Дана прямая составить уравнение прямой параллельной данной

2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Задача 75

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение: обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Геометрия задачи выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнения не упрощены должным образом, то векторы будут коллинеарны). Да что тут векторы?! – посмотрим на коэффициенты:
– параллельность прямых понятна без всякого чертежа!

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению . И это тоже устный пункт!

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Задача 76

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь в конце книги.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому перейдём к задаче, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Уравнение параллельной прямой

Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?

Пусть y = k₁x+b₁ — данная прямая. С учётом условия параллельности прямых уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид y = k₁x+b₂.

Так как эта прямая проходит через точку M(x_o; y_o), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение x_o и y_o, мы найдем b:

1) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(4;21) и параллельна прямой y=3x-8.

Так как угловые коэффициенты у параллельных прямых равны, то k₂=k₁=3 и уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, имеет вид y=3x+b. Так как искомая прямая проходит через точку A(4;21), подставляем в уравнение прямой координаты A (x=4; y=21):

21=3·4+b, откуда находим b: b= 21-12= 9.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, проходящей через точку A(4;21) — y=3x+9.

2) Написать уравнение прямой, параллельной прямой x=5, проходящей через точку B(-3; 5).

Так как прямая x=5 параллельна оси Oy, то и параллельная ей прямая также параллельна Oy, а значит, уравнение этой прямой имеет вид x=a.

Так как эта прямая проходит через точку B(-3; 5), то её абсцисса удовлетворяет уравнению прямой: a= -3.

Итак, уравнение прямой, параллельной прямой x=5 и проходящей через точку B(-3; 5) — x= -3.

3) Написать уравнение прямой, параллельной прямой y= -11, проходящей через точку K(2; 4).

Так как прямая y= -11 параллельна оси Ox, то и параллельная ей прямая также параллельна оси Ox. Поэтому уравнение прямой имеет вид y=b.

Поскольку эта прямая проходит через точку K(2; 4), то её ордината удовлетворяет уравнению прямой: b=4.

Уравнение прямой, параллельной прямой y= -11 и проходящей через точку K(2; 4) — y=4.