Дан квадратный трехчлен известно что уравнения

math4school.ru

Квадратный трёхчлен

Немного теории

В большинстве задач, сводящихся к исследованию квадратичной функции

полезно представить себе её график:

• если он пересекает ось Ох в двух точках (корнях) х₁ и х₂, то между корнями значения функции у = f(х) противоположны по знаку числу а, а вне отрезка [х₁; х₂] – совпадают по знаку с числом а;
• при этом вершина параболы у = f(х) (абсцисса которой равна полусумме корней) соответствует точке экстремума функции у = f(х): минимума, если а > 0, и максимума, если а

В ряде задач полезно использовать такой факт:

• если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) принимает в концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b лежит хотя бы один корень уравнения f(х) = 0.

Задачи с решениями

1. Известно, что a + b + c 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с.

Квадратный трёхчлен f(x) = ax 2 + bx + c не имеет действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак для всех значений аргумента х. Так как f(1) = a + b + c

2. Может ли квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23?

Допустим, что дискриминант указанного уравнения равен числу 23. Тогда можно записать:

Заметим, что b – 5 и b + 5 – числа одинаковой чётности, поэтому их произведение, если оно чётно, делится на 4. Правая часть последнего равенства есть чётное число, не делящееся на 4. Полученно противоречие, значит, сделаное допущение ложно.

3. Найти все пары действительных чисел p, q, для которых многочлен x 4 + px 2 + q, имеет 4 действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Многочлен x 4 + px 2 + q, имеет 4 действительных корня в том и только в том случае, если многочлен у 2 + pу + q (относительно у = x 2 ) имеет два неотрицательных корня, т.е. числа р и q удовлетворяют условиям

Если исходный многочлен имеет 4 действительных корня (а именно: –х₁, –х₂, х₁, х₂, где без ограничения общности считаем, что х₁ > х₂ > 0), то они образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда совместна система

(смотрите теорему Виета и обратную к ней), т.е. когда q = 0,09 · р 2 . Таким образом, все искомые пары чисел р, q описываются условиями

(неравенства p 2 > 4q и q > 0,вытекают из последнего равенства).

4. Пусть a, b, c – действительные числа. Доказать, что уравнение

всегда имеет хотя бы один действительный корень. Выяснить, когда таких корня два.

Без ограничения общности рассуждений можно считать, что a b c. Рассмотрим все возможные случаи:

f ( a ) = ( a – b ) ( a – c ) > 0,

f ( c ) = ( c – a ) ( c – b ) > 0.

Так как f ( x ) – непрерывная квадратичная функция, принимающая значения разного знака на концах интервалов (a; b) и (b; c), то она имеет два различных действительных корня х 1 и х 2 . Более того

Решение задачи окончено.

5. Дан многочлен ax 2 + bx + c. За один ход разрешается заменить х на (х – k) или заменить многочлен целиком на многочлен

Можно ли после нескольких ходов из многочлена x 2 – 3x – 4 получить многочлен x 2 – 2x – 5?

Нетрудно убедиться, что при указанных заменах исходного многочлена его дискриминант не изменяется. Значит, если из многочлена x 2 – 3x – 4 можно получить многочлен x 2 – 2x – 5, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так.

6. Найдите все значения a и b, такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] будет выполняться неравенство

Пусть числа а и b такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] выполняется данное неравенство, т. е,

Полагая здесь последовательно х = 0, х = 1, х = – 1, получаем, что а и b удовлетворяют следующей системе неравенств:

Сложив почленно два последних неравенства, подучим

Отсюда и из первого неравенства следует, что b = –1. Тогда а удовлетворяет следующим двум неравенствам:

и поэтому, а = 0. Таким образом, если существуют числа а и b, удовлетворяющие условию задачи, то

и других решений задача не имеет.

Чтобы доказать, что найденные значения а = 0, b = – 1 являются решением задачи, остается проверить, что для любого х из отрезка [–1; 1] верно двойное неравенство

А оно равносильно неравенству

которое, очевидно, справедливо на числовом промежутке [–1; 1].

7. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Поставим каждому из пешеходов в соответствие точку в прямоугольной системе координат. Точки (х₁; у₁), (х₂; у₂), (х₃; у₃) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Так как скорости пешеходов постоянны, то х₁(t), у₁(t), х₂ (t), у₂(t), х₃(t) и у₃(t) – линейные функции от времени t и последнее равенство является квадратным уравнением относительно t, которое может иметь не более двух решений t₁ и t₂. Это и есть те два возможных момента времени, когда все три пешехода могут оказаться на одной прямой.

8. На координатной плоскости Oхy нарисован график функции y = x 2 . Потом оси координат стёрли, осталась только парабола. Как при помощи циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?

Докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть M и N – середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы.

Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых

тогда абсциссы точек A , B , C , D – это корни уравнений

а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны k /2. Следовательно, точки M и N лежат на прямой х = k /2, которая параллельна оси Oy . Лемма доказана.

Вернёмся к исходной задаче.

Последовательно осуществляем следующие построения:

1) две параллельные прямые, каждая из которых пересекает параболу в двух точках;

2) прямую через середины получающихся отрезков;

3) перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках А и В;

4) серединный перпендикуляр к отрезку АВ – это ось Оу;

5) ось Ох перпендикулярна Оу в точке пересечения с параболой;

6) единичный отрезок – абсцисса пересечения прямой у = х с параболой.

9. Учитель написал на доске квадратный трехчлен х 2 + 10х + 20, после чего по очереди каждый из учеников увеличил или уменьшил на единицу либо коэффициент при х, либо свободный член, но не оба сразу. В результате на доске оказался написан квадратный трехчлен х 2 + 20х+10. Верно ли, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трехчлен с целыми корнями?

Заметим, что при каждом изменении трехчлена его значение в точке х = – 1 изменяется на 1 (в ту или другую сторону). Значение первого трехчлена

в этой точке равно f(–1) = 11, а последнего,

— g(–1) = –9. Поэтому в какой-то промежуточный момент на доске был написан трехчлен

для которого h(–1)=0. Оба его корня – целые числа: один равен –1, другой по теореме Виета равен –q.

Каждому квадратному трёхчлену

поставим в соответствие точку координатной плоскости Оbc, где вдоль оси Оb будем откладывать значения второго коэффициента, а вдоль Ос – свободного члена. Многочленам

будут соответствовать точки

соответственно. Предложенные в условии операции предполагают перемещение от точки А к точке В вдоль узлов некоторой ломаной L. Узлы L – некоторые целочисленные точки плоскости Оbc, а длина каждого звена L равна 1 (соседние звенья могут лежать на одной прямой).

Так как точки А и В расположены в разных полуплоскостях относительно прямой

то ломаная L одним из своих узлов имеет точку этой прямой. Значит, одним из промежуточных многочленов будет многочлен вида

10. Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2bx + c = 0 действительны?

Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b; c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B. Решим задачу при фиксированном значении B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.

На рисунке более тёмная выделенная область отвечает случаю действительных корней,

более светлая – комплексных.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы

На приведенном рисунке изображена парабола с = b 2 и показана область, где наше уравнение имеет действительные корни для B = 4.

Нетрудно подсчитать, что площадь «комплексной» области равна (4 · B 3/2 )/3 (при B > 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B 2 . Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/(3 √ В ). При B = 4 она составляет 1/6. Действительно,

С ростом B значение дроби 1/ √ В стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.

Замечание. Рассмотренная задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением

Конечно, можно разделить на a, но если a, b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b/a и c/a уже зависимы и распределены неравномерно.

Задачи без решений

1. Корни уравнения х 2 + pх + q = 0, у которого p + q = 198, являются целыми числами. Найдите эти корни.

2. В квадратном уравнении х 2 + pх + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от –1 до +1 включительно. Найти множество значений, которые при этом могут принимать действительные корни данного уравнения.

3. Квадратный трёхчлен f ( х ) = ax 2 + bx + c таков, что уравнение f ( х ) = x не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение f ( f ( х )) = х так же не имеет вещественных корней.

4. Найдите уравнение общей касательной к параболам у = x 2 + 4x + 8 и у = x 2 + 8x + 4.

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – это многочлен вида \(ax^2+bx+c\) (\(a≠0\)).

Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых ( одночленов ). Вот и получается – квадратный трехчлен.

Примеры не квадратных трехчленов:

\(x^3-3x^2-5x+6\) — кубический четырёхчлен
\(2x+1\) — линейный двучлен

Корень квадратного трехчлена:

Значение переменной \(x\), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.

Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).

Готово. Корень равен \(1\).

Разложение квадратного трёхчлена на множители:

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1 )(x-x_2)\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) — корни того же уравнения).

Например, рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac<2><3>\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac<2><3>)\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки , то получим исходный трехчлен.

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.

Например, рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).
У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения .

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.

Например, у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)

Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).

Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac<-33-17><10>=-5\)
\(x_2=\frac<-33+17><10>=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ: \(-1,6\)

Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами

Разделы: Математика

Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a 0 ветви направлены вверх.

Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b 2 — 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D 0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а 2 +bx+c и коэффициентами этого

трехчлена существуют соотношения : x₁+x₂= -b/a,

Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x 2 +px+q : x₁+x₂= -p,

Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений: D=b 2 -4ac0; x₁•x₂=c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :

а оба корня будут отрицательны, если x₁+x₂= -b/a 2 -4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х 2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].

2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?

3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?

4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .

5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?

6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 положительны?

9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х 2 -2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 -2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?

11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-а 2 =0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?

12. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?

13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х 2 -3ах+2а=0 больше 1/2?

15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х 2 -2ах+а 2 -а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?

16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х 2 -2ах+2(а+1)=0 равна 20?

17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х 2 -2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?

18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х 2 -2ах+6а=0 положительны?

19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х 2 -3ах+4а=0 больше 1?