Что является графиком уравнения ах ву с

Презентация по алгебре на тему «Прямая как графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными. Алгоритм построение графика уравнения вида ах+ву+с=0»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1. Какое уравнение называют линейным уравнением с двумя переменными? 2. Что называют решением уравнения ax+by+c =0? 3. Что является графиком ax+by+c=0?

Устные упражнения 1) 3х – у = 14 2) 5у + х² -16=0 3) 7ху – 5у = 12 4) 5х + 2у -16=0 Ответ: 3х – у = 14 5х + 2у -16=0

Выбрать точку, которая является решением уравнения 2х + 5у-12=0 А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2). D(11; -2).

ТЕМА УРОКА Прямая как графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными. Алгоритм построение графика уравнения вида ах+ву+с=0

06.07.2012 www.konspekturoka.ru Пример 1 Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у – 3 = 0 точками в координатной плоскости. 1. Подберем несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). 2. Построим в хОу точки: А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), Е(0; 3), М(-2; 5). 3 Е(0; 3) С(1; 2) В(2; 1) 3 А(3; 0) М(-2; 5) 3. Соединим все точки. Внимание! Все точки лежат на одной прямой. В дальнейшем: для построения прямой достаточно 2 точки m m — график уравнения х + у — 3 = 0 Говорят: т – геометрическая модель уравнения х + у – 3 = 0 Р(-4; 7) Р(-4; 7) – пара, которая принадлежит прямой и есть решение уравнения 1 2 1 2 -2 5 -4 7

Вывод: Если (-4; 7) – пара чисел, удовлетворяет уравнению, то точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т. Если точка Р(-4; 7) принадлежит прямой т, то пара(-4;7) — есть решение уравнения. Наоборот:

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек. х + у – 3 = 0 Теорема: Графиком любого линейного уравнения ах + by + c = 0 есть прямая. Реальная ситуация (словесная модель) Алгебраическая модель Геометрическая модель Суммадвух чисел равна 3. х + у = 3 (линейное уравнение с двумя переменными) прямая т (график линейного уравнения с двумя переменными)

Алгоритм построения графика уравнения ах + bу + c = 0 3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁), (х₂; у₂) и соединим прямой. 4. Прямая – есть график уравнения. Придать переменной х конкретное значение х₁; найти из уравнения ах + bу + c = 0 соответствующее значение у₁. Получим (х₁;у₁). 2. Придать переменной х конкретное значение х₂; найти из уравнения ах + bу + c = 0 соответствующее значение у₂. Получим (х₂;у₂).

ФИЗМИНУТКА. Сильные мышцы задней части плеча и спины помогают держать спину прямой. Растянутая грудная мышца закрепит необходимый эффект. ⠀ 1. Займите нейтральное положение. Можно делать в сидячем положении. 2. Зафиксируйте поясничный отдел — напрягите пресс. 3. Плечи опустите вниз. Сведите лопатки вместе. 4. Поднимите руки перед собой. Согните в локтях. Ладони направлены вверх, большие пальцы наружу. 5. По направлению больших пальцев на вдохе разведите руки в стороны насколько это возможно. 6. На выдохе верните в руки в исходное положение. ⠀Локти ВСЕГДА прижаты к телу. Лопатки сведены всегда. Возможно, у вас будет небольшая амплитуда. Ничего страшного, делайте регулярно и постепенно увеличивайте размах.

Пример 2 Построить график уравнения 3 х — 2у + 6 = 0 1. Пусть х = 0, подставим в уравнение 3· 0 — 2у + 6 = 0 — 2у + 6 = 0 — 2у = — 6 у = — 6 : (-2) у = 3 (0;3) — пара чисел, есть решение 2. Пусть у = 0, подставим в уравнение 3· х — 2· 0 + 6 = 0 3х + 6 = 0 3х = — 6 х = — 6 : 3 х = — 2 (-2;0) — пара чисел, есть решение 3. Построим точки и соединим прямой -2 3 х — 2у + 6 = 0 0 3

№ 7.10(а,б,в) – по рядам № 7.13(в,г) № 7.17 (а,в)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. 1 вариант. № 7.17(б) 2 вариант № 7.17(г)

ОТВЕТЫ к САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

Домашнее задание. П.7 № 7.12(а,б) и № 7.18(а,б) (оценка 3) № 731 (на 4 и 5)

ИТОГ: 1. Что является решением линейного уравнения с двумя переменными? 2. Какой алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными?

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 — прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду: и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k . Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение.Каждый ненулевой вектор ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение: