Что является графиком уравнения y x2

Функция y=x² и её график. Парабола

График функции y=x²

Составим таблицу для расчёта значений функции $y = x^2$:

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их кривой:

Полученный график называют параболой. Точка (0;0) — это вершина параболы. Вершина делит график на левую и правую части, которые называют ветвями параболы.

Свойства параболы y=x²

1. Область определения $x \in (- \infty;+ \infty)$ — все действительные числа.

2. Область значений $y \in [0;+ \infty)$ — все неотрицательные действительные числа.

3. Функция убывает при $x \lt 0$, функция возрастает при $x \gt 0$.

4. Наименьшее значение функции y = 0 — в вершине параболы при x = 0. Вершина параболы совпадает с началом координат.

5. Все точки на ветвях параболы лежат выше оси абсцисс, для них $y \gt 0$.

6. График параболы симметричен относительно оси ординат, противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции:

$$ (-x)^2 = x^2 \Rightarrow y(-x) = y(x) $$

В таких случаях говорят, что функция чётная.

Если использовать запись для множеств и их элементов (см.§8 данного справочника), то область определения можно записать как $\$, а область значений $\$.

Функция y = x 2 и ее график

Функция вида y=x 2

Правило
y = x 2 — частный случай квадратичной функции при a = 1 , b = c = 0.

График функции — парабола.

Свойства функции

Свойства

1) Если x = 0, то y = 0, т.е. парабола проходит через начало координат т. (0,0).

2) Если x ? 0, то y > 0, т.е. парабола лежит выше оси абсцисс OX.

3) График симметричен относительно оси OY, так как x 2 = (-x) 2 , т.е. значениям x и -x соответствует одно и тоже значение y.
Ось OY — ось симметрии параболы.
Вершина параболы — т. O(0,0) — точка пересечения параболы с ее осью симметрии.

4) При x > 0 функция y = x 2 возрастает, т.е. большим значениям x соответствуют большие значения y.
При x 2 убывает, т.е. большим x соответствуют меньшие y.

Функция y=x^2 и ее график
презентация урока для интерактивной доски по алгебре (7 класс)

Презентация, а так-же материал по данной теме.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Функция y = x 2 и её график Алгебра 7 класс 2020 год

Цели урока: рассмотреть свойства и график функции у = х 2 ; научиться строить и «читать» график данной функции; научиться решать уравнения графическим способом.

Назовите координаты точек, симметричных данным точкам относительно оси y : (- 2; 6) (- 1; 4) (0; 0) (- 3; — 5) ( 2; 6) (1; 4) (0; 0) (3; — 5) y х

Найдите значение функции y = 5x + 4, если: х = — 1 х = — 2 х = 3 х = 5 y = — 1 y = — 19 y = — 6 y = — 29

Укажите область определения функции: y = 16 – 5 x х ≠ 0 х ≠ 7 х – любое число

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Расшифруйте термины Функция Независимая переменная, значения которой выбирают произвольно. Аргумент Все значения, которые принимает независимая переменная. Область определения Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Линейная функция График функции Функция, заданная формулой вида y = kx + b , где х – переменная, k и b некоторые числа, её графиком является прямая.

Зависимость площади квадрата от длины его стороны квадратичная функция Зависимая переменная Независимая переменная y = x 2 y x

Функция y = x 2 Математическое исследование

х — 3 — 2 , 5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 0 y Заполните таблицу значений функции y = x 2 : х 0 0, 5 1 1,5 2 2,5 3 y — 9 — 6,25 — 4 — 2,25 — 1 — 0,25 0 0 2,5 1 2,5 4 6,25 9

Постройте график функции y = x 2 парабола

Свойства функции y = x 2

Область определения функции D(f): х – любое число. Область значений функции E(f): все значения у ≥ 0.

Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат .

Если х ≠ 0, то у > 0. Все точки графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х . I II

Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у. График функции симметричен относительно оси ординат. Функция чётная. (- х) 2 = х 2 при любом х

Геометрические свойства параболы Обладает симметрией Ось разрезает параболу на две части: ветви параболы Точка (0; 0) – вершина параболы Парабола касается оси абсцисс Ось симметрии

«Знание – орудие, а не цель» Л. Н. Толстой Найдите у, если: х ≈ -2,5 х = — 2 у ≈ 1,9 у ≈ 6,7 у ≈ 9,6 х = 1,4 х = — 2,6 х = 3,1 у = 6 у = 4 Найдите х, если: — 1,4 — 3 , 1 х ≈ 2,5 х = 2

Найдите несколько значений х, при которых значения функции : меньше 4 больше 4

При каких значениях а точка Р(а; 64) принадлежит графику функции у = х 2 . Принадлежит ли графику функции у = х 2 точка : Не выполняя вычислений, определите, какие из точек не принадлеж ат графику функции у = х 2 : P(-18; 324) R(-99; -9081) S(17; 279) (-1; 1) (0; 8) (-2; 4) (3; -9) (1,8; 3,24) (16; 0) а = 8; а = — 8 принадлежит не принадлежит не принадлежит

Решите графически уравнение: х 2 = 5 х 2 = — 1 x 2 = х +1 y = — 1 y = x + 1 y = х 2 y = 5 нет решений х ≈ — 2,2; х ≈ 2,2 х ≈ — 0,6; х ≈ 1,6

Домашнее задание Изучить стр. 112-115. Выполнить упр. № 484, № 487, стр. 114-115 –построить график рис63.

Предварительный просмотр:

Урок № 48 План на 01.12.2020

Урок № 49 План на 01.12.2020

Учитель Кобылецкая Марина Витальевна

Тема урока: Функция y = x 2 и её график.

Цели урока: ввести определение функции y = x 2 ; изучить её свойства; научить строить и

читать график этой функции; показать прикладной характер изучаемого

материала; научить решать уравнения графическим способом;

развивать навыки исследовательской работы; графическую культуру учащихся;

воспитывать целенаправленное отношение к деятельности, аккуратность,

наблюдательность, интерес к окружающим явлениям.

Тип урока: урок изучения нового материала с использованием ИКТ.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, компьютерные презентации; бланки

математического исследования; тексты самостоятельной работы.

1. Организация начала урока.

Презентация «Функция y = x 2 и её график». Слайды 1 – 2.

● Сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

● Назовите координаты точек, симметричных точкам (2; 6); (-1; 4); (0; 0); (-3; -5)

относительно оси y .

● Найдите значения функции y = 5x + 4, если х = — 1; — 2; 3; 5.

● Укажите область определения функции: y = 16 – 5x; y = y = y =

Повторение теоретических сведений.

● Расшифруйте предложенные термины.

Зависимость между двумя переменными, при которой

Функция каждому значению независимой переменной соответствует

единственное значение зависимой переменной.

Аргумент Независимая переменная, значения которой выбирают

График функции Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы

которых равны значениям аргумента, а ординаты –

соответствующим значениям функции.

Область определения. Все значения, которые принимает независимая переменная.

Линейная функция . Функция, заданная формулой вида y = kx + b, где х –

переменная, k и b некоторые числа.

3. Изучение нового материала.

● Итак, мы уже знаем, что функция или функциональная зависимость – это зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной. Как известно, всякая функция описывает процессы движения и изменения, происходящие в окружающем нас мире.

● Рассмотрим, например, зависимость площади квадрата от его стороны.

— Что будет происходить с площадью квадрата, если мы будем изменять длину его стороны?

— Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Как измениться его площадь?

— А если сторону уменьшить в 4 раза, что произойдёт тогда?

— Какой формулой задаётся зависимость площади квадрата от его стороны?. (S = a 2 )

— Будет ли зависимость площади квадрата от его стороны являться функцией? Объясните ответ.

● Если в формуле S = a 2 площадь обозначить через y, а длину стороны через х, то рассмотренная нами функции задаётся формулой вида y = x 2 , которую называют квадратичной.

● По словам французского писателя Оноре де Бальзака «Ключом ко всякой науке является вопросительный знак». Поэтому мы сейчас проведём небольшое математическое исследование и попытаемся ответить на вопросы: что представляет собой функция y = x 2 ?; какими свойствами она обладает?; как выглядит её график? Все результаты исследований вы будете заносить в протокол исследования. ( У каждого ребёнка на парте специальный бланк ). ( Приложение ).

● Работу начнём с того, что составим таблицу соответственных значений x и y рассматриваемой нами функции. ( Задание №1 математического исследования).

Дети самостоятельно заполняют таблицу, можно использовать таблицу квадратов двузначных чисел.

● Проверьте ваши результаты. (Правильные ответы на слайде).

● Выполним Задание №2. Построим график функции.

По данным таблицы учащиеся строят график функции, учитель оказывает необходимую помощь «слабым» детям.

● Давайте посмотрим, что у нас получилось. ( Изображение графика на слайде).

● Итак, мы построили кривую, которая является графиком функции y = x 2 . Ясно, что этот график неограниченно продолжается вверх, справа и слева от оси y . Обратите внимание, ребята, на вид графика вблизи начала координат. Для значений х, близких к нулю, график практически сливается с прямой Ох. В таком случае говорят, что кривая касается оси абсцисс.

● График функции y = x 2 называют параболой. Откуда взялось это название и что оно означает?

Невероятно, но факт!

Например, перевал в горном районе Ергаки (Саяны, Сибирь) напоминает по форме параболу. Он так и называется перевал Парабола.

Презентация «Функция y = x 2 и её график». Слайды 11 – 15.

● Продолжим наше исследование. Наша задача выяснить, какими свойствами обладает функция y = x 2 и как эти свойства отражаются на её графике. Для этого выполните Задание №4.

Опираясь на таблицу значений и график функции, учащиеся заполняют таблицу в бланке исследования, получая при этом свойства функции и отражение этих свойств на графике.

Учитель контролирует работу и оказывает необходимую помощь.

● Обсудим свойства функции y = x 2 .

Учащиеся формулируют свойства, а учитель, с помощью детей, комментирует их и делает необходимые дополнения, используя слайды.

— Область определения функции D(f): любое число. Действительно, любое число х можно возвести во вторую степень.

— Если х = 0, то y = 0. График функции, следовательно, проходит через начало координат.

— Если х ≠ 0, то y > 0. Действительно, квадрат любого числа, отличного от нуля, есть число положительное. Значит, все точки графика функции, кроме точки (0; 0), лежат выше оси х, т. е. в I и II координатных четвертях.

— Исходя из того, что функция принимает только неотрицательные значения, т. е. y ≥ 0, можно сделать вывод, что область значений функции E(f): все значения y ≥ 0, . т. е. неотрицательные.

— Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (- х) 2 = х 2 при любом х. Например, (-3) 2 = 3 2 = 9. Таким образом, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y. Говорят, график функции симметричен относительно оси y. Заметим, что такие функции называются чётными .

● Ещё раз вернёмся к параболе и перечислим её геометрические свойства:

Геометрические свойства параболы.

— Обладает симметрий. Осью симметрии является ось ординат.

— Ось разрезает параболу на две части, которые называют ветвями параболы.

— Точка (0; 0), в которой смыкаются ветви, называется вершиной параболы.

— Парабола касается оси абсцисс.

4. Закрепление изученного материала.

● Русский писатель Л. Н. Толстой сказал: «Знание – орудие, а не цель». Давайте учиться использовать полученные вами сегодня знания как орудие для выполнения заданий различного характера.

● Начнём с элементарного.

Выполняя упражнения, учащиеся должны опираться на свойства функции и графика.

● Используя график функции y = x 2 (рис. 61 учебника) , найдём:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному: 1,4; — 1,4; — 2,6; 3,1; — 3,1;

Учитывая симметрию графика относительно оси ординат достаточно определить значения y для неотрицательных значений х .

б) значения аргумента, при котором значение функции равно 4; 6;

Достаточно найти одно из значений, а другое значение будет ему противоположным.

в) несколько значений х , при которых значения функции меньше 4; больше 4.

● Выполните задание №1 Самостоятельной работы . ( Приложение ).

● Вспомните, как устанавливается принадлежность точки графику заданной функции?

● Определим, принадлежит ли графику функции y = x 2 точка:

а) P(-18; 324); б) R(- 99; — 9081); в) S(17; 279).

а) Точка P лежит во II координатной четверти, поэтому она может принадлежать графику. Подставляя координаты точки P в формулу, получим 324 = (-18) 2 ; 324 = 324 – верное равенство. Точка P принадлежит графику функции.

б) Точка R лежит в IV координатной четверти, значит, она не может принадлежать графику, поскольку все точки графика функции y = x 2 лежат в верхней полуплоскости, т. е. в I и II координатных четвертях.

в) Точка S лежит в I координатной четверти, она может принадлежать графику функции. Подставляя координаты точки в формулу, получим 279 = 17 2 ; 279 = 289 – неверное равенство. Точка S не принадлежит графику.

● Определите, не выполняя вычислений, какие из точек не принадлежат графику функции y = x 2 . Ответ объясните. ( Упражнение выполняется устно ).

(-1; 1); (-2; -4); (0; 8); (3; -9); (1,8; 3,24); (16; 0).

● При каких значениях a точка P(a; 64) принадлежит графику функции y = x 2 . ( Упражнение №492 учебника ).

● Выполните задание №3 Самостоятельной работы . ( Приложение ).

5. Контрольные вопросы.

● Как называется график функции y = x 2 ?

● Как на координатной плоскости расположен график функции y = x 2 ?

● Какова область определения функции y = x 2 ?