Что такое выражение и уравнение в математике

Выражения и уравнения — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Выражения и уравнения

Вы уже знаете, что такое буквенные выражения, и умеете их упрощать с помощью законов сложения и умножения. Например,

Пример:

Есть ли коэффициент в выражении ? Да. Он равен 1, поскольку

Вспомним, что преобразование выражения со скобками в выражение без скобок называется раскрытием скобок. Например:

Обратным действием в этом примере является вынесение общего множителя за скобки.

Слагаемые, содержащие одинаковые буквенные множители, называют подобными слагаемыми. С помощью вынесения общего множителя за скобки сводят подобные слагаемые:

Правила раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобками стоит знак , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках сохраняют;
2. Если перед скобками стоит знак , то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1) ; 2)

Решение:

1. Перед скобками стоит знак , поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняются:

2. Перед скобками стоит знак , поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяются на противоположные:

Для раскрытия скобок используют распределительное свойство умножения: . Если , то знаки слагаемых и не изменяют. Если , то знаки слагаемых и изменяют на противоположные.

Пример:

Упростите выражение: 1) 2)

Решение:

1. Множитель перед скобками является положительным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых сохраняем:

2. Множитель перед скобками является отрицательным, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых изменяем на противоположные:

1. Слово «сумма» происходит от латинского summа, что значит «итог», «общее количество».
2. Слово «плюс» происходит от латинского plus, что значит «больше», а слово «минус» — от латинского minus, что значит «меньше». Знаки и используют для обозначения действий сложения и вычитания. Эти знаки ввёл чешский учёный И. Видман в 1489 г в книге «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев»(рис. 138).

Уравнения. Основные свойства уравнений

Вы уже знаете, что такое уравнение, корень уравнения. Вспомним основные формулировки.

Определение:

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти.

Неизвестное число в уравнении обозначают буквой или , или и т.п. Например, запись является

уравнением, где — неизвестное и является искомым.

Определение:

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Так, корнем уравнения является число , поскольку .

Уравнение может иметь больше одного корня. Например, уравнение имеет бесконечно много корней, так как любое число обращает уравнение в верное числовое равенство. С уравнениями, имеющими два, три или более корней, вы ознакомитесь позднее.

Уравнение может не иметь корней. Например, уравнение не имеет корней, так как не существует числа, которое в произведении с числом даёт число .

Определение:

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что уравнение не имеет ни одного корня.

В 5 классе вы находили корень уравнения как неизвестный компонент арифметического действия. При решении более сложных уравнений опираются на свойства равенств. Рассмотрим основные из них.

Посмотрите на рисунок 139. Вы видите, что на левой чаше весов находится арбуз неизвестной массы, а на правой — гири массой 5 кг и 3 кг. Если на обе чаши весов положить по гире массой 3 кг, то весы останутся в равновесии (рис. 140). Понятно, что, сняв эти гири или поставив навесы одинаковые гири другой массы, снова получим равновесие на весах. Этот пример иллюстрирует следующее свойство равенств.

Определение: Если к обеим частям равенства прибавить (из обеих частей равенства вычесть) одно и то же число, то равенство не изменится.

Пример:

Решите уравнение: 1) .

Решение:

К левой и правой частям уравнения прибавим число 12 и упростим полученное равенство:

Решая уравнение, в левой его части «уединили неизвестное». Такой же результат получим, если число 12 перенесём из левой части в правую, изменив при этом его знак.

Определение:

Слагаемое можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя знак этого слагаемого на противоположный.

Пример:

Можно ли переносить в другую часть уравнения слагаемое, содержащее неизвестное? Да.

Посмотрите на рисунок 141. Вы видите, что масса пакета муки равна 2 кг. Понятно, что масса трёх таких пакетов втрое больше (рис. 142). Этот пример иллюстрирует другое свойство равенств.

Определение: Если обе части равенства умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то равенство не изменится. Данное свойство используют для решения уравнений. Рассмотрим пример.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим на 3 обе части уравнения:

Основные свойства уравнений

Основные свойства уравнений

1. Корни уравнения не изменятся, если к обеим частям уравнения прибавить (из обеих частей уравнения вычесть) одно и то же число.
2. Корни уравнения не изменятся, если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля.

Считают, что язык алгебры — это уравнения. «Чтобы решить вопросы. относящиеся к числам или к абстрактным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», — писал великий И. Ньютон (1643-1727) в своём учебнике по алгебре, названном «Общая арифметика».

Применение уравнений к решению задач

В 5 классе с помощью уравнений вы решали задачи на нахождение суммы двух величин или их разности.

В 6 классе будем рассматривать особый вид задач — на равенство двух величин. В таких задачах тоже сравнивают две величины, например, количество книг на первой и второй полках. Значения же выражений с этими двумя величинами приравнивают.

Пример:

На первой полке книг в 3 раза больше, чем на второй. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на обеих полках их станет поровну. Сколько книг на каждой полке?

Решение:

Составим краткую запись задачи в виде таблицы 23

Пусть — количество книг на второй полке, тогда — количество книг на первой полке. Если с первой полки переставить на вторую 12 книг, то на первой полке их станет , а на второй — . По условию, это количество книг одинаково. Составим уравнение: . Решим уравнение: . Тогда . Следовательно, на первой полке 36 книг, а на второй — 12 книг.

Первым произведением, содержащим исследование алгебраических вопросов, считают трактат «Арифметика» Диофанта (середина IV в.). Из 13 книг, составляющих полное собрание трудов Диофанта, до нас дошло только 6. В них предложено решение сложных алгебраических задач. Основная часть трактата — сборник задач (в первых шести книгах их 189) с решениями и удачно подобранными иллюстрациями к способам решения.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Вы знаете, что прямая — это геометрическая фигура. Две прямые могут по-разному размещаться на плоскости. В 6 классе вы узнаете о перпендикулярных и параллельных прямых.

Перпендикулярные прямые

Посмотрите па перекрёсток дорог на рисунке 143. Вы видите, что дороги напоминают пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом. В тетради по математике клеточки образуются перпендикулярными прямыми.

Определение:

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 144 изображены прямые и , которые пересекаются в точке О под прямым углом, то есть являются перпендикулярными.

Записывают: , а на рисунке обозначают знаком прямого угла (см. рис. 145). Говорят: «Прямая перпендикулярна прямой ».

Если прямая перпендикулярна прямой , то и прямая перпендикулярна прямой . Иначе говорят: прямые и — взаимно перпендикулярны.

Пример:

Бывают ли перпендикулярными отрезки? лучи? Да, если они являются частями соответствующих перпендикулярных прямых (рис. 145—146).

Для построения перпендикулярных прямых используют транспортир или угольник. На рисунке 147 вы видите, как строили прямую , перпендикулярную прямой , с помощью транспортира, а на рисунке рис. 148 — с помощью угольника.

Параллельные прямые

Посмотрите на рисунок 149. Вы видите рельсы трамвайных путей, напоминающие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Это пример параллельных прямых. Вокруг нас много других примеров параллельных прямых. Так, в тетради в клеточку горизонтальные линии параллельны. То же самое можно сказать и про вертикальные линии. Противоположные края парты, противоположные стороны оконной рамы, троллейбусные штанги также параллельны.

Определение:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 150 изображены параллельные прямые и .

Записывают: . Говорят: «Прямая параллельна прямой ».

Если прямая параллельна прямой , то и прямая параллельна прямой . Однако для параллельных прямых термин «взаимно параллельные» не применяют.

Пример:

Бывают ли параллельными лучи? отрезки? Да, если они являются частями соответствующих параллельных прямых.

На рисунке 151 вы видите, как с помощью линейки и угольника через точку провели прямую , параллельную прямой .

Название «перпендикулярный» происходит от латинского слова «perpendicufaris», которое означает «отвесный». Знак предложил Пьер Еригон (1580—1643) — французский математик и астроном.

Название «параллельный» происходит от греческого слова «раralelos» — «идущий рядом». Символ параллельности известен с античных времён Его использовали Герои и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства, но с появлением последнего, чтобы избежать путаницы, символ был повёрнут вертикально Уильямом Отредом в 1677 году

Координатная плоскость

Вы уже знаете, что такое координатная прямая (рис. 162). На ней точка — начало отсчёта, стрелка показывает направление возрастания чисел, а цена деления составляет одну единицу.

Однако на практике часто приходится пользоваться ориентирами не только вдоль прямой, но и на плоскости.

Вы знаете, что в игре «Морской бой» положение корабля определяют с помощью «координат» из цифр и «координат» из букв (рис. 163). В зависимости от выбранной буквы передвигаются на определённое количество клеточек вправо или влево, а цифра указывает, на сколько клеточек нужно сместиться вверх или вниз. Итак, место корабля на поле боя определяют двумя « координатами».

Чтобы определить место в зале кинотеатра, также нужно знать две «координаты»: номер ряда и номер кресла в этом ряду (рис. 164). Причём порядок «координат» в такой паре является строго определённым. Действительно, например, пары чисел 3 и 12 и 12 и 3 направят нас в совершенно разные места зала: в 3-й ряд на 12-е место или в 12-й ряд на 3-е место. В отличие от предыдущего примера, для ориентирования в зале кинотеатра порядок координат не меняют, поскольку неудобно сначала искать номер места в ряду, а лишь затем — сам ряд.

Итак, чтобы охарактеризовать размещение точки на плоскости, нужно задать две координатные прямые с равными единичными отрезками, одна из которых задаёт направление вправо-влево, а вторая — вверх-вниз. Для этого координатные прямые изображают перпендикулярно друг к другу и так, чтобы начала отсчёта на них совпадали (рис. 165). Одну из этих прямых (как правило, горизонтальную) считают первой, а другую — второй. Такая пара координатных прямых образует прямоугольную систему координат.

Первую координатную прямую называют осью абсцисс. Её обозначают . Вторую координатную прямую называют осью ординат. Её обозначают . Общее начало отсчёта координатных прямых называют началом координат (рис. 166).

Плоскость с заданной на ней системой координат называют координатной плоскостью.

Каждой точке на плоскости можно поставить в соответствие пару чисел, взятых в определённом порядке, и наоборот, каждой паре чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Такая упорядоченная пара чисел называется координатами точки в данной системе координат. Координату по оси абсцисс называется абсциссой точки, а координату по оси ординат — ординатой точки.

Кратко записывают: . Читают: «Точка с координатами и », «Точка с координатами 3 и 2» или «3 — абсцисса точки , 2 — её ордината».

Пример:

На координатной плоскости постройте точку: 1) ; 2) .

Решение:

Введём прямоугольную систему координат на плоскости (рис. 167).

1. У точки абсцисса равна 3, а ордината — 2. На оси абсцисс отметим точку, соответствующую числу 3, а на оси ординат — точку, соответствующую числу 2. Через точки, построенные на осях координат, проведём две прямые, параллельные осям (рис. 167). Точка пересечения построенных прямых— искомая точка .

2. Поскольку ордината точки равна 0, то эта точка лежит на оси абсцисс и соответствует числу 5 на этой оси.

Обратите внимание:

• точка лежит на оси абсцисс, если её ордината равна нулю, и наоборот;
• точка лежит на оси ординат, если её абсцисса равна нулю, и наоборот;
• начало координат — точка , имеет координаты .

Пример:

Как определить координаты точки, построенной на координатной плоскости, например, точки на рисунке 168? Для этого нужно через эту точку провести прямые, параллельные осям координат. Прямая, параллельная оси ординат, пересекает ось абсцисс в точке, которая соответствует числу . Значит, первой координатой этой точки является число . Прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает ось ординат в точке, которая соответствует числу -4. Значит, другой координатой точки является число . Тогда точка имеет координаты и , то есть .

Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части. Их называют координатными четвертями и обозначают так: I четверть, II четверть, III четверть, IV четверть (рис. 169).

Точки I четверти имеют положительную абсциссу и положительную ординату. И наоборот, если абсцисса и ордината точки положительные, то она лежит в I четверти, как, например, точка . Аналогично рассуждая, можно выяснить, что точки II четверти имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату, точки III четверти — отрицательную абсциссу и отрицательную ординату, а точки IV четверти — положительную абсциссу и отрицательную ординату.

На рисунке 170 показаны знаки координат точек, лежащих в соответствующих четвертях.

Положение любой точки на поверхности Земли определяется двумя координатами: географической широтой и географической долготой.

Географические координаты ввёл древнегреческий учёный Гиппарх во И в. до н.э. Географические координаты применяют для определения положения точек земной поверхности относительно экватора и начального (нулевого) меридиана. Например, Киев имеет следующие географические координаты: восточной долготы, северной широты.

Графики зависимостей между величинами

Вы знаете, что стоимость товара зависит от его количества: чем большее количество товара покупают, тем большей будет его стоимость. Например, если цена одного килограмма конфет составляет 35 грн, то за 2 кг нужно заплатить 70 грн, за 3 кг — 105 грн и т.п. Вы знаете, что такое соответствие можно наглядно отобразить на диаграмме (рис. 174). Однако по диаграмме трудно определить, сколько стоит 2,5 кг конфет или иное их количество. Изобразим данные о стоимости конфет не в виде столбиков, а вертикальными отрезками в системе координат (рис. 175). Поскольку величины «масса конфет» и «стоимость покупки» являются прямо пропорциональными, то верхние концы столбиков диаграммы можно соединить отрезками. Получим линию, показывающую, как изменяется стоимость покупки в зависимости от массы конфет. Такая линия называется графиком зависимости величины «стоимость покупки» от величины «масса конфет».

Обратите внимание:

все точки графика зависимости прямо пропорциональных величин лежат на одной прямой.

Вы знаете, что расстояние и время на его преодоление являются прямо пропорциональными величинами. Поэтому все точки графика движения лежат на одной прямой.

Пример:

Поезд Харьков — Львов выходит из Харькова около и прибывает во Львов около . Скорость поезда составляет , на маршруте он делает 5 остановок, запланированных через каждые 3 часа. На рисунке 176 показан график движения этого поезда.

1) В котором часу новых суток поезд делает первую остановку? Какая это станция?

2) Что показывает число на оси абсцисс? А число ?

3) На каких расстояниях от первой остановки поезд останавливается на других станциях?

4) Что показывает число на оси ординат? А число ?

5) Каковы координаты конечных точек маршрута?

Решение:

По условию задачи, движение поезда начинается в , а заканчивается в следующего дня.

1. Начало новых суток поезд встречает недалеко от станции Лубны, а первую остановку делает в именно на этой станции.

2. Поскольку движение поезда началось в предыдущие сутки, то по оси абсцисс время его отправления из Харькова можно выразить отрицательным числом . Действительно, в предыдущих суток до начала новых суток должно пройти именно . Аналогично, времени остановки поезда в Полтаве на оси абсцисс соответствует отрицательное число.

3. Остановки запланированы через каждые . Поскольку скорость поезда составляет , то за он преодолевает . Следовательно, поезд останавливается на таких расстояниях от Полтавы: .

4. При помощи отрицательных чисел и на оси ординат показано, что в предыдущих суток поезд находился на расстоянии 300 км. не доезжая до станции Лубны, а в предыдущих суток — на расстоянии , не доезжая до этой станции.

5. Конечные результаты точки маршрута поезда имеют координаты .

Пример:

Обязательно ли выбирать конечные точки маршрута для построения графика движения? Нет. График можно построить по любым двум его точкам. Но концы маршрута нужно отметить обязательно.

Обратите внимание:

график движения является прямой (или её частью), поэтому такой график можно построить по любым двум его точкам.

С помощью графиков можно решать целый класс задач. Рассмотрим задачу.

Пример:

Из пунктов и , расстояние между которыми составляет 420 км. навстречу друг другу выехали два автомобиля. Красный автомобиль выехал в 6 ч из пункта и прибыл в пункт в 15 ч. Синий автомобиль выехал в 5 ч из пункта и прибыл в пункт в 11 ч. В котором часу встретятся автомобили?

Решение:

Построим в прямоугольной системе координат графики движения автомобилей (рис. 177). Красный отрезок — график движения красного автомобиля, синий — синего автомобиля. Точке пересечения этих отрезков соответствует время — 9 ч. Итак, автомобили встречаются в 9 ч.

• Линейное уравнение с одной переменной
• Целые выражения
• Одночлены
• Многочлены
• Обыкновенные дроби
• Отношения и пропорции
• Рациональные числа и действия над ними
• Делимость натуральных чисел

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Разница между выражением и уравнением

В математике вы, возможно, встречались с терминами выражение и уравнение очень часто. Поскольку оба объединяют число и / или переменные, люди часто неправильно понимают выражение для уравнения. Однако эти два математических термина не одинаковы, и большая разница заключается в их расположении, которое объясняет, что они представляют. Лучший способ определить, является ли данная проблема выражением или уравнением, состоит в том, что если оно содержит знак равенства (=), это уравнение .

Однако, если он не содержит знак равенства (=), то это просто выражение . Он несет числа, переменные и операторы, которые используются, чтобы показать ценность чего-либо. Прочтите эту статью, чтобы понять основные различия между выражением и уравнением.

Сравнительная таблица

Определение выражения

В математике выражение определяется как фраза, которая группирует числа (константы), буквы (переменные) или их комбинации, объединенные операторами (+, -, *, /), для представления значения чего-либо. Выражение может быть арифметическим, алгебраическим, полиномиальным и аналитическим.

Поскольку он не содержит знака равенства (=), он не показывает никаких отношений. Следовательно, он не имеет ничего общего с левой или правой стороной. Выражение можно упростить, комбинируя подобные термины, или его можно оценить, вставив значения вместо переменных, чтобы получить числовое значение. Примеры : 9x + 2, x — 9, 3p + 5, 4m + 10

Определение уравнения

В математике термин уравнение означает утверждение равенства. Это предложение, в котором два выражения помещены равными друг другу. Чтобы удовлетворить уравнение, важно определить значение соответствующей переменной; это известно как решение или корень уравнения.

Уравнение может быть условным или тождественным. Если уравнение является условным, то равенство двух выражений верно для определенного значения участвующей переменной. Однако, если уравнение является тождественным, то равенство истинно для всех значений, содержащихся в переменной. Существует четыре типа уравнений, которые обсуждаются ниже:

• Простое или линейное уравнение : уравнение называется линейным и представляет собой наибольшую степень рассматриваемой переменной в 1.
  Пример : 3x + 13 = 8x — 2
• Одновременное линейное уравнение : при наличии двух или более линейных уравнений, содержащих две или более переменных.
  Пример : 3x + 2y = 5, 5x + 3y = 7
• Квадратичное уравнение . Когда в уравнении наибольшая степень равна 2, оно называется квадратным уравнением.
  Пример : 2×2 + 7x + 13 = 0
• Кубическое уравнение . Как следует из названия, кубическое уравнение — это уравнение степени 3.
  Пример : 9×3 + 2×2 + 4x -3 = 13

Ключевые различия между выражением и уравнением

Точки, приведенные ниже, суммируют важные различия между выражением и уравнением:

1. Математическая фраза, которая группирует числа, переменные и операторы, чтобы показать значение чего-либо, называется выражением. Уравнение описывается как математическое утверждение с двумя выражениями, равными друг другу.
2. Выражение — это фрагмент предложения, который обозначает одно числовое значение. Напротив, уравнение — это предложение, показывающее равенство между двумя выражениями.
3. Выражение упрощается посредством оценки, где мы подставляем значения вместо переменных. И наоборот, уравнение решено.
4. Уравнение обозначается знаком равенства (=). С другой стороны, в выражении нет символа отношения.
5. Уравнение двустороннее, где знак равенства разделяет левую и правую стороны. В отличие от выражения является односторонним, не существует разграничения, как левой или правой стороны.
6. Ответом выражения является либо выражение, либо числовое значение. В отличие от уравнения, которое может быть только истинным или ложным.

Заключение

Следовательно, из приведенного выше объяснения ясно, что существует большая разница между этими двумя математическими понятиями. Выражение не показывает никакой связи, в то время как уравнение делает Уравнение содержит «знак равенства», поэтому оно показывает решение или в конечном итоге представляет значение переменной. Однако в случае выражения знак равенства отсутствует, поэтому нет определенного решения и в конечном итоге не может быть отображено значение соответствующей переменной.

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2. Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2 (x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2 x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2 x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2 (x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b , но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0 . Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.