Ctgx 1 решение уравнения графически

Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом

Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте « Как запомнить тригонометрический круг »).

Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом

Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, \(tg⁡x=\sqrt<3>\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=\sqrt<3>\).

Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…

…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.

Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.

Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…

…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: \(x=\frac<π><3>+πn\), \(n∈Z\).

Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом , здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется \(πn\), а не \(2πn\). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \(π\). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=-1\).

Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:

Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\) (подробнее о формуле в видео), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.

Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.

Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом

Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.

Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в \(\frac<1><\sqrt<3>>\) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.

Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…

…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…

…и записываем окончательный ответ по формуле \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: \(πn\).

Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен \(\sqrt<3>\), котангенс будет \(\frac<1><\sqrt<3>>\).

Разберем еще пример, а потом подведем итог.

Пример. Решить уравнение \(ctg⁡x=-1\). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.

Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.

Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции \(arctg\) и \(arcctg\). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.

Функция y = ctg x, её свойства и график

п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x главной ветвью графика котангенса.

п.2. Свойства функции y=ctgx⁡

1. Область определения \(x\ne\pi k\) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых \(sinx=0\) .

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений \(y\in\mathbb\)

3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+\pi k)=ctgx $$

5. Функция стремится к \(-\infty\) при приближении слева к точкам \(x=\pi k\) .
Приближение к точке a слева записывается как \(x\rightarrow a-0\) $$ \lim_ ctgx=-\infty $$ Функция стремится к \(+\infty\) при приближении справа к точкам \(x=\pi k\) .
Приближение к точке a справа записывается как \(x\rightarrow a+0\) $$ \lim_ ctgx=+\infty $$ Нули функции \(y_<0>=0\) достигаются в точках \(x_0=\frac\pi2+\pi k\)

6. Функция убывает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках \(x=\pi k\) , через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами \((\pi k;\ \pi+\pi k)\) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:

a) \(\left[\frac<2\pi><3>; \pi\right)\) $$ y_=\lim_ctgx=-\infty,\ \ y_=ctg\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\frac<1><\sqrt<3>> $$ б) \(\left(0; \frac<\pi><4>\right]\) $$ y_=ctg\left(\frac<\pi><4>\right)=1,\ \ y_=\lim_ctgx=+\infty $$ в) \(\left[\frac<7\pi><6>; \frac<7\pi><4>\right]\) $$ y_=ctg\left(\frac<7\pi><4>\right)=-1,\ \ y_=ctg\left(\frac<7\pi><6>\right)=\sqrt <3>$$

Пример 2. Решите уравнение:
a) \(ctgx=-\sqrt<3>\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac<5\pi><6>+\pi k,\ k\in\mathbb\)

б) \(ctg\left(x+\frac\pi2\right)=0\)
\(x+\frac\pi2=\frac\pi2+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\)

в) \(ctg(2x)=1\)
\(2x=\frac\pi4+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac<\pi><8>+\frac<\pi k><2>,\ k\in\mathbb\)

Пример 3. Постройте графики функций: a) \(y(x)=x^2-2tgx\cdot ctgx\)

Произведение \(tgx\cdot ctgx=1\). При этом ограничивается область определения функции \(y(x)\), т.к. \(tgx\) и \(ctgx\) имеют разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: \(x\ne\frac<\pi k><2>\).

Получаем: $$ \begin x^2-2\\ x\ne\frac<\pi k><2>,\ \ k\in\mathbb \end $$ Строим график параболы и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.

Сумма \(sin^2(tgx)+cos^2(tgx)=1\). При этом ограничивается область определения функции \(y(x)\), т.к. \(tgx\) имеeт разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: \(x\ne\frac<\pi><2>+\pi k\).

Получаем: $$ \begin 1-x\\ x\ne\frac<\pi><2>+\pi k,\ \ k\in\mathbb \end $$ Строим график прямой и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.

Арккотангенс и решение уравнения ctg x=a (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арккотангенса и решение уравнений вида ctg x = a для любого а. В начале урока решим уравнение с табличным значением и проиллюстрируем решение на графике, а потом и на круге. Далее решим уравнение ctgt = a в общем виде и выведем общую формулу ответа. Проиллюстрируем вычисления на графике и на круге и рассмотрим различные формы записи ответа. В конце урока решим несколько типовых уравнений и задач с арккотангенсом.