звена совпадает с концом последнего. В противном случае она называется незамкнутой. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений и никакие два ее звена, кроме соседних, не имеют общих точек. В противном случае она называется непростой (рис. 37).

Простая замкнутая ломаная на плоскости называется многоугольником. Звенья этой ломаной называются сторонами этого многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника. Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон. Часть плоскости, ограниченная многоугольником, называется плоским многоугольником. Слово «плоский» употреблять не будем. Отрезок, соединяющий вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне, называется его диагональю. Если у многоугольника три стороны, то у него три вершины и три угла, и он называется треугольником, если четыре стороны — четырехугольником, если пять — пятиугольником и так далее.

На рисунке 38 изображен четырехугольник ABCD со сторонами АВ, ВС, CD и AD. У него четыре угла: и две диагонали: АС и BD. Периметр этого четырехугольника:

При записи многоугольника его вершины записываются последовательно, начиная с любой вершины и в любом направлении. Например, СBAD — это тот же четырехугольник ABCD.

Самые известные четырехугольники — это прямоугольник и квадрат. У прямоугольника все углы прямые, а противоположные стороны равны. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. На рисунке 39 ABCD — прямоугольник, MNPK — квадрат. Позже мы дадим определение прямоугольника и квадрата и рассмотрим их свойства подробно. А пока будем пользоваться указанными представлениями.

Пример:

На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка С. Отрезок АС на 6 см больше отрезка СВ. Найти длину отрезка АС.

Решение:

Пусть СВ = см, тогда АС = см.

По аксиоме измерения отрезков (рис. 40).

То есть,

Ответ: 15 см.

Замечание. В дальнейшем при решении задач не будем ссылаться на аксиому измерения отрезков.

Пример:

На отрезке АВ отмечены точки С и D (рис. 41). Найти длину отрезка CD, если:

Решение:

Если сложить отрезки AD и ВС, то получим отрезок АВ плюс отрезок CD. Отсюда

Ответ: а) 6 см; б)

Пример:

На отрезке АВ, равном 42 см, взята точка М. Найти расстояние между серединами отрезков AM и MB.

Решение:

Пусть С — середина отрезка AM, D — середина отрезка MB.

Обозначим (рис. 42).

Тогда

Следовательно, (см).

Замечание. В данной задаче мы доказали свойство: «Если на отрезке отмечена точка, то расстояние между серединами полученных отрезков равно половине данного отрезка». Утверждения, которые будут доказаны нами в ключевых задачах, могут в дальнейшем использоваться как известные свойства.

Прямая в высшей математике

Прямая L в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой). Пусть задана такая точка и вектор (Рис. 5.1).

Если М(х, у, z) — произвольная текущая точка прямой L, то вектор коллииеарен вектору и их соответствующие координаты пропорциональны.

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой L и только этой прямой. Равенства (5.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим радиус-вектор точки — радиус-вектор точки М. Тогда:

(5.2)

В силу коллинеарности векторов и существует число такое, что Тогда из (5.2) получим векторное параметрическое уравнение прямой:

(5-3)

В координатной форме уравнение (5.3) равносильно трем уравнениям:

(5.4)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Исключая из уравнений (5.4) параметр t, легко перейти к каноническим уравнениям прямой (5.1).

Обратный переход от (5.1) к (5.4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (5.1) к t. При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки . Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь рис. 5.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой L будет вектор . Используя (5.1), получаем искомые уравнения в виде:

Прямую L в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линии L в общем виде:

(5.6)

Система двух уравнений первой степени (5.6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы и неколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (5.6) носят название «общее уравнение прямой в пространстве».

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (5.6) к ее каноническим уравнениям (5.1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить ее направляющий вектор .

Точку находят, давая произвольное значение одной из переменных х, у или z. Решая систему (5.6), получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор параллелен линии пересечения плоскостей (5.6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей:

Поэтому в качестве можно взять вектор:

Понятие прямой

Нормальным вектором прямой называется любой вектор, перпендикулярный прямой.

Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой.

Взаимное расположение прямых

Пусть даны две прямые:

Эти прямые заданы своими точками и направляющими векторами и Поэтому:

Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна, соответственно, параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:

Условие параллельности:

Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:

• I. Прямые совпадают, т.е.
• II. Прямые параллельны: непараллелен ,
• III. Прямые пересекаются: непараллелен, — компланарны, т.е.
• IV. Прямые скрещиваются: — некомпланарны, т.е. .

Условие (5.8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.

Уравнения прямой на плоскости

1. Па плоскости Оху составим уравнение прямой l, проходящей через точку с нормальным вектором n=(А,В) (рис.6).

Возьмем любую точку М(х,у), лежащую на прямой l, и рассмотрим вектор Векторы и n будут взаимно перпендикулярными по определению нормального вектора: Следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю:

В координатной форме это равенство примет вид:

Уравнение Ах+Ву+С=0, где А и В не равны одновременно нулю называется общим уравнением прямой.

Если то это уравнение можно представить в виде уравнения с угловым коэффициентом:

притом — угол наклона прямой к оси Ох.

Вывод. Прямая на плоскости однозначно определяется точкой и нормальным вектором.

2. Па плоскости Оху составим уравнение прямой l, проходящей через точку с направляющим вектором (рис.7).

Пусть М(х,у) — произвольная точка прямой l, — ее радиус-вектор, а — радиус-вектор точки Тогда по правилу треугольника имеем:

Так как векторы коллинеарны, то — некоторое число, называемое параметром. Подставляя это выражение в уравнение, получаем векторное уравнение прямой:

или в координатной форме параметрические уравнения прямой:

Пусть m и n отличны от нуля. Разрешим каждое из уравнений относительно t:

откуда получаем каноническое уравнение прямой:

Пусть прямая l проходит через две точки Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор Составим уравнение прямой, проходящей через две точки:

Вывод. Прямая однозначно определяется точкой и направляющим вектором.

Пример:

Вершины треугольника находятся в точках А(2,2), В(1,-2), С(-1,0). Найти проекцию точки А на основание ВС.

Решение:

Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания ВС с перпендикуляром, опущенным из А на ВС.

Составим уравнение прямой ВС по двум точкам:

— каноническое уравнение прямой ВС — общее уравнение прямой ВС.

Обозначим искомую проекцию точкой Н(х,у). Т.к. то скалярное произведение векторов

равно нулю:

— общее уравнение прямой АН.

Теперь найдем проекцию точки А на основание ВС. Для этого решим систему: Следовательно, Задача решена.

Замечание. Уравнение прямой АН можно было находить другими способами. Например, из общего уравнения прямой ВС х+у+1=0 можно выписать координаты нормального вектора (коэффициенты при х и у соответственно). Т.к. то нормальный вектор прямой ВС будет являться направляющим вектором прямой АН:

По нормальному вектору и точке А(2,2) составляем каноническое уравнение прямой АН:

Уравнения прямой в пространстве

Уравнения прямой l, проходящей через точку с направляющим вектором в пространстве Oxyz составляются аналогичным плоскости образом.

Пусть M(x,y,z) — произвольная точка прямой — ее радиус-вектор, a — радиус-вектор точки (рис.8).

Тогда векторное уравнение прямой останется прежним: где t — параметр.

Параметрические уравнения прямой примут вид:

В случае выразим канонические уравнения прямой:

Наконец, составим уравнения прямой, проходящей через две точки

Внимание! В пространстве точка и нормальный вектор однозначным образом определяют плоскость. Поэтому в пространстве общие уравнения прямой будут задаваться линией пересечения двух плоскостей.

• Плоскость — определение, виды и правила
• Кривые второго порядка
• Евклидово пространство
• Матрица — виды, операции и действия с примерами
• Корень из числа — нахождение и вычисление
• Теория множеств — виды, операции и примеры
• Числовые множества
• Вектор — определение и основные понятия

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.