Что является общим интегралом уравнения является

Уравнения в полных дифференциалах

В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

Рассмотрим уравнение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Полный дифференциал функции U ( x , y ) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:

P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P ( x , y ) ∂ U ∂ y = Q ( x , y )

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

U ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + φ ( y )

Функцию φ ( y ) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U ( x , y ) ∂ y = ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y + φ y ‘ ( y ) = Q ( x , y ) ⇒ φ ( y ) = ∫ Q ( x , y ) — ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y d y

Так мы нашли искомую функцию U ( x , y ) = 0 .

Найдите для ДУ ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 общее решение.

P ( x , y ) = x 2 — y 2 , Q ( x , y ) = — 2 x y

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :

∂ P ∂ y = ∂ ( x 2 — y 2 ) ∂ y = — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( — 2 x y ) ∂ x = — 2 y

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.

Так как ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y является полным дифференциалом функции U ( x , y ) = 0 , то

∂ U ∂ x = x 2 — y 2 ∂ U ∂ y = — 2 x y

Интегрируем по x первое уравнение системы:

U ( x , y ) = ∫ ( x 2 — y 2 ) d x + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y )

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) ∂ y = — 2 x y + φ y ‘ ( y )

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = — 2 x y . Это значит, что
— 2 x y + φ y ‘ ( y ) = — 2 x y φ y ‘ ( y ) = 0 ⇒ φ ( y ) = ∫ 0 d x = C

где С – произвольная постоянная.

Получаем: U ( x , y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 — x y 2 + C = 0 .

Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки ( x 0 , y 0 ) до точки с переменными координатами ( x , y ) :

U ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y + C

В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

Найдите общее решение дифференциального уравнения ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = 0 .

Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :

∂ P ∂ y = ∂ ( y — y 2 ) ∂ y = 1 — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( x — 2 x y ) ∂ x = 1 — 2 y

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки ( 1 ; 1 ) до ( x , y ) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки ( 1 , 1 ) до ( x , 1 ) , а затем от точки ( x , 1 ) до ( x , y ) :

∫ ( 1 , 1 ) ( x , y ) y — y 2 d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ ( 1 , 1 ) ( x , 1 ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y + + ∫ ( x , 1 ) ( x , y ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ 1 x ( 1 — 1 2 ) d x + ∫ 1 y ( x — 2 x y ) d y = ( x y — x y 2 ) y 1 = = x y — x y 2 — ( x · 1 — x · 1 2 ) = x y — x y 2

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y — x y 2 + C = 0 .

Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Так как ∂ ( y · cos x ) ∂ y = cos x , ∂ ( sin 2 x ) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

Общий интеграл дифференциального уравнения

Определение и формула общего интеграла дифференциального уравнения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (1) — \(\ F\left(x, y, y^<\prime>\right)=0 \)

Общий интеграл дифференциального уравнения (1) называется равенством (2)- \(\ \Phi(x, y, C)=0 \)

Если мы дифференцируем равенство (2) по переменной \(\ \mathbf \), при условии, что (3) — \(\ y=y(x) : \frac<\partial \Phi><\partial x>+\frac<\partial \Phi> <\partial x>\cdot y^<\prime>=0 \)

и исключить константу \(\ \mathrm \) из уравнений (2), (3), то получим дифференциальное уравнение, эквивалентное уравнению (1).

В этом случае говорят, что уравнение (1) является дифференциальным уравнением семейства функций (2), зависящих от параметра C.

Примеры решения проблем

Покажите, что функция \(\ y^<2>-x^<2>-C y=0 \) является общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка \(\ y^<\prime>\left(x^<2>+y^<2>\right)-2 x y=0 \)

Продифференцируем данную неявную функцию \(\ y^<2>-x^<2>-C y=0 \) по переменной \(\ x \) (не забывая, что у — функция от \(\ \mathbf \), то есть \(\ y=y(x) \)

Из равенства \(\ y^<2>-x^<2>-C y=0 \) выражаем константу \(\ \mathrm \): \(\ C y=y^<2>-x^ <2>\Rightarrow C=\frac-x^<2>> \)

Замените полученную производную на заданное дифференциальное уравнение: \(\ \frac<2 x y>+y^<2>> \cdot\left(x^<2>+y^<2>\right)-2 x y=2 x y-2 x y \equiv 0 \)

Таким образом, мы заключаем, что неявно заданная функция \(\ y=y(x) \): \(\ y^<2>-x^<2>-C y=0 \) является общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравнения \(\ y^<\prime>\left(x^<2>+y^<2>\right)-2 x y=0 \)

Что и требовалось доказать

Частный интеграл дифференциального уравнения (1) является общим интегралом (2) этого уравнения для данного (известного) значения константы C.

Например: частичный интеграл для дифференциального уравнения из последнего примера — это функция \(\ y^<2>-x^<2>=0 \)

полученный из общего интеграла этого уравнения для значения \(\ C=0 \)

Please wait.

We are checking your browser. gufo.me

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6e0ce1156d0b3a56 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare