Что значит угадать корень уравнения 5 класс

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня — 2 , 1 и 5 , то пишем — 2 , 1 , 5 или < - 2 , 1 , 5 >.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅ (-9) =2⋅ (-9) -5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

1. Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
2. Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
3. Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
4. В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Урок математики по теме «Уравнение». 5-й класс

Класс: 5

Презентация к уроку

Цель урока:обобщить имеющиеся знания учащихся при решении уравнений и проверить уровень усвоения материала.

Задачи урока:

• Образовательные: повторение, обобщение и систематизация пройденного материала, контроль усвоения знаний, умений и навыков по решению уравнений.
• Развивающие: развитие интереса к предмету, повышение познавательной активности учащихся на уроках математики; развитие логического мышления, речи, памяти.
• Воспитательные: воспитание активности, умения общаться, аккуратности, самостоятельности и взаимопомощи.

Учебно-методическое обеспечение: Учебник математики 5-й класс, авторы: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.

Время реализации урока: 40 минут.

Авторский медиапродукт:

• среда – Microsoft Office PowerPoint (наглядная презентация учебного материала),
• среда – Microsoft Office Excel (тест).

Необходимое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, колонки.

План проведения урока:

Этапы урока

Временная реализация (мин)1. Организационный момент

12. Актуализация опорных знаний

43. Дидактическая игра «Буратино»

54. Математический диктант

55. Тест, выполненный в среде Microsoft Office Excel

66. Математическая игра «Реши уравнение»

87. Физкультминутка

28. Самостоятельная работа

69. Подведение итогов урока

210. Домашнее задание

Ход урока

УУДI. Организационный момент

Раздать оценочные листы учета знаний, листы с рефлексией и вопросы по теме «Уравнения» (Приложение 1). Объявляется цель урока (слайды 1-3).

II. Актуализация опорных знаний

Взаимоопрос в парах (ученики отвечают друг другу на вопросы, выданные в начале урока).

Вопросы:

1. Какое равенство называется уравнением?
2. Какое число называется корнем уравнения?
3. Что, значит, решить уравнение?
4. Сколько корней имеет уравнение? (приведите примеры).
5. Как проверить, верно, ли решено уравнение?
6. Как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое, делитель?

(Ученики ставят оценку за ответы в оценочный лист знаний друг другу).

Устный счет:

Задание 1: угадайте корень уравнения (Слайд 4). Ученики угадывают корни уравнения, и ответы появляются на экране по щелчку мышки.

Задание 2: найдите ошибку в решении уравнения. (Слайды 5-6)

На экране появляется уравнения, а ребята находят ошибку и исправляют её (Объясняют свой ответ).

Задание 3: Перед вами записаны уравнения, числа и буквы. Вам надо решить устно уравнения, среди чисел найти верный ответ и в черновик записать рядом стоящую букву (Слайд 7).

а) х + 17 = 60; д) 59 + х = 59;
б) у – 51 =60; е) 88 – х = 78;
в) 60 = у + 51; ж) х – 0 = 82;
г) 62 = 100 – у; з) 0 + х = 24.

111; 10; 43; 9; 0; 82; 38; 77; 24.
о ц м л д ы о р !

– Молодцы! Кто правильно решил, тот получил слово – молодцы! Поднимите руки, у кого все решения верные (Слайд 8).

III. Дидактическая игра «Буратино»

Учитель: Я думаю, что мы показали, как умеем ловко, быстро и правильно считать. А сейчас поиграем в интересную игру «Буратино». А знаете ли вы, что Буратино получил золотой ключик после того, как выполнил задания черепахи Тортилы? Выполните и вы эти задания.
Для этого надо подняться вверх по лестнице, но при этом правильно решить уравнение, написанное на каждой ступеньке.
Ребята решают уравнения на доске и в тетрадях (при необходимости выполняют проверку устно). Затем проверяем решения, они проецируются через проектор на экран. (Слайды 9-11).

(Ученики ставят оценку за ответы в оценочный лист знаний друг другу).

IV. Математический диктант

– Лес, как вы знаете, поглощает углекислый газ и выделяет кислород необходимый человеку. Лес еще работает как фильтр, очищая воздух от сажи и пыли. В таблице (Слайды 12-13) приведены данные о количестве (кг) выделяемого кислорода в год. Используя данные таблицы, выполните следующие задания.

Кол-во выделяемого кислорода в год ( кг )Дубовый лес

830Березовый лес

725Осиновый лес

575Сосновый лес

540Еловый лес

1. На сколько наибольшее число больше наименьшего числа?
2. Найти сумму чисел, которые оканчиваются цифрой 5.
3. Уменьшаемое – сосновый лес, разность – еловый лес. Найти вычитаемое.
4. Первое слагаемое – еловый лес, сумма – березовый лес. Найти неизвестное слагаемое.
5. Вычитаемое – осиновый лес. Разность – сосновый лес. Найти уменьшаемое.

Проверь себя! (Слайд 14)

1. 830 – 500 = 330
2. 725 + 575 = 1300
3. 540 – х = 500, х = 40
4. 500 + х = 725, х = 225
5. х – 575 = 540, х = 1115

(Ученики ставят оценку за ответы в оценочный лист знаний друг другу).

V. Тест, выполненный в среде Microsoft Office Excel

Ученики садятся за компьютеры и выполняют тест по теме «Уравнение» в среде Microsoft Office Excel (Приложение 2).
(Ученики ставят оценку за ответы в оценочный лист знаний друг другу).

VI. Математическая игра «Реши уравнение» (Слайды 15-24).

VII. Физкультминутка (Слайд 25).

VIII. Самостоятельная работа.

1. Решите уравнения:

а) 138 + х + 57 = 218
б) 248 – (у + 123 ) = 24
в) (24 – х) + 37 = 49.

2. Угадайте корень уравнения и сделайте проверку: х + 3 = 9 – х.Вариант 2. С-9

1. Решите уравнения:

а) 257 – х + 124 = 149
б) 165 – (у + 112) = 37
в) 44 + (а – 85) = 105

2. Угадайте корень уравнения и сделайте проверку: 8 – у = у + 2.Вариант 3. С-9

1. Решите уравнения:

а) 175 + х – 37 = 108
б) 243 – (у + 83) = 112
в) 69 + (87 – n) = 103

2. Угадайте корень уравнения и сделайте проверку: х + 7 = 11 – х.Вариант 4. С-9

1. Решить уравнения:

а) (х + 124) – 76 = 357
б) 375 – у + 218 = 123
в) (t – 27) + 34 = 53

2. Угадайте корень уравнения и сделайте проверку: 7 – у = у + 1

IX. Подведение итогов урока (слайд 26)

Ученики выставляют баллы в оценочные листы.

– Как вы считаете, кто из вас работал в полную силу своих возможностей, чувствовал себя уверенно?
– А кто из вас работал хорошо, но не полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно?
– А у кого из вас не было желания работать, то есть сегодня не ваш день?
– А сейчас я попрошу вас заполнить листы с рефлексией.

X. Домашнее задание (слайды 27-28)

Составить задачу со сказочными персонажами на уравнение и решить ее.Анализ;
выбор оснований и критериев для сравнения;
умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме;
анализ с целью выделения существенных признаков

Поиск и выделение необходимой информации;
анализ с целью выделения существенных признаков;
выбор оснований и критериев для сравнения;
умение обосновывать собственное мнение

Оценка (осознание качества и уровня усвоения);
структурирование знаний.

Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;
коррекция.

Контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
структурирование знаний;
выбор эффективных способов решения задачи в зависимости от конкретных условий.
построение логической цепи рассуждений.

Самостоятельное создание алгоритмов деятельности
при решении проблем,
поиск и выделение необходимой информации.

Оценка (осознание качества и уровня усвоения);
структурирование знаний.

Анализ деятельности; выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, осмысление полученных знаний.

Список использованной литературы:

1. Гусева И. Л., Пушкин С. А., Рыбакова Н. В. Тестовые материалы для оценки качества обучения. Математика. 5 класс, М: Интеллект-центр, 2012.
2. Ерина Т. М. Рабочая тетрадь по математике к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 5 класс», М.: Экзамен, 2013.
3. Попов М. А. Дидактические материалы к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 5 класс», М.: Экзамен, 2013.