Числовой коэффициент выражения: определение, примеры
В математических описаниях часто фигурирует термин «числовой коэффициент», например, в работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными. Материал статьи ниже раскрывает понятие этого термина, в том числе, на примере решения задач на нахождение числового коэффициента.
Определение числового коэффициента. Примеры
Учебник Н.Я. Виленкина (учебный материал для учащихся 6 классов) задает такое определение числового коэффициента выражения:
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения.
Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.
Данное определение дает возможность указать примеры числовых коэффициентов выражений.
Рассмотрим произведение числа 5 и буквы a , которое будет иметь следующий вид: 5 · a . Число 5 является числовым коэффициентом выражения согласно определению выше.
В заданном произведении x · y · 1 , 3 · x · x · z десятичная дробь 1 , 3 – единственным числовой множитель, который и будет служить числовым коэффициентом выражения.
Также разберем такое выражение:
7 · x + y . Число 7 в данном случае не служит числовым коэффициентом выражения, поскольку заданное выражение не является произведением. Но при этом число 7 – числовой коэффициент первого слагаемого в заданном выражении.
Пусть дано произведение 2 · a · 6 · b · 9 · c .
Мы видим, что запись выражения содержит три числа, и, чтобы найти числовой коэффициент исходного выражения, его следует переписать в виде выражения с единственным числовым множителем. Собственно, это и является процессом нахождения числового коэффициента.
Отметим, что произведения одинаковых букв могут быть представлены как степени с натуральным показателем, поэтому определение числового коэффициента верно и для выражений со степенями.
Выражение 3 · x 3 · y · z 2 – по сути оптимизированная версия выражения 3 · x · x · x · y · z · z , где коэффициент выражения – число 3 .
Отдельно поговорим о числовых коэффициентах 1 и — 1 . Они очень редко записаны в явном виде, и в этом их особенность. Когда произведение состоит из нескольких букв (без явного числового множителя), и перед ним обозначен знак плюс или вовсе нет никакого знака, мы можем говорить, что числовым коэффициентом такого выражения является число 1 . Когда перед произведением букв обозначен знак минус, можно утверждать, что в этом случае числовой коэффициент – число — 1 .
Далее определение числового коэффициента расширяется с произведения нескольких букв и числа до произведения числа и нескольких буквенных выражений.
К примеру, в произведении — 5 · x + 1 число — 5 будет служить числовым коэффициентом.
По аналогии, в выражении 8 · 1 + 1 x · x число 8 – коэффициент выражения; а в выражении π + 1 4 · sin x + π 6 · cos — π 3 + 2 · x числовой коэффициент — π + 1 4 .
Нахождение числового коэффициента выражения
Выше мы говорили о том, что если выражение представляет собой произведение с единственным числовым множителем, то этот множитель и будет являться числовым коэффициентом выражения. В случае, когда выражение записано в ином виде, предстоит совершить ряд тождественных преобразований, который приведет заданное выражение к виду произведения с единственным числовым множителем.
Задано выражение − 3 · x · ( − 6 ) . Необходимо определить его числовой коэффициент.
Решение
Осуществим тождественное преобразование, а именно произведем группировку множителей, являющихся числами, и перемножим их. Тогда получим: − 3 · x · ( − 6 ) = ( ( − 3 ) · ( − 6 ) ) · x = 18 · x .
В полученном выражении мы видим явный числовой коэффициент, равный 18 .
Ответ: 18
Задано выражение a — 1 2 · 2 · a — 6 — 2 · a 2 — 3 · a — 3 . Необходимо определить его числовой коэффициент.
Решение
С целью определения числового коэффициента преобразуем в многочлен заданное целое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:
a — 1 2 · 2 · a — 6 — 2 · a 2 — 3 · a — 3 = = 2 · a 2 — 6 · a — a + 3 — 2 · a 2 + 6 · a — 3 = — a
Числовым коэффициентом полученного выражения будет являться число — 1 .
Коэффициент в математике
Что такое коэффициент в математике
Под коэффициентом в математике понимают числовой множитель в буквенном выражении.
Важным моментом в определении понятия коэффициента является слово «множитель», т.к. если выражение содержит знаки суммы и другие отличные от умножения, то коэффициент ко всему выражению применим быть не может. Коэффициент равный -1 и 1 принято в выражении опускать.
Рассмотрим пример числового выражения -a, в нем числовым коэффициентом является число -1, но т.к. -1 записывать в выражениях не принято, то такой коэффициент может быть опущен. Если же имеем выражение -35 abc, то коэффициентом данного выражения является число -35. Коэффициенты являются важной составляющей решения различных уравнений, например в квадратных уравнениях решение зависит от правильно определенных коэффициентов. Коэффициенты в выражениях и работу с ними обычно начинают изучать в программе 6 класса.
Примеры числовых коэффициентов и их особенности
Рассмотрим несколько примеров числовых коэффициентов в выражениях:
- — 5 * x + 1 , числовым коэффициентом в данном выражении является число -5.
- 3 * ( 1 x + 1 ) , аналогично в таком выражении числовым коэффициентом является число 3.
- 3 x + y , в данном выражении число 3 не является числовым коэффициентом всего выражения 9, т.к. выражение содержит в себе знак суммы), но при этом является коэффициентом первого слагаемого, входящего в это выражение.
- π + 1 2 sin π 3 + x cos 2 x — π 3 , в этом выражении числовым коэффициентом является π + 1 2 .
- 14 y 2 — 5 y — 1 = 0 , в этом уравнении числовыми коэффициентами являются 14, -5 и -1 соответственно.
Нахождение числового коэффициента в выражении, пояснение на примерах
Для нахождения числового коэффициента в выражении необходимо руководствоваться следующими правилами:
- убедиться в том, что данное выражение содержит в себе только произведение множителей;
- отдельно выполнить умножение чисел в выражении, отдельно умножение букв.
Рассмотрим несколько примеров и найдем числовые коэффициенты в следующих выражениях:
- 0 , 3 a * ( — 0 , 7 ) b , данное выражение состоит из произведения множителей, значит для определения числового коэффициента выражения выполним умножение 0 , 3 * ( — 0 , 7 ) = — 0 , 21 . Значит числовым коэффициентом в выражении является -0,21, а все выражение можно записать в виде -0,21ab.
- — 2 3 m * 3 8 n , аналогично данное выражение состоит из произведения множителей, значит для определения числового коэффициента выполним умножение — 2 3 * 3 8 = — 1 4 . Значит числовым коэффициентом в выражении является — 1 4 , а выражение можно записать в виде — 1 4 m n .
- 4 a 5 b + 2 a b 5 — 2 b 3 * 3 a b 2 , в данном выражении первые два слагаемых не являются произведением, а в двух последних множителях можем выполнить преобразование получим 4 a 5 b + 2 a b 5 — 6 b 5 a = 4 a 5 b — 4 a b 5 , таким образом коэффициентами в этом выражении являются числа 4 и -4 соответственно.
Линейное уравнение с одной переменной
Содержание
Что такое уравнение
Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.
К примеру, не будут уравнениями выражения $3n-4$ или $d + 8$. Ведь в них не требуется найти значение переменной и отсутствует знак равенства. Это просто буквенные выражения. А вот записи: $4y-7 = 13$ или $-5x = 6x-2$ являются уравнениями.
Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу.
Приведем пример
Папе и сыну вместе $45$ лет, при этом известно, что отец старше на $19$ лет. Найдем, сколько лет каждому из них?
Обозначим возраст сына за $x$, тогда папе будет $x+19$ лет. Получим уравнение: $x + (x + 19) = 45$, так как по условию вместе им $45$ лет. Решим:
после раскрытия скобок: $2x + 19 = 45$,
То есть с помощью составления уравнения мы выяснили, что сыну $13$ лет. Отцу тогда $32$ года $(13 + 19)$. И вместе им действительно $45$ лет: $$13 + 32 = 45$$
Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.
Неизвестная переменная может обозначаться в уравнении не только буквами $x$ или $y$, но и любыми другими латинскими буквами.
Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.
Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.
Рассмотрим пример
Выясним, является ли корнем этого уравнения $x = 4$. Подставим $4$ вместо $x$ и получим: $$<3\times 4>-1 = 5$$$$12-1 = 5$$$$11 = 5$$
При решении мы поняли, что $x ≠ 4$, так как $11 ≠ 5$. То есть число $4$ не может быть корнем данного в задании уравнения. Посчитайте самостоятельно, какой корень у этого уравнения?
Корней может быть несколько, один или не быть совсем. В последнем случае говорят обычно, что уравнение не имеет решения или не имеет корней.
В примере с папой и сыном корень уравнения единственный: $x = 13$. Ведь нет других вариантов решения, при которых будут выполнены все условия и получится верное равенство. Проверьте сами?
Что такое линейное уравнение
Если числа в конечном уравнении $2x = 26$ к нашему первому примеру заменить на буквы $a$ и $b$, мы получим уравнение вида $ax = b$.
Подобные уравнения и называются линейными.
Уравнения вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, называются линейными уравнениями с одной переменной
Когда уравнения содержат, к примеру, степень: $$x^2 + 3 = 7$$ или неизвестная переменная находится в знаменателе дроби: $$\frac <8>
Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.
Коэффициенты и решение линейных уравнений
Числа $a$ и $b$ в линейном уравнении называют коэффициентами. Они могут быть выражены любыми числами, в том числе отрицательными или дробными. При этом $a$ называют коэффициентом при неизвестной переменной, а коэффициент $b$ свободным.
В наших примерах у уравнений был единственный корень. Наверное, вы заметили, что в них коэффициенты $a$ и $b$ были равны числам, отличным от нуля. Подобные уравнения решаются по простому алгоритму: $$x = \frac $$
Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения).
Попробуем взять коэффициент $a$, равный $0$, а коэффициент $b$ — любое число, не равное $0$. Тогда получим уравнение: $$0\times x = b$$ При умножении $x$ на ноль всегда будет ноль, но у нас $b ≠ 0$. Следовательно, правая и левая части такого уравнения между собой не равны, и при $a = 0$, а $b ≠ 0$ линейное уравнение не имеет верного решения.
Но линейное уравнение может иметь и множество решений. Рассмотрим такой случай. Например, что будет, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$? $$0\times x + 0 = 0$$ Ясно, что любое подобное уравнение с обоими коэффициентами, равными нулю, имеет бесконечно много корней. Почему? Потому что любое число при умножении на 0 дает ноль. Какое бы число вместо $x$ мы не подставили, равенство будет верным.
Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:
Величины $a$ и $b$ | $a ≠ 0$, $b$ — любое | $a = b = 0$ | $a = 0$, $b ≠ 0$ |
Корни уравнения $ax = b$ | $x = \frac $ | $x$ — любое | корней нет |
Свойства линейных уравнений
Цель любого линейного уравнения – выразить $x$ и понять, чему он будет равен.
До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.
Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.
Свойства линейных уравнений:
- Любой член можно перенести из одной части линейного уравнения в другую, но при этом нужно не забыть заменить знак на противоположный.
В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные — с другой.
Например: $5x = 30-3x$. Для решения перенесем $-3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $5x + 3x = 30$.
- В ходе решения обе части уравнения можно одновременно делить или умножать на какое-то одно и то же число, отличающееся от $0$. При этом равенство будет оставаться верным.
Часто второе свойство применяется в уравнениях с дробями. Например, нужно решить уравнение: $$\frac <5><2>\times x = 8$$ Чтобы избавиться от дроби, попробуем и правую и левую части уравнения умножить на $2$. Тогда мы получим: $$2\times \frac <5><2>\times x = 2\times 8$$ После умножения уравнение примет следующий вид: $$5x = 16$$
Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.
http://wika.tutoronline.ru/matematika/class/6/koefficzient-v-matematike
http://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vyrazheniya-tozhdestva-uravneniya/uravneniya-s-odnoj-peremennoj/linejnoe-uravnenie-s-odnoj-peremennoj/