ГДЗ учебник по математике 3 класс Моро. Часть 1. Страница 22. Номер №3
Реши уравнения, подбирая значения x.
12 + x = 13 ;
14 : x = 2 ;
6 * x = 18 .
Решение
12 + x = 13
Пусть x = 0, тогда 12 + x = 12 + 0 = 12, значит x ≠ 0 ;
Пусть x = 1, тогда 12 + x = 12 + 1 = 13, значит x = 1 .
14 : x = 2
Пусть x = 0, тогда 14 : x = 14 : 0, значит x ≠ 0, так как делить на 0 нельзя;
Пусть x = 1, тогда 14 : x = 14 : 1 = 14, значит x ≠ 1 ;
Пусть x = 2, тогда 14 : x = 14 : 2 = 7, значит x ≠ 2 ;
Пусть x = 3, тогда 14 : x = 14 : 3 = 4 (остаток 2 ), значит x ≠ 3 ;
Пусть x = 4, тогда 14 : x = 14 : 4 = 3 (остаток 2 ), значит x ≠ 4 ;
Пусть x = 5, тогда 14 : x = 14 : 5 = 2 (остаток 4 ), значит x ≠ 5 ;
Пусть x = 6, тогда 14 : x = 14 : 6 = 2 (остаток 2 ), значит x ≠ 6 ;
Пусть x = 7, тогда 14 : x = 14 : 7 = 14, значит x = 7 .
6 * x = 18
Пусть x = 0, тогда 6 * x = 6 * 0 = 0, значит x ≠ 0 ;
Пусть x = 1, тогда 6 * x = 6 * 1 = 6, значит x ≠ 1 ;
Пусть x = 2, тогда 6 * x = 6 * 2 = 12, значит x ≠ 2 ;
Пусть x = 3, тогда 6 * x = 6 * 3 = 18, значит x = 3 .
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика, 2 класс
Урок №26. Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое уравнение, корень уравнения?
— Как решить уравнение?
Глоссарий по теме:
Уравнение – равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
Корень уравнения – это значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство.
Решить уравнение, значит найти его корни.
Основная и дополнительная литература по теме урока
1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1.– 8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – С. 80-81.
2. Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – С. 60.
3. Моро М. И., Волкова С. И. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – С. 60.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Вы умеете читать буквенные выражения. Например:
Вы уже знаете, что равенства бывают верные и неверные.
Рассмотрим верное равенство с окошком: + 4 = 12
Запишем вместо окошка маленькую латинскую букву , как в буквенное выражение. Какое число надо поместить вместо буквы х, чтобы равенство стало верным?
Это число 8. Получили верное равенство: сумма чисел 8 и 4 равна 12.
Равенство с буквой , которое мы записали – это уравнение.
Неизвестное число обозначается маленькими латинскими буквами, как и в буквенном выражении.
Решить уравнение – значит найти все такие значения х (если они есть), при которых равенство будет верным. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство, называется корень уравнения.
Решим уравнение 10 – d = 6 способом подбора.
Возьмём число 5. Сейчас проверим, верно ли подобрали число. Заменим d в уравнении числом 5. Получим равенство: 10 – 5 = 6. Оно неверно. Значит, число подобрали неверно.
Попробуем взять другое число. Например, 4. При подстановке его вместо d получили верное равенство: 10 – 4 = 6. Значит, число четыре – корень уравнения, его решение.
Сейчас мы с вами рассмотрим, как по схеме составить уравнение. Перед нами такая схема. Изучим, что обозначает каждое число в схеме. Число 27 обозначает «целое». Оно состоит из двух частей. Первая «часть» – это число 20, вторая «часть» – это число х.
ЧАСТЬ + ЧАСТЬ = ЦЕЛОЕ
Рассмотрим другой пример. Перед вами другая схема. Изучим, где на схеме целое, а где части: х — это «целое», а 30 и 6 – это части.
Вывод: Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Когда решение уравнения находится легко, пользуются способом подбора. Нужно подобрать такое число, чтобы получилось верное равенство.
- Соедините уравнение с его решением.
2. Выберите и подчеркните среди математических записей уравнения.
Что значит решить уравнения подбирая значения х
Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени ? Оказы вается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.
Решите уравнение: `x^3 +4x^2 — 2x-3=0`.
Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:
`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`
Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравне ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.
Если несократимая дробь `p//q` (`p` — целое, `q` — натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами , то сво бодный член делится на `p` , а старший коэффициент делится на `q`.
Пусть несократимая дробь `p//q` — корень многочлена (8). Это означает, что
`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ . «+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.
Умножим обе части на `q^n`, получаем:
`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + . + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.
Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:
Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.
Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.
Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.
а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)
б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)
а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` — корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:
Поэтому `p` может принимать значения:
Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:
Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:
1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.
2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.
б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in<+-1;+-2;+-5;+-10>`; `qin<1;2;3;6>`.Возможные варианты для `x_0`:
Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем
Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` — корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:
Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.
К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.
Разложите на множители:
а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`
Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:
в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:
Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:
В итоге получаем:
Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).
г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению
Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.
Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть
Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:
Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:
Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.
Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:
2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:
Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.
Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому
Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.
Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.
http://resh.edu.ru/subject/lesson/5674/conspect/
http://zftsh.online/articles/5013