Что такое явный вид уравнения

Явные и неявные функции

Определение.

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Такая функция имеет вид: , т.е. переменная y выражается через х.

Например, ; ; .

Определение.

Неявной функцией y независимой переменной х называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего х и y и, не разрешенного относительно y.

Неявная функция имеет вид: .

Например, ; .

Замечание.

Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ ее задания.

Основные характеристики функции

Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (ее поведение) при изменении независимой переменной. Характеризуют функцию по следующим свойствам:

1) четность или нечетность функции;

2) периодичность функции;

4) возрастание или убывание функции (монотонность функции);

5) ограниченность функции.

Рассмотрим эти характеристики.

Четные и нечетные функции

Определение.

Функция называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е. .

Например, ; ; – четные функции.

График четной функции расположен симметрично относительно оси (рис.1.4).

Определение.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е. .

Например, ; – нечетные функции.

График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).

Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.

Например, ; ; .

Графики таких функций не симметричны ни относительно оси , ни относительно начала координат.

Периодические функции

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число , что в области определения функции.

Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называется периодом функции .

Например, функции , являются периодическими с периодом .

Нули функции

Определение.

Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, , называется нулем функции.

Например, нулями функции являются значения и .

Монотонные функции

Определение.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области изменения аргумента, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).

Определение.

Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.

Ограниченные функции

Определение.

Функция называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Например, функции и – ограниченные функции, т.к. и для .

График ограниченной функции лежит между прямыми и (рис.1.8).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти область определения следующих функций:

1) ; Ответ: ;

2) ; Ответ: ;

3) ; Ответ: ;

4) ; Ответ: .

2. Найти множество значений функции:

1) ; Ответ: ;

2) ; Ответ: ;

3) ; Ответ: .

3. Найти , , , , если .

Ответ: ; ; ; .

4. Пусть и . Найти и .

Ответ: ; .

5. Установить чётность или нечётность функции:

1) ; Ответ: чётная;

2) ; Ответ: чётная;

3) ; Ответ: общего вида;

4) ; Ответ: нечётная.

6. Найти основные периоды функций:

1) ; Ответ: ;

2) ; Ответ: ;

3) ; Ответ: .

7. Введя промежуточные аргументы, представить данную функцию, как суперпозицию других функций:

1) ; Ответ: ; ; ;

2) ; Ответ: ; ; ; ; .

8. Для данных функций найти явные обратные:

1) ; Ответ: ;

2) ; Ответ: ;

3) ; Ответ: .

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Что такое явный вид уравнения

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

С другой стороны, по условию задачи имеем

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ‘ и (1.2) tg α = 2x получим

Решением дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x даются формулой

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M₀ (x₀, y₀), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x 2 + С координаты x и y координатами точки M₀

и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5) y = x 2 + С . Выполняя указанные выкладки, имеем:

С = y₀ – , y = x 2 – + y₀.

Таким образом, искомой кривой будет парабола

y = x 2 – + y₀.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t₀ точка занимает положение x₀, так что x(t₀) = x₀.

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

= f (t). (1.7)

Равенство (1.7) = f (t) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7) = f (t) , найдем закон движения в конечной форме.

Интегрирование уравнения (1.7) = f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

x = f (t) dt + C. (1.8)

Выделим решение (движение), в котором

Для этого положим в формуле (1.8) x = f (t) dt + C t = t₀, x = x₀. Получим

x₀ = f (t) dt + C,

откуда C = x₀; следовательно, искомым решением (движением) будет

x = f (t) dt + x₀. (1.10)

Формула (1.10) x = f (t) dt + x₀ дает искомый закон движения материальной точки. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (1.7) = f (t) и условием (1.9) x = x₀ при t = t₀ , нет.

Условие (1.9) x = x₀ при t = t₀ называется начальным условием, а числа t₀ и x₀ — начальными данными решения (движения).

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

x — = 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Например, все решения уравнения

y’ =

y = dx + C.

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

Если его возможно разрешить относительно производной y ‘, то оно приводится к виду y ‘ = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида (3.1) y ‘ = f (x, y) .

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ‘ — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

y ‘ = = p. (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

= tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M₀ (x₀, y₀), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M₀ (x₀, y₀).

Установим связь между уравнением (3.2) y ‘ = = p и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3.2) y ‘ = = p определена и непрерывна в области G , и пусть

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3) y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.

Таким образом, если через точку M(x, y) проходит интегральная кривая (3.3) y = y (x) , то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке M области G отрезок (для определенности — единичной длины) с центром в точке M, составляющий с положительным направлением оси Ox угол α, тангенс которого определяется формулой (3.4) tg α = f (x, y) . Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3.2) y ‘ = = p . Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (3.2) y ‘ = = p в этой точке.

Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = = p y = 0, и получим тангенс угла α:

Например, интегральные кривые уравнения

= x 2 + y 2 . (3.5)

пересекают ось x под углом α, тангенс которого равен x 2 . Аналогично интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = = p в точках их пересечения с осью y образуют с осью x угол α:

Вообще, если надо узнать, какой угол с осью x образуют интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = = p в точках их пересечения с заданной кривой y = φ(x), то достаточно подставить y = φ(x) в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = = p . Получим

Например, для интегральных кривых уравнения

= y – x

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

Кривая ω (x, y) = 0, в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3.2) y ‘ = = p , одно и то же, называется изоклиной этого уравнения.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2) y ‘ = = p имеют вид

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) = x 2 + y 2 изоклинами будут окружности

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.

Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2) y ‘ = = p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

= . (3.6)

Таким образом, во всякой точке M(x, y), в которой правая часть уравнения (3.2) y ‘ = = p имеет конечное значение или обращается в бесконечность, это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3.6) = , которое всегда будем рассматривать наряду с уравнением (3.2) y ‘ = = p в окрестности точек, где f (x, y) обращается в бесконечность, будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3.2) y ‘ = = p .

3.4. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y₀ искомой функции при некотором значении x₀ независимого переменного — это значит задать начальное условие

= y₀.

С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M₀ (x₀, y₀) на плоскости XOY.

Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано уравнение y’ = f (x, y) с начальным условием = y₀, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:

В прямоугольнике R, определенном неравенствами

функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) ∈ R | f (x, y)| ≤ M.

В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y₁) – f (x, y₂)| ≤ A|y₁ – y₂|.

Обозначим через h меньшее из двух чисел a, .

При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x₀ – h ≤ x ≤ x₀ + h, удовлетворяющее начальному условию = y₀.

3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

I. Уравнения с разделяющимися переменнымиII. Уравнения, однородные относительно переменныхIII. Уравнения в полных дифференциалахIV. Линейные дифференциальные уравненияy’ = f (x) g ( y)y’ = f (x, y), где f (x, y) — однородная функция нулевого порядкаM(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

где y’ + P(x) y = Q(x)

1. y’ = .
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать.

1. Замена = u, где u = u(x).
2. После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными.
3. Решив его, заменим u = .

1. Проверяем

   .
   Решением дифференциального уравнения является u(x, y), где

   = M(x, y),

   = N(x, y).

y’ + P(x) y = 0 — линейное однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
1. y’ + P(x) y = Q(x)

• метод вариации произвольной постоянной;
• метод Бернулли:
  y = u(x) · v(x).

I. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида y’ = f (x) g ( y) или M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.

Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

dx + dy = 0,

где dx — дифференциал некоторой функции от x,

dy — дифференциал некоторой функции от y.

Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

dx + dy = C.

Частный интеграл, удовлетворяющий условию = y₀, выражается

dx + dy = 0.

Если работать с уравнением y’ = f (x) g ( y), то = f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

Действительно, всякое решение, например y = y₀, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

Значит решения y = y₀, x = x₀ являются интегралами уравнения (5.1) M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy , даже если они не содержатся в общем решении.

II. Уравнения, однородные относительно переменных

Пусть имеем дифференциальное уравнение y’ = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t = в тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f 1, , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Обозначив f 1, = φ, получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

= φ.

Как интегрируется уравнение y’ = φ?

Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого делают замену

= u,

где u — новая искомая функция от независимой переменной x, т.е. u = u(x).

Дифференцируя по x, имеем:

тогда данное уравнение примет вид:

x = φ(u) – u.

Это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, преобразовав которое, получим:

= .

= + C,

= ln x + ln C

= ln Cx,

причем |x| не пишем, т.к. –1 войдет в постоянную C.

После взятия квадратуры, подставляем u = .

Замечание. Мы делили на φ(u) – u, предполагая, что оно отлично от нуля.

1. Если φ(u) ≡ u, то уравнение y’ = φ(u) примет вид: y’ = — уравнение с разделяющимися переменными.
2. Если φ(u) = u при некоторых значениях u = u₀, то функция y = u₀x — решение уравнения y’ = φ(u), которое может и не вытекать из общего.

y’ = u₀ и φ= φ(u₀) равны, тогда u₀ = φ, xdx = [φ(u) – u] dx.

III. Уравнения в полных дифференциалах

Если существует функция u(x, y) такая, что

M(x, y) = , N(x, y) = ,

то дифференциальное уравнение

можно переписать в форме

dx + dy = 0, т.е. d[u(x, y)] = 0.

В этом случае, данное уравнение имеет решение

Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?

Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.

Т.к. = M(x, y), то

u(x, y) = M(x, y) dx + C(y), (5.3)

где C(y) — функция, зависящая только от y и пока нам неизвестная. Будем ее искать из условия, что = N(x, y), но

= M(x, y) dx + C(y).

M(x, y) dx + C’(y) = N(x, y).

Отсюда находим C’(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (5.3) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (5.2) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 имеет вид

IV. Линейные дифференциальные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y’ + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

= – P(x) y

= – P(x) dx.

Проинтегрируем последнее уравнение:

= – P(x) dx + C,

ln y = ln C – P(x) dx.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

y = C.

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

его общее решение y = C.
Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде

y = C(x), (5.4)

где C(x) — искомая функция от x.

Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y’:

y’ = C’(x) + C(x) (– P(x))

и, подставив в данное уравнение, получим

C’(x) = Q(x).

Интегрированием находим C(x):

C(x) = Q(x) + C.

Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) y = C(x) и получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Методом Бернулли.

На примере решения уравнения y’ – = x.

Пусть решение имеет вид:

u’v + v’u – = x.

u’v + uv’ – . ( ∗ )

Пусть v’ – = 0.

= ,

= ,

v = x 3 , подставим в уравнение ( ∗ ),

u’ = .

Интегрированием находим u:

u = = – + C,

y = – + C x 3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.

Решение y = y(x), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения y = φ(x, C) (6.1) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C (но может быть получено при C = C(x)).

Если правая часть уравнения = f (x, y) (6.2) удовлетворяет во всей области задания условиям теоремы Пикара, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений. Если функция f (x, y), стоящая в правой части уравнения , непрерывна относительно x и y во всей области задания и имеет частную производную по y (ограниченную или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые y = φ(x), во всех точках которых обращается в бесконечность:

_{y = φ(x)} = ∞.

Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть иногда найдены по уравнению семейства интегральных кривых.

Огибающая семейства интегральных кривых уравнения (6.2) = f (x, y) всегда является особым решением этого уравнения, ибо, во-первых, она является решением (интегральной кривой) уравнения (6.2) = f (x, y) , так как в каждой ее точке направление касательной совпадает с направлением поля, направлений, определяемого дифференциальным уравнением (6.2) = f (x, y) в этой точке, и, во-вторых, в каждой ее точке, очевидно, нарушается единственность решения задачи Коши.

Отметим, наконец, что особые решения всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Дело в том, что когда делим обе части данного дифференциального уравнения на некоторую функцию ω(x, y), то получаем уравнение, вообще говоря, не равносильное данному, ибо можем при этом потерять решения вида y = φ(x) при x = ψ(y), при которых делитель ω(x, y) обращается в нуль, если эти решения не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него ни при каких числовых значениях произвольной постоянной (включая ± ∞). Решения, о которых идет речь, очевидно, являются особыми.

Вообще всегда при интегрировании дифференциального уравнения нужно иметь в виду следующее замечание Н. М. Гюнтера: «Внимательно относясь к процессу, переводящему дифференциальное уравнение в его общий интеграл, можно без всяких интегрирований найти все особые решения, ни одного не пропустив». В дальнейшем будем систематически пользоваться этим указанием для нахождения особых решений всех уравнений, общий интеграл которых удается построить в элементарных функциях или в квадратурах.

Рассмотрим случай полного уравнения (6.3) F(x, y, y’) = 0 , в котором функция F линейно зависит от y и x. Такое уравнение можно, разрешив относительно y, записать в виде

Если φ(y’) ≠ y’, то уравнение (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) называется уравнением Лагранжа. Найдем его общее решение в параметрической форме.

Воспользуемся основным соотношением:

приняв y’ за параметр, который на этот раз (по традиции) обозначим буквой p (y’ = p). Тогда уравнение Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) будет равносильно системе двух уравнений

(6.4, а)

Пользуясь основным соотношением (6.5) dy = y’dx с учетом (6.4, а) , получим (вычисляя dy как дифференциал функции от двух аргументов p и x)

Это есть дифференциальное уравнение с неизвестной функцией x от независимой переменной p. Замечая, что искомая функция x входит в коэффициент при dp линейно, перепишем его в виде

.

Это есть линейное уравнение с искомой функцией x. Интегрируя его, получим

Подставляя эту функцию в первое из уравнений (6.4, а) выразим y через p. Общим решением уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) в параметрической форме будет

Если уравнение φ(p) – p = 0 имеет действительные решения p = p_i (i = 1, 2 , …, n), то, подставляя их в первое из уравнений (6.4, а) и принимая во внимание, что φ(p_i) = p_i, получим

Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) .

Это уравнение называется уравнением Клеро.

Применяя тот же алгоритм, что и при интегрировании уравнения Лагранжа, имеем

Это уравнение распадается на два:

Первое из них дает p = C = const. Подставляя это значение в первое из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p , получим

Это семейство прямых линий и есть общее решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) . Заметим, что оно получается из (6.6) y = xy’ + ψ(y’) формальной заменой y’ на C.

Второе из уравнений (6.8) dp = 0 и x + ψ’(p) = 0 вместе с первым из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p дает решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) в параметрической форме:

(6.10)

которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9) y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

Действительно, разыскивая кривую, подозрительную на огибающую семейства (6.9) y = xC + ψ(C) , по правилу, указанному выше, имеем систему

где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

Но эти уравнения отличаются от (6.10) только обозначением параметра.

Таким образом, приходим к очень простому алгоритму интегрирования уравнения Клеро:

1. Общее решение получается заменой у’ на C.
2. Особое решение ищется как огибающая семейства прямых, образующих общее решение.

В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.

3.7. Уравнение Бернулли.

Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

Для приведения уравнения Бернулли к линейному уравнению избавимся сначала в правой части от множителя y m , разделив на него обе части уравнения. Получим

Это уравнение можно переписать в виде

( y 1 – m ) ‘ + p(x)y 1 – m = q(x).

Введя новую неизвестную функцию z:

придем к уравнению

z’ + p(x)z = q(x),

Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

y = .

Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 (8.2) = 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, ), зависящей от времени t, положения x и скорости в момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

m = F (t, x, ), (8.3)

где есть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) m = F (t, x, ) в виде

= f (t, x, ), (8.4)

где f = .

соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5) x = x(t) называют движением, определяемым уравнением (8.5) x = x(t) . Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) = f (t, x, ) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) = f (t, x, ) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

Для уравнения n-го порядка

(n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀, (8.8)

где x₀, y₀, , …, — заданные числа (начальные данные решения (8.7) y = y(x) . В отличие от уравнения первого порядка здесь при заданном значении независимой переменной задается значение не только искомой функции, но и ее производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

В частности, для уравнения второго порядка (8.1) F (x, y, y ‘, y ») = 0 начальные условия (8.8) y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ принимают вид

y = y₀, y ‘ = при x = x₀.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M₀ (x₀, y₀) и имеющей в этой точке касательную M₀T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α₀:

tg α₀ = .

Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

Предположим, что все коэффициенты p₁, …, p_n и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x₀, y₀, , …, ), где x₀ ∈ (a, b), а y₀, , …, — любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема. Если функции p₁, …, p_n и f (x) непрерывны в интервале (a, b), то уравнение (8.10) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) имеет единственное решение (8.7) y = y(x) , удовлетворяющее начальным условиям (8.8) y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ , причем y₀, , …, можно задавать произвольно, а x₀ можно брать любым из интервала (a, b).

Можно доказать, что решение (8.7) y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

В частности, если функции p₁, …, p_n и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y₀, , …, можно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

Если функции p₁, …, p_n, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

(8.11)

то при постановке задачи Коши начальные значения y₀, , …, можно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q₁, …, Q_n, Q_{n + 1}. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x₀, не содержащей нулей знаменателей Q₁, …, Q_n, Q_{n + 1}.

3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

Если уравнение (9.1) F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0 разрешимо относительно старшей производной y (n) , то оно примет вид

Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида y (n) = f (x).Уравнение вида
F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию y.Уравнение вида
F (x, y (k) , y (k + 1) , …, y (n) ) = 0,
не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных.Уравнение вида
F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
не содержащее явно независимую переменную x.Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ‘ и находим y.Производим замену y (k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y.
Например, в дифференциальном уравнении вида F ( y, y ‘, y » ) делается замена y ‘ = z, тогда
y » = = = z.
Заменяя y ‘ = z, y » = z, получим дифференциальное уравнение первого порядка
F y, z, y ‘, z = 0.

3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

Будем предполагать, что функции p₁, …, p_n, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y₀, , …, при любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y₀ (x₀) = 0, (x₀) = 0, …, (x₀) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y , а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y₀, , …, , на заданные функции p₁, …, p_n, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

L ≡ + p₁ (x) + p_{n – 1} (x) + p_n (x)

и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

L ≡ + p₁ (x) + p₂ (x).

Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

Из этих основных свойств оператора L следует, что

L C_k y_k = C_k L(y_k).

т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) L(y) = f (x) или (10.5) L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

Функции cos x и sin x являются действительной и мнимой частями комплексной функции e ix . Так как они определены при всех значениях x, то и функция e ix определена при всех значениях x.

Аналогично определяется показательная функция более общего вида e αx , где α = a + ib; причем a и b — действительные числа:

Здесь действительная и мнимая части e ax cos bx, ie ax sin bx, а вместе с ними и функция e αx определены при всех значениях x.

Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

Используя формулу (10.7) y (k) (x) = u (k) (x) + iv (k) (x) , можем вычислить значение оператора L от комплексной функции действительной независимой переменной. При этом получим

т. е. значение оператора L от комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) является комплексной функцией действительной переменной x; причем действительной и мнимой частями этой функции являются значения оператора L от действительной и мнимой частей функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) .

Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = ) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

откуда вытекает, что

≠ const (a (11.2) y₁, y₂, …, y_m (a линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

α₁, α₂, …, α_n (a (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

W(x) =

Этот определитель называется определителем Вронского решений y₁, y₂, …, y_n.

Теорема. Для того чтобы решения (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

W(x) = W(x₀) . (11.4)

Из формулы (11.4) W(x) = W(x₀) видно, что определитель Вронского n решений уравнения L(y) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

1. Если W(x) обращается в нуль в одной точке из интервала (a, b), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
2. Если W(x) не равен нулю в одной точке из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x₀ ∈ (a, b).

Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

a (n – 1) | (11.5) a (n – 1) | имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1) C_ky_k удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

1. Система уравнений

(11.6)

разрешима в области (11.5) a (n – 1) | относительно произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n так как определитель этой системы, будучи равен определителю Вронского для фундаментальной системы решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a , отличен от нуля.

2. Функция (11.1) C_ky_k по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n.

Поэтому функция (11.1) C_ky_k является общим решением уравнения L(y) = 0 в области (11.5) a (n – 1) | .

Формула (11.1) C_ky_k содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

y = y₀, y ‘ = , …, y (n – 1) = при x = x₀ (11.7)

где y₀, , …, можно задавать произвольно, а x₀ брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) вместо x, y, y ‘, …, y (n – 1) начальные данные x₀, y₀, , …, и разрешить полученную систему

(11.8)

относительно произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как определитель системы (11.8) есть W(x₀) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

C₁ = , C₂ = , …, C_n =

Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (11.1) C_ky_k , получим искомое решение:

y = y_k.

Таким образом, фундаментальная система решений (11.3) α₁, α₂, …, α_n (a является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.

3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты a₁, a₂, …, a_n суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) L(y) ≡ y (n) + a₁ y (n – 1) + … + a_{n – 1} y ‘ + a_n y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в виде

где λ — подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4) y = e λx будет решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , если λ выбрано так, что функция (12.4) y = e λx обращает это уравнение в тождество

Вычисляя L(e λx ), т. е. подставляя функцию (12.4) y = e λx в левую часть уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , и принимая во внимание, что

Из формулы (12.7) L(e λx ) = (λ 2 + pλ + q)e λx следует, что интересующее нас тождество (12.5) L(e λx ) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

Заметим, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 заменой y », y ‘ и y на λ 2 , λ и 1, т. е. степень λ совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y (0) ≡ y.

Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 .

Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ₁ и λ₂. Тогда, подставляя в формулу (12.4) y = e λx вместо λ числа λ₁ и λ₂, получим два частных решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0

y₁ = , y₁ = . (12.9)

Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

=

не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9) y₁ = , y₁ = можно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

W(x) = = (λ₂ – λ₁) ≠ 0.

Следовательно, частные решения y₁ = , y₁ = образуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = C₁ + C₂ .

Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

Подставляя корень λ₁ = a + bi в формулу (12.4) y = e λx , получим комплексное решение

поэтому решение (12.10) y = e (a + bi)x можно записать так:

Отделяя в комплексном решении (12.11) y = e ax cos ax + i e ax sin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

Эти решения, очевидно, независимы, так как

≠ const.

Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ₂ = a – bi соответствуют действительные частные решения

Решения (12.13) e ax cos ax, – e ax sin bx , очевидно, линейно зависимы с решениями (12.12) y₁ = e ax cos ax, y₂ = e ax sin bx .

Таким образом, паре сопряженных комплексных корней λ_{1, 2} = a ± bi соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (12.12) y₁ = e ax cos ax, y₂ = e ax sin bx .

Решения (12.12) y₁ = e ax cos ax, y₂ = e ax sin bx образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 . Поэтому

будет общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 .

Если корни λ₁ и λ₂ чисто мнимые, т. е. λ₁ = ib и λ₂ = – ib, то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , а

есть общее решение этого уравнения.

Случай кратных корней характеристического уравнения

Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ₁ = λ₂ = – . Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

y₁ = (12.15)

y₁ = . (12.15, а)

Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в том, что

y₂ = x (12.16)

есть второе частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , линейно независимое с решением (12.15) y₁ = :

= – x,

= – p + x. (12.17)

L(x) = – px + x + px – x + qx = – + q x ≡ 0 (12.18)

так как – q = 0.

Общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

y = (C₁ + C₂x).

3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) .

z = C_k z_k (13.5)

Подставляя это значение z в формулу (13.3) y = y₁ + z , получим

y = y₁ + C_k z_k (13.6)

Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) . Функция (13.6) y = y₁ + C_k z_k , как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) .

Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) .

Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4) L(z) = 0 .

Общее решение (13.6) y = y₁ + C_k z_k дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x₀, y₀, , …, из области (11.5) a (n – 1) | за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p₁ (x) y (n – 1) + … + p_{n – 1} (x) y ‘ + p_n (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

и известно, что y₁ есть частное решение уравнения

а y₂ — частное решение уравнения

3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

где Q_m (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.
Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель xk .

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

где Q₁ и Q₂ — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P₁ и P₂ тождественно равен нулю.
Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

т. е. частное решение приобретает множитель xk .

3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

W(x) = ≠ 0 (15.4)

Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) L(z₁) ≡ 0, L(z₂) ≡ 0 имеет вид

Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C₁(x) и C₂(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C₁(x) и C₂(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) L(C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

Дифференцируя обе части равенства (15.5) z = C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂ , имеем y’ = C₁(x) + C₂(x) + (x)z₁ + (x)z₂.

Чтобы при вычислении y» не появились производные второго порядка от C₁(x) и C₂(x), положим

(x)z₁ + (x)z₂ = 0.

Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C₁(x) и C₂(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y’ примет вид

y’ = C₁(x) + C₂(x). (15.7)

Вычисляя теперь y», получим

y» = C₁(x) + C₂(x) + (x) + (x). (15.8)

Подставим выражения для y, y’ и y» из формул (15.5) z = C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂ , (15.7) y’ = C₁(x) + C₂(x) и (15.8) y» = C₁(x) + C₂(x) + (x) + (x) в уравнение (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на q, p и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Получим

C₁(x)L(z₁) + C₁(x)L(z₂) + (x) + (x) = f (x).

Здесь в силу (15.3) L(z₁) ≡ 0, L(z₂) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

(x) + (x) = f (x).

Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

Эта система в силу (15.4) W(x) = ≠ 0 однозначно разрешима относительно (x) и (x). Решая ее, получим

(x) = φ₁(x) и (x) = φ₂(x),

где φ₁(x) и φ₂(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z₁, z₂, и непрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4) W(x) = ≠ 0 функции φ₁(x) и φ₂(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

C₁(x) = φ₁(x)dx + C₁, C₂(x) = φ₂(x)dx + C₂,

y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂. (15.9)

Полагая здесь C₁ = C₂ = 0, получим частное решение

y₁ = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx

так что формулу (15.9) y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂ можно записать в виде

откуда в силу теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения следует, что формула (15.9) y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂ дает общее решение уравнения (15.1) L(y) ≡ y» + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Все решения, входящие в формулу (15.9) y = z₁φ₁(x)dx + z₂φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂ , заведомо определены в интервале (a, b).

Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

где коэффициенты p₁ (x), …, p_n (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

Пусть z₁, z₂, …, z_n — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

z = C_kz_k

Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

y = C_k(x)z_k, (15.11)

где функции C_k(x) определяются из системы уравнений

Решая эту систему относительно (k = 1, 2, …, n), находим

= φ_k(x) (k = 1, 2, …, n),

C_k(x) = φ_k(x)dx + C_k (k = 1, 2, …, n).

Подставляя найденные значения C_k(x) в формулу (15.11) y = C_k(x)z_k , получаем

y = z_kφ_k(x)dx + C_kz_k. (15.12)

Это и есть общее решение уравнения. Все решения, входящие в формулу (15.12) y = z_kφ_k(x)dx + C_kz_k , заведомо определены в интервале (a, b).