Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cosx, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Если \(\cosx=0\), то \(\sinx=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).
Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cosx\)
Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cosx\), была сделана проверка — является ли \(\cosx=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .
Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми. Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).
Получился классический вид однородного уравнения. Поделим уравнение на \(4^\) . Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.
Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.
Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.
Как определить однородное уравнение
Дифференциальное уравнение 1-го порядка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции одинакового измерения, то есть
Как определить, что дифференциальное уравнение — однородное? На практике проверку уравнения на однородность проводят следующим образом: вместо каждого x подставляют λx, вместо каждого y — λy. При этом y’, dx и dy не трогают. После этого упрощают уравнение. Если после упрощения удается сократить на λ (или n- ю степень λ) и получить исходное уравнение, то это и означает, что данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка.
Другая форма записи: y’=f(x;y). Это уравнение является однородным, если функция f(x;y) является однородной функцией нулевого порядка. Это означает, что f(λx;λy)=f(x;y).
Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:
Выносим лямбда в квадрате за скобки и сокращаем на него:
Пришли к исходному уравнению, а это значит, что данное уравнение — однородное.
2) (x-y)ydx-x²dy=0.
Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy: (λx-λy)λydx-(λx)²dy=0. Теперь выносим общий множитель λ² за скобки: λ²((x-y)ydx-x²dy)=0. Делим обе части уравнения на λ²:
(x-y)ydx-x²dy=0. Пришли к исходному уравнению, значит, это уравнение — однородное. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 2й степени).
Наличие дроби y/x уже косвенно указывает на то, что уравнение может быть однородным. Проверим, так ли это:
После сокращения на λ получаем исходное уравнение:
а это значит, что данное уравнение является однородным.
Подставляем вместо каждого x λx, вместо каждого y — λy:
Делим обе части уравнения на лямбда в 4й степени:
Получили исходное уравнение, а значит, оно является однородным. (Здесь P(x;y) и Q(x;y) — однородные функции 4й степени).
Однородные уравнения
Разделы: Математика
Цели занятия:
образовательные: – научиться распознавать однородные уравнения, отработать метод решения однородных уравнений.
развивающие: – развивать логическое мышление, навыки самостоятельной работы и самоконтроля.
воспитательные: – развивать познавательный интерес к предмету, творческие способности обучающихся.
Материал для лекции.
Определение: Многочлен называется однородным, если
Многочлен от двух переменных называют однородным многочленом степени k, если все его одночлены имеют степень k.
Например: = – однородный многочлен второй степени, а – однородный многочлен третьей степени.
Определение: Уравнение вида называется однородным уравнением степени k относительно , если – однородный многочлен степени k.
Понятие однородности распространяется и на уравнения с большим числом неизвестных.
Например: – однородное уравнение третьей степени относительно неизвестных
Однородное уравнение относительно и делением на (если не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного . Это свойство однородности облегчает процесс решения.