Решение нелинейных уравнений
Уравнения, в которых содержатся неизвестные функции, произведенные в степень больше единицы, называются нелинейными.
Например, y=ax+b – линейное уравнение, х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 – нелинейное (в общем виде записывается как F(x)=0).
Системой нелинейных уравнений считается одновременное решение нескольких нелинейных уравнений с одной или несколькими переменными.
Существует множество методов решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, которые принято относить в 3 группы: численные, графические и аналитические. Аналитические методы позволяют определить точные значения решения уравнений. Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений. Численное решение нелинейных уравнений предполагает прохождения двух этапов: отделение корня и его уточнение до определенно заданной точности.
Отделение корней осуществляется различными способами: графически, при помощи различных специализированных компьютерных программ и др.
Рассмотрим несколько методов уточнения корней с определенно заданной точностью.
Методы численного решения нелинейных уравнений
Метод половинного деления.
Суть метода половинного деления заключается в делении интервала [a,b] пополам (с=(a+b)/2) и отбрасывании той части интервала, в которой отсутствует корень, т.е. условие F(a)xF(b) 
Рис.1. Использование метода половинного деления при решении нелинейных уравнений.
Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e 0, то начала отрезка a переносится в x (a=x), иначе, конец отрезка b переносится в точку x (b=x). Полученный отрезок делим опять пополам и т.д. Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.
Рис.2. Таблица результатов вычислений
В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946
При использовании метода хорд, задается отрезок [a,b], в котором есть только один корень с установленной точностью e. Через точки в отрезке a и b, которые имеют координаты (x(F(a);y(F(b)), проводится линия (хорда). Далее определяются точки пересечения этой линии с осью абсцисс (точка z).
Если F(a)xF(z) 
Рис.3. Использование метода хорд при решении нелинейных уравнений.
Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e 0;
Определим вторую производную F’’(x) = 6x-0,4.
F’’(-1)=-6,4 0 соблюдается, поэтому для определения корня уравнения воспользуемся формулой:
, где x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2
Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.
Рис.4. Таблица результатов вычислений
В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946
Метод касательных (Ньютона)
Данный метод основывается на построении касательных к графику, которые проводятся на одном из концов интервала [a,b]. В точке пересечения с осью X (z1) строится новая касательная. Данная процедура продолжается до тех пор, пока полученное значение не будет сравним с нужным параметром точности e (F(zi) 
Рис.5. Использование метода касательных (Ньютона) при решении нелинейных уравнений.
Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e 0 выполняется, поэтому расчеты производим по формуле:
Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.
Рис.6. Таблица результатов вычислений
В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Нелинейные уравнения и системы уравнений. Методы их решения.
Нелинейные уравнения и системы уравнений. Методы их решения.
Одной из важных задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований.
Под нелинейными уравнениями ( nonlinear equations ) понимаются алгебраические и трансцендентные уравнения с одним неизвестным в следующем виде:
,
где 
— действительное число, 
— нелинейная функция.
Под системой нелинейных уравнений понимается система алгебраических и трансцендентных уравнений в следующем виде:
где < 
> — действительные числа, < 
… 
> — нелинейные функции.
Алгебраическое уравнение — это уравнение содержащие только алгебраические функции, которое можно представить многочленом n ‐ ой степени с действительными коэффициентами (целые, рациональные, иррациональные) в следующем виде:
.
Трансцендентное уравнение – это уравнение содержащие в своем составе функции, которые являются не алгебраическими. Простейшими примерами таких функций служат показательная функция, тригонометрическая функция, логарифмическая функция и т.д.
Решением нелинейного уравнения (или системы нелинейных уравнений) называют совокупность (группа) чисел 
, которые, будучи подставлены на место неизвестных 
, обращают каждое уравнение (или систему уравнений) в тождество:
.
Для решения нелинейных уравнений (или систем нелинейных уравнений) существует несколько методов решения: графические, аналитические и численные методы.
Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений.
Аналитические методы (или прямые методы) позволяют определить точные значения решения уравнений. Данный метод позволяет записать корни в виде некоторого соотношения (формул). Подобные методы развиты для решения простейших тригонометрических, логарифмических, показательных, а также алгебраических уравнений. Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. В таких случаях обращаются к численным методам, позволяющим получить приближенное значение корня с любой заданной точностью 
.
Численные методы решения нелинейных уравнений – это итерационный процесс расчета, который состоит в последовательном уточнении начального приближения значений корней уравнения (системы уравнений). При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа:
— локализация (отделение) корней
› Под локализацией корней понимается процесс отыскания приближенного значения корня или нахождение таких отрезков, в пределах которых содержится единственное решение
› Под уточнением корней понимается процесс вычисления приближенных значений корней с заданной точностью по любому численному методу решения нелинейных уравнений.
Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно. В случае повторения итерационного процесса при изменении стартовых точек отсутствуют гарантии, что найдется новый корень уравнения, так как итерационный процесс может сойтись к найденному корню.
Для поиска других корней используется метод удаления корней. Данный метод основан на принципе создания новой функции 
путем деление основной функции на найденный корень уравнения:
.
Так, например, если 
— корень функции то, чтобы произвести удаление найденного корня и поиск оставшихся корней исходной функции необходимо создать функцию 
. Точка будет являться корнем функции 
на единицу меньшей кратности, чем , при этом все остальные корни у функций и 
совпадают с учетом кратности. Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни с учетом кратности.
Следует обратить внимание, что когда производим деление на тот или иной корень 
, то в действительности мы делим лишь на найденное приближение 
, и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции . Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз. Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.
Локализация корней.
› Локализация корней аналитическим способом
Для отделения корней уравнения необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке 
имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке. Если функция непрерывна на отрезке , а на концах отрезка её значения имеют разные знаки 
, то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень. Дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием знакопостоянства первой производной 
. Таким образом, если на отрезке функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень.
› Локализация корней табличным способом
Допустим, что все интересующие нас корни уравнения находятся на отрезке 
. Выбор этого отрезка (интервала поиска корней) может быть сделан, например, на основе анализа конкретной физической или иной задачи. Будем вычислять значения , начиная с точки 
, двигаясь вправо с некоторым шагом h . Как только обнаруживается пара соседних значений , имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргумента x можно считать границами отрезка, содержащего корень.
Надежность рассмотренного подхода к отделению корней уравнений зависит как от характера функции , так и от выбранной величины шага h. Действительно, если при достаточно малом значении h ( 
) на границах текущего отрезка 
функция принимает значения одного знака, то естественно ожидать, что уравнение 
корней на этом отрезке не имеет. Однако, это не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функции на отрезке могут оказаться корни уравнения (рис. 1, а). Также несколько корней на отрезке могут оказаться и при выполнении условия 
(рис. 1, б). Предвидя подобные ситуации, следует выбирать достаточно малые значения h .
Рис. 1. Варианты поведения функции на интервале локализации корня
Поскольку данный способ предполагает выполнение лишь элементарных арифметических и логических операций, количество которых может быть велико при малых значениях h , для его реализации целесообразно использовать вычислительные возможности компьютера.
Отделяя, таким образом, корни, мы, по сути, получаем их приближенные значения с точностью до выбранного шага. Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска ( h /2). Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений. Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.
Уточнение корней.
На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку , с заданной точностью (погрешностью) e . Это означает, что вычисленное значение корня 
должно отличаться от точного 
не более чем на величину e :
Существует большое количество численных методов решения нелинейных уравнений для уточнения корней, которые условно можно разделить:
› Методы решение уравнений с одним неизвестным. Основными представителями являются:
— метод половинного деления;
— метод простой итерации;
— метод Ньютона для уравнения с одним неизвестным;
Что является решением нелинейного уравнения
Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;. ∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.
- Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения. Структограмма метода приведена на рисунке.
- Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(xi) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных
. Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее. - Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Первое приближение решения x1 находим из выражения x1=f(x0), второе — x2=f(x1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)| ε
Рис. Структограмма для метода итераций
Контрольное задание. Лабораторная работа 4.
Решение нелинейных уравнений.
Задание. Решить нелинейное уравнениеуказанными в табл. методами, предварительно определив интервал [a,b], на котором существует решение уравнения. Сделать проверку решения.
Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице.
источники:http://simenergy.ru/math-analysis/solution-methods/40-nle-intro
http://toehelp.ru/theory/informat/lecture12.html
(получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x0)∙F»(x0)>0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.
. Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.