Что значит решить уравнение в натуральных числах

Неопределённые уравнения в натуральных числах

Неопределённые уравнения в натуральных числах.

ГУО”Речицкий Районный Лицей”

1.Решение уравнений методом разложения на множители…………4

2.Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)…………………………………………………………………….11

3.Метод остатков. 13

4.Метод «бесконечного спуска». 15

Я — Слава учусь в Речицком Районном Лицее, учащийся 10 класса.

Всё начинается с идеи! Мне предложили решить уравнение с тремя неизвестными 29х+30у+31 z =366. Теперь я это уравнение расцениваю как задачу – шутку, а в первый раз поломала голову. Для меня это уравнение стало своего рода неопределенным, как его решать, каким способом.

Под неопределёнными уравнениями мы должны понимаем, что это уравнения, содержащие более одного неизвестного. Обычно, люди, которые решают эти уравнения, ищут решения в целых числах.

Решение неопределённых уравнений – это очень увлекательное и познавательное занятие, способствующее формированию у учащихся сообразительности, наблюдательности, внимательности, так же развитию памяти и ориентации, умению логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать. Общей методики я пока не нашла, но об некоторых приёмах решения таких уравнений в натуральных числах сейчас я вам расскажу.

Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи предлагаются на олимпиадах и на централизованном тестировании. Это меня заинтересовало и увлекло настолько, что решая разные уравнения и задачи, у меня собралась целая коллекция собственных решений, которые с учителем мы разбили по методам и способам решения. И так какая же моя цель работы?

Моя цель разобрать решения уравнений с несколькими переменными на множестве натуральных чисел.

Для начала мы рассмотрим практические задачи, а после перейдем к решению уравнений.

Какова длина сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?

S = ху, х€ N и у€ N

2х+2у=ху, + =

+ =

Найти способы уплаты 47 рублей, если для этого можно использовать только трёх и пятирублевые купюры.

х=1 – 3К, у= 14+5К, К€ Z

Натуральные значения х и у соответствуют К= 0, -1, -2;

Докажите, что существует решение уравнения 29х+30у+31 z =336 в натуральных числах.

В високосном году 366 дней и один месяц – 29 дней, четыре месяца — 30 дней,

7 месяцев – 31 день.

Решением является тройка (1:4:7). Это означает, что существует решение уравнения в натуральных числах.

1. Решение уравнений методом разложения на множители

1) Решите уравнение х2-у2=91 в натуральных числах

Решение 8 систем

х-у=1

х-у=91

х-у=13

х-у =7

х-у= -1

х-у = -91

х-у = -13

х-у = -7

2) Решите уравнение х3+91 =у3 в натуральных числах

Решение 8 систем

у-х=1

у-х= 91

не имеет решений в целых числах

у-х=13

не имеет решений в целых числах

Остальные 4 системы не имеют решений в целых числах. Условию удовлетворяет одно решение.

3) Решить уравнение ху=х+у в натуральных числах

Решение 2 системы

у-1= -1

у-1=1

4) Решить уравнение 2х2+5ху-12у2=28 в натуральных числах

х;у – натуральные числа; (х+4у)€ N

2х-3у=1

2х-3у =4

нет решений в натуральных числах

нет решений в натуральных числах

5) Решить уравнение 2ху= х2+2у в натуральных числах

х-2у+1= -1

(2:2)

нет решений в натуральных числах

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2 z +4=0

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2 z +6-2=0

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2( z -3)=2

Решение 6 систем

z -3= 1

z-3= -1

z-3= 1

z-3=2

z-3= -1

z -3=2

Рассмотрим более сложное для меня уравнение.

7) Решить уравнение х2-4ху-5у2=1996 в натуральных числах

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

х€ N , у€ N ; (х+у)€ N ; (х+у)>1

х-5у=1

х-5у=499

х-5у=4

нет решений

х-5у=988

Сделаем вывод: при решении уравнений методом разложения на множители применяются формулы сокращенного умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.

2. Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)

1)Решить уравнение 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0 в натуральных числах

Д= (8у – 2)2 – 4*5*(5у2+2у+2)= 4((4у – 1)2 –5*(5у2+2у+2))

х1,2= =

Д=0, =0

Ответ: решений нет.

2) Решить уравнение 3(х2+ху+у2)=х+8у в натуральных числах

≤у≤

у€ N , у=1, 2, 3.Перебирая эти значения, имеем (1:1).

3)Решите уравнение х4-у4-20х2+28у2=107 в натуральных числах

Вводим замену : х2=а, у2=а;

а1,2=-10± +96

а1,2=10± = 10± = 10±(а-14)

Уравнение имеет вид:

х2-у2+4=1

нет решений в натуральных числах;

х2 — у2+4= -1

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

х2+у2 – 24= -1 нет решений в натуральных и целых числах Ответ: (4:3),(2:3).

При решении уравнений методом остатков очень часто используют задачи:

А) Какие остатки могут давать при делении на 3и 4?

Всё очень просто, при делении на 3 или 4 точные квадраты могут давать два возможных остатка: 0 или 1.

Б) Какие остатки могут давать точные кубы при делении на 7 и 9?

При делении на 7 могут давать остатки: 0, 1, 6; а при делении на 9: 0, 1, 8.

1) Решить уравнение х2+у2=4 z -1 в натуральных числах

Рассмотрим, какие остатки могут давать при делении на 4 левая и правая части этого уравнения. При делении на 4 точные квадраты могут давать только два различных остатка 0 и 1. Тогда х2+у2+1 при делении на 4 дают остатки 1, 2, 3, а 4 z делится без остатка.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

2) Решите уравнение 1!+2!+3!+ …+х!= у2в натуральных числах

a) Х=1, 1!=1, тогда у2=1, у=±1 (1:1)

b) х=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, то есть у2= 9, у=±3 (3:3)

c) х=2, 1!+2!= 1+2= 3, у2=3, то есть у=±

d) х=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, х=4 (нет), у2=33

e) х≥5, 5!+6!+…+х!, представим 10 n , n € N

Число, оканчивающееся цифрой 3, означает, что оно не может быть квадратом целого числа. Следовательно, х≥5, не имеет решений в натуральных числах.

3) Доказать, что нет решений в натуральных числах

Предположим, что система разрешима z 2 =2у2+1, z 2 – нечётное число

y 2 +2 m 2 +2 m , у2 – чётное число, у = 2 n , n € N

х2=8 n 3 +7, то есть х2 – нечётное число и х нечётное, х = 2 r +1, n € N

Подставим х и у в первое уравнение,

2( r 2 + r -2 n 3 )=3

Не возможно, так как левая часть уравнения делится на два, а правая не делится, значит, наше предположение не верно, то есть система не имеет решений в натуральных числах.

4. Метод бесконечного спуска

Решаем по следующей схеме:

Предположим, что уравнение имеет решение, мы строим некий бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чётном шаге закончиться.

1) Докажите, что уравнение 8х4+4у4+2 z 4 = t 4 не имеет решений в натуральных числах

Допустим, что уравнение имеет решение в целых числах, тогда следует, что

t 4 – чётное число, тогда t – тоже чётное

8х4+4у4+2 z 4 = 16t14

4х4+2у4+ z 4 = 8t14

z 4 =8t14 — 4х4 — 2у4

z 4 – чётное, тогда z =2 z 1 , z 1 € Z

4х4+2у4+16 z 4 =8t14

у4= 4t14 – 2х4 — 8 z 1 4

х – чётное, то есть х=2х, х1€ Z , тогда

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8х14+4у14+2 z 1 4 = t 1 4

И так х, у, z , t – чётные числа, тогда х1, у1, z 1 , t 1 – чётные. Тогда х, у, z , t и х1, у1, z 1 , t 1 делятся на 2, то есть , , , и , , , .

Итак, оказалось, что число, удовлетворяет уравнение; кратны 2, и сколько раз мы не делили бы их на 2, всегда будем получать числа, кратные 2. Единственное число, удовлетворяет этому условию – нуль. Но нуль не принадлежит множеству натуральных чисел.

1) Найти решения уравнения + =

=

Решение 6 систем

у-р= р

у=2р, х=2р

у=0, х=0

у=1+р, х=1+р

у-р= р2

у-р= — р2

Обычно решения неопределённых уравнений ищут в целых числах. Уравнения, в которых ищут только целочисленные решения, называют диафантовыми.

Я разобрал решения уравнений с числом неизвестных больше одного, на множестве натуральных чисел. Такие уравнения настолько разнообразны, что вряд ли существует какой-либо способ, алгоритм их решения. Решение таких уравнений требует изобретательность и способствует приобретению навыков самостоятельной работы в математики.

Я решал примеры простейшими приёмами. Простейшим приём решений таких уравнений в том, чтобы выразить одну переменную через остальные, и получится выражение, которое мы будем исследовать, с целью нахождения этих переменных, при которых оно является натуральным (целым).

При этом, используется понятия и факты, связанные делимостью, — такие, как простые и составные числа, признаки делимости, взаимно простые числа и др.

Особенно часто применяются:

1) Если произведение делится на простое число р, то хотя бы один из его сомножителей делится на р.

2) Если произведение делится на некоторое число с и один из сомножителей взаимно простое с числом с, то второй множитель делится на с.

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x1, y1, z1, u1 нечётны, то x1 2 + y1 2 + z1 2 + u1 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x1 2 + y1 2 + z1 2 + u1 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х5 = 5, х6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Мерзляк 5 класс — § 10. Уравнение

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют корнем (решением) уравнения? — Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

2. Что значит решить уравнение? — Это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.

3. Как найти неизвестное слагаемое? — Надо из суммы вычесть известное слагаемое.

4. Как найти неизвестное уменьшаемое? — Надо к разности прибавить вычитаемое.

5. Как найти неизвестное вычитаемое? — Надо из вычитаемого вычесть разность.

Решаем устно

1. Найдите значение выражения 53 + х:

1. если х = 29, то 53 + х = 53 + 29 = 82

2. если х = 61, то 53 + х = 53 + 61 = 114

2. Найдите значение выражения 12y:

1. если: у = 7, то 12y = 12 • 7 = 84

2. если: у = 20, то 12y = 12 • 20 = 240

3. Найдите по формуле пути s = 50t расстояние (в метрах), которое проходит Петя:

1) за 4 мин: s = 50t = 50 • 4 = 200 метров

2) за 10 мин: s = 50t = 50 • 10 = 500 метров

Что означает числовой множитель в этой формуле? Числовой множитель 50 обозначает скорость движения Пети (м/мин).

4. Число а на 10 больше, чем число b. В виде каких из следующих равенств это можно записать:

  1. а + b = 10 — нельзя записать
  2. а — b = 10 — можно записать
  3. b — а = 10 — нельзя записать
  4. а — 10 = b — можно записать
  5. b + 10 = а — можно записать

Ответ: можно записать в виде равенств: а — b = 10; а — 10 = b; b + 10 = а.

5. Найдите все натуральные значения а, при которых выражение 20 : а принимает натуральные значения.

  • если а = 1, то 20 : 1 = 20 — натуральное число
  • если а = 2, то 20 : 2 = 10 — натуральное число
  • если а = 4, то 20 : 4 = 5 — натуральное число
  • если а = 5, то 20 : 5 = 4 — натуральное число
  • если а = 10, то 20 : 10 = 2 — натуральное число
  • если а = 20, то 20 : 20 = 1 — натуральное число

Ответ: при а = 1, 2, 4, 5 , 10 или 20.

6. На одну чашу весов поставили несколько гирь по 2 кг, а на другую — по 3 кг, после чего весы пришли в равновесие. Сколько поставили гирь каждого вида, если всего их поставили 10?

На одну чашу весов надо поставить 6 гирь по 2 кг, а на другую — 4 гири по 3 кг.

Для решения использовано 10 гирь.

Упражнения

267. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) х + 16 = 28

  • если х = 3, то 3 + 16 = 19. Так как 19 ≠ 28, то число 3 не является корнем уравнения;
  • если х = 12, то 12 + 16 = 28. Так как 28 = 28, то число 12 является корнем уравнения;
  • если х = 14, то 14 + 16 = 30. Так как 30 ≠ 28, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 12.

2) 4х — 5 = 7

  • если х = 3, то 4 • 3 — 5 = 12 — 5 = 7. Так как 7 = 7, то число 3 является корнем уравнения;
  • если х = 12, то 4 • 12 — 5 = 48 — 5 = 43. Так как 43 ≠ 7, то число 12 не является корнем уравнения;
  • если х = 14, то 4 • 14 — 5 = 56 — 5 = 51. Так как 51 ≠ 7, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 3.

268. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) 234 — y = 220

  • если y = 3, то 234 — 3 = 231. Так как 231 ≠ 220, то число 3 не является корнем уравнения;
  • если y = 12, то 234 — 12 = 222. Так как 222 ≠ 220, то число 12 не является корнем уравнения;
  • если y = 14, то 234 — 14 = 220. Так как 220 = 220, то число 14 является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 14.

2) 72 : b + 13 = 19

  • если b = 3, то 72: 3 + 13 = 24 + 13 = 37. Так как 37 ≠ 19, то число 3 не является корнем уравнения;
  • если b = 12, то 72 : 12 + 13 = 6 + 13 = 19. Так как 19 = 19, то число 12 является корнем уравнения;
  • если b = 12, то 72 : 12 + 13 = 5 + 13 = 18 . Так как 18 ≠ 19, то число 14 не является корнем уравнения.

Ответ: корнем уравнения является число 12.

269. Решите уравнение:

270. Решите уравнение:

271. Решите уравнение:

272. Решите уравнение:

273. Решите с помощью уравнения задачу.

1) Оксана задумала число. Если к этому числу прибавить 43 и полученную сумму вычесть из числа 96, то получим число 25. Какое число задумала Оксана?

Пусть задуманное Оксаной число равно x. Тогда можно составить уравнение:

96 — (х + 43) = 25
х + 43 = 96 — 25
х + 43 = 71
х = 71 — 43
х = 28

Ответ: Оксана задумала число 28.

2) У Буратино было 74 сольдо. После того как он купил себе учебники для школы, папа Карло дал ему 25 сольдо. Тогда у Буратино стало 68 сольдо. Сколько сольдо потратил Буратино на учебники?

Пусть Буратино потратил на учебники х сольдо. Тогда можно составить уравнение:

(74 — х) + 25 = 68
74 — х = 68 — 25
74 — х = 43
х = 74 — 43
х = 31

Ответ: Буратино потратил на учебники х сольдо.

274. Решите с помощью уравнения задачу.

Ваня задумал число. Если к этому числу прибавить 27 и из полученной суммы вычесть 14, то получим число 36. Какое число задумал Ваня?

Пусть задуманное Ваней число равно х. Тогда можно составить уравнение:

(х + 27) — 14 = 36
х + 27 = 36 + 14
х + 27 = 50
х = 50 — 27
х = 23

Ответ: Ваня задумал число 23.

275. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (x + а) — 7 = 42 было число 22

Подставим вместо х число 22 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(22 + а) — 7 = 42
22 + а = 42 + 7
22 + а = 49
а = 49 — 22
а = 27

Ответ: вместо а надо подставить число 27.

2) (а — x) + 4 = 15 было число 3

Подставим вместо х число 3 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(а — 3) + 4 = 15
а — 3 = 15 — 4
а — 3 = 11
а = 11 + 3
а = 14

Ответ: вместо а надо подставить число 14.

276. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:

1) (х — 7) + а = 23 было число 9

Подставим вместо х число 9 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(9 — 7) + а = 23
2 + а = 23
а = 23 — 2
а = 21

Ответ: вместо а надо подставить число 21.

2) (11 + х) + 101 = а было число 5

Подставим вместо х число 5 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:

(11 + 5) + 101 = а
16 + 101 = а
117 = а
а = 117

Ответ: вместо а надо подставить число 117.

Упражнения для повторения

277. Лиза была в школе с 8 ч 15 мин до 15 ч 20 мин. Вечером она пошла на тренировку. Там она провела на 5 ч 40 мин меньше времени, чем в школе. Сколько времени Лиза была на тренировке?

1) 15 ч 20 мин — 8 ч 15 мин = 7 ч 5 мин — Лиза провела в школе.

2) 7 ч 5 мин — 5 ч 40 мин = 6 ч 65 мин — 5 ч 40 мин = 1ч 25 мин — Лиа провела на тренировке.

Ответ: 1 ч 25 мин.

278. Начертите отрезок длиной 12 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 480. Поделите отрезок на шесть равных частей. Отметьте на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420.

279. Можно ли, имея 900 р., купить 3 кг бананов по 65 р. за 1 кг, 2 кг мандаринов по 130 р. за 1 кг и 4 кг апельсинов по 95 р. за 1 кг?

Посчитаем общую стоимость предполагаемой покупки:

1) 65 • 3 = 195 (рублей) — потребуется на покупку бананов.

2) 130 • 2 = 260 (рублей) — потребуется на покупку мандаринов.

3) 95 • 4 = 380 (рублей) — потребуется на покупку апельсинов.

4) 195 + 260 + 380 = 835 (рублей) — будет стоить весь набор продуктов.

Сравним предполагаемую стоимость покупки с имеющейся суммой денег:

Значит купить все эти продукты на 900 рублей можно.

Задача от мудрой совы

280. В трёх ящичках лежат шары: в первом ящичке — два белых, во втором — два чёрных, в третьем — белый и чёрный. На ящички наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждого из них не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, что в каком ящичке лежит?

Этикетки на ящиках не соответствуют их содержимому. Значит в ящике БЧ не может лежать два разноцветных шарика. Там будет либо 2 белых шарика, либо два чёрных шарика. Вытащим один шар из ящика с этикеткой БЧ:

  • если вытащен белый шар, то значит в ящике:
    • БЧ — 2 белых шара;
    • ББ — 2 чёрных шара;
    • ЧЧ — 1 белый и 1 чёрный шар.
  • если вытащен чёрный шар, то значит в ящике:
    • БЧ — 2 чёрных шара;
    • ББ — 1 белый и 1 чёрный шар;
    • ЧЧ — 2 белых шара.

Ответ: надо вытащить шар из ящика с надписью БЧ.


источники:

http://math4school.ru/uravnenija_v_celih_chislah.html

http://matem1234.ru/uc-merzlak-5-10/

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут