Предел функции.
Предел функции – число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.
Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x0, если для всякой последовательности точек из области определения функции, не равных x0, и которая сходится к точке x0 (lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.
График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L:
Предел функции по Гейне.
Значение А является пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x0 в случае, если для всякой последовательности точек , которая сходится к x0, но которая не содержит x0 как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x0), последовательность значений функции сходится к A.
Предел функции по Коши.
Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x, удовлетворяющего условию 0 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:
Ответ
Необходимо рассчитать предел
Первым шагом в нахождении этого предела, подставим значение 1 вместо x, в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители, сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2x — 3:
Таким образом, числитель будет таким:
Далее сокращаем числитель и знаменатель на (x – 1):
Ответ
Решение пределов функции.
Решение пределов функции — это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.
Чтобы решить пределы, следуйте правилам:
- Пробуем подставить в функцию число, результат решения и будет ответом.
- Если х стремится не к числу, например в пределах вида или , то такие пределы решаются сразу, так как число, деленное на бесконечность, всегда дает 0, а деленное на нуль это и есть ∞. Если вам сложно понять саму суть бесконечности и нуля в пределах, то подставляйте вместо ∞ — бесконечно большое число – к примеру 1000 000, либо вместо нуля — бесконечно малое — например 0,000001 и после этого можете предположить к чему стремится ответ.
- Существует группа пределов, в которых и в числитель, и в знаменатель при подстановке получаем либо нуль либо ∞. Это т.н. пределы с неопределенностью, часть из которых замечательные.
Разобравшись в сути и основных правилах решения предела, вы получите базовое понятие о том, как их решать.
Что такое предел функции
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
- предел обозначается значком lim;
- под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x , но не обязательно, например: “ x →1″;
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
- 3 – 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 и т.д.
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
В нашем случаем корнями выражения в числителе () являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: .
Знаменатель () изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на ():
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение пределов.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции
Вычислить предел
Немного теории.
Предел функции при \( x \to x_0 \)
Пусть функция \( f(x) \) определена на некотором множестве \(X\) и пусть точка \( x_0 \in X \) или \( x_0 \notin X \)
Возьмем из \(X\) последовательность точек, отличных от \(x_0\) :
\(x_1 \;, \; x_2 \;, \; x_3 \;, . \; x_n \; , \; . \tag <1>\) сходящуюся к \(x^*\).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
\( f(x_1) \;, \; f(x_2) \;, \; f(x_3) \;, . \; f(x_n) \; , \; . \tag <2>\) и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \( x = x_0 \) (или при \( x \to x_0 \) ), если для любой сходящейся к \(x_0\) последовательности (1) значений аргумента \(x\), отличных от \(x_0\) соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу \(A\).
Символически это записывается так:
$$ \lim_
Функция \(f(x)\) может иметь в точке \(x_0\) только один предел. Это следует из того, что последовательность \( \left\ < f(x_n) \right\>\) имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого числа \( \varepsilon > 0 \) существует число \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \( |x-x_0| 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке \( \varepsilon — \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \( \varepsilon — \delta \)» — определением предела функции по Коши.
Предел функции при \( x \to x_ <0->\) и при \( x \to x_ <0+>\)
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число \(A\) называется правым (левым) пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любой сходящейся к \(x_0\) последовательности (1), элементы \(x_n\) которой больше (меньше) \(x_0\), соответствующая последовательность (2) сходится к \(A\).
Символически это записывается так:
$$ \lim_
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \( \varepsilon — \delta \)»:
Определение число \(A\) называется правым (левым) пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого \( \varepsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \) такое, что для всех \(x\), удовлетворяющих неравенствам \( x_0 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 -\delta
Предел функции при \( x \to \infty \), при \( x \to -\infty \) и при \( x \to +\infty \)
Кроме рассмотренных понятий предела функции при \( x \to x_0 \) и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \( x \to \infty \), если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к \(A\).
Символическая запись:
$$ \lim_
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \( x \to +\infty \; (x \to -\infty) \) , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы \(x_n\) которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к \(A\).
Символическая запись:
$$ \lim_
Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.
Теорема. Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют в точке \(x_0\) пределы \(B\) и \(C\). Тогда функции \( f(x) \pm g(x) \; , \; f(x) \cdot g(x) \) и \( \frac
Теорема. Пусть функции \( f(x) \; , \; g(x) \) и \( h(x) \) определены в некоторой окрестности точки \(x_0\), за исключением, быть может, самой точки \(x_0\), и функции \( f(x) \; , \; h(x) \) имеют в точке \(x_0\) предел, равный \(A\), т.е. $$ \lim_
Пусть, кроме того, выполняются неравенства \( f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) \). Тогда $$ \lim_
Теорема Лопиталя. Если $$ \lim_
Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида \( \frac<0> <0>\) и \( \frac<\infty> <\infty>\).
http://microexcel.ru/predel-funktsii/
http://www.math-solution.ru/math-task/limits