Решение систем линейных уравнений
Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.
Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).
Пример решения методом Крамера
Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:
B T = (20,11,40,37)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):
∆4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Главный определитель:
∆ = 2∙(-67)-1∙(-89)+2∙(-6)-3∙(-16) = -9
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
Выпишем отдельно найденные переменные Х:
Пример №2 . Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:
| A = |
|
B T = (6,9,-6)
Главный определитель:
∆ = 1 • (5 • 0-8 • 6)-4 • (2 • 0-8 • 3)+7 • (2 • 6-5 • 3) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 1 = |
|
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 6 • (5 • 0-8 • 6)-9 • (2 • 0-8 • 3)+(-6 • (2 • 6-5 • 3)) = -54
x1 = -54/27 = -2
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 2 = |
|
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = 1 • (9 • 0-(-6 • 6))-4 • (6 • 0-(-6 • 3))+7 • (6 • 6-9 • 3) = 27
x2 = 27/27 = 1
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 3 = |
|
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = 1 • (5 • (-6)-8 • 9)-4 • (2 • (-6)-8 • 6)+7 • (2 • 9-5 • 6) = 54
x3 = 54/27 = 2
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -54/27 = -2
x2 = 27/27 = 1
x3 = 54/27 = 2
Проверка.
1•-2+2•1+3•2 = 6
4•-2+5•1+6•2 = 9
7•-2+8•1+0•2 = -6
Пример №2 . Запишем систему в виде:
| A = |
|
B T = (1,0,3,-4)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
| ∆ 1,1 = |
|
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
| ∆ 4,1 = |
|
∆4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Главный определитель:
∆ = 2 • (-72)-1 • 279+3 • 63-7 • (-45) = 81
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 1 = |
|
Минор для (1,1):
| ∆ 1,1 = |
|
∆1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
| ∆ 4,1 = |
|
∆4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Определитель минора:
∆1 = 1 • (-72)-0 • 279+3 • 63-(-4 • (-45))
x1 = -63/81 = -0.78
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 2 = |
|
Минор для (1,1):
| ∆ 1,1 = |
|
∆1,1 = 0 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))+(-4 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -115
Минор для (2,1):
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,1 = 1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 408
Минор для (3,1):
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,1 = 1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-0 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 105
Минор для (4,1):
| ∆ 4,1 = |
|
∆4,1 = 1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-0 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))+3 • (12 • 0-(-5 • (-5))) = -50
Определитель минора:
∆2 = 2 • (-115)-1 • 408+3 • 105-7 • (-50)
x2 = 27/81 = 0.33
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 3 = |
|
Минор для (1,1):
| ∆ 1,1 = |
|
Найдем определитель для этого минора.
∆1,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (0 • (-1)-(-4 • 0)))+(-5 • (0 • (-5)-3 • 0)) = 23
Минор для (2,1):
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • (-5)-3 • (-5))) = -69
Минор для (3,1):
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,1 = -1 • (0 • (-1)-(-4 • 0))-(-1 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • 0-0 • (-5))) = -21
Минор для (4,1):
| ∆ 4,1 = |
|
∆4,1 = -1 • (0 • (-5)-3 • 0)-(-1 • (1 • (-5)-3 • (-5)))+(-2 • (1 • 0-0 • (-5))) = 10
Определитель минора:
∆3 = 2 • 23-1 • (-69)+3 • (-21)-7 • 10
x3 = -18/81 = -0.22
Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 4 = |
|
Минор для (1,1):
| ∆ 1,1 = |
|
∆1,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (-5 • (-4)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • 3-(-2 • 0))) = 80
Минор для (2,1):
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 3-(-2 • 1))) = -303
Минор для (3,1):
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,1 = -1 • (-5 • (-4)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 0-(-5 • 1))) = -84
Минор для (4,1):
| ∆ 4,1 = |
|
∆4,1 = -1 • (-5 • 3-(-2 • 0))-(-1 • (12 • 3-(-2 • 1)))+(-2 • (12 • 0-(-5 • 1))) = 43
Определитель минора:
∆4 = 2 • 80-1 • (-303)+3 • (-84)-7 • 43
x4 = -90/81 = -1.11
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -63/81 = -0.78
x2 = 27/81 = 0.33
x3 = -18/81 = -0.22
x4 = -90/81 = -1.11
Проверка.
2•-0.78+-1•0.33+12•-0.22+-5•-1.11 = 1
1•-0.78+-1•0.33+-5•-0.22+0•-1.11 = 0
3•-0.78+-2•0.33+-2•-0.22+-5•-1.11 = 3
7•-0.78+-5•0.33+-9•-0.22+-1•-1.11 = -4
Пример №3 . Запишем систему в виде:
| A = |
|
B T = (-1,-3,-8)
Главный определитель:
∆ = 2 • (-2 • 1-1 • 2)-1 • (1 • 1-1 • (-1))+3 • (1 • 2-(-2 • (-1))) = -10 = -10
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 1 = |
|
∆1 = -1 • (-2 • 1-1 • 2)-(-3 • (1 • 1-1 • (-1)))+(-8 • (1 • 2-(-2 • (-1)))) = 10
x1 = 10/-10 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 2 = |
|
∆2 = 2 • (-3 • 1-(-8 • 2))-1 • (-1 • 1-(-8 • (-1)))+3 • (-1 • 2-(-3 • (-1))) = 20
x2 = 20/-10 = -2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 3 = |
|
∆3 = 2 • (-2 • (-8)-1 • (-3))-1 • (1 • (-8)-1 • (-1))+3 • (1 • (-3)-(-2 • (-1))) = 30
x3 = 30/-10 = -3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = 10/-10 = -1
x2 = 20/-10 = -2
x3 = 30/(-10) = -3
Проверка.
2•-1+1•-2+-1•-3 = -1
1•-1+-2•-2+2•-3 = -3
3•-1+1•-2+1•-3 = -8
Пример №4 . Запишем систему в виде:
| A = |
|
B T = (0,-4,11)
Главный определитель:
∆ = 1 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-4 • (-1 • 5-(-1 • 1))+2 • (-1 • (-2)-3 • 1) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 1 = |
|
∆1 = 0 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-(-4 • (-1 • 5-(-1 • 1)))+11 • (-1 • (-2)-3 • 1) = -27
x1 = -27/27 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 2 = |
|
∆2 = 1 • (-4 • 5-11 • (-2))-4 • (0 • 5-11 • 1)+2 • (0 • (-2)-(-4 • 1)) = 54
x2 = 54/27 = 2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
| ∆ 3 = |
|
∆3 = 1 • (3 • 11-(-1 • (-4)))-4 • (-1 • 11-(-1 • 0))+2 • (-1 • (-4)-3 • 0) = 81
x3 = 81/27 = 3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -27/27 = -1
x2 = 54/27 = 2
x3 = 81/27 = 3
Проверка.
1•-1+-1•2+1•3 = 0
4•-1+3•2+-2•3 = -4
2•-1+-1•2+5•3 = 11
Пример №5 . Запишем матрицу в виде:
| A = |
|
Главный определитель:
∆ = 1 • (-2 • (-1)-1 • 1)-2 • (2 • (-1)-1 • 2)+3 • (2 • 1-(-2 • 2)) = 27
Пример №6 . При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:
- столбцы матрицы А линейно независимы;
- определитель матрицы А не равен нулю;
Пример №7 . Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение с помощью формул Крамера. Выполнить проверку полученного решения.
-75x 1 + 35 x 2 + 25 x 3 = -4,5
25x 1 — 70x 2 + 25 x 3 = -20
15x 1 + 10x 2 — 5 5 x 3 = -30
- Решение
- Видеоинструкция
Решение получаем через калькулятор. Запишем систему в виде:
B T = (-4.5,-20,-30)
Главный определитель:
∆ = -75∙(-70∙(-55)-10∙25)-25∙(35∙(-55)-10∙25)+15∙(35∙25-(-70∙25))= -176250 = -176250
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = -4.5∙(-70∙(-55)-10∙25)-(-20∙(35∙(-55)-10∙25))+(-30∙(35∙25-(-70∙25)))= -138450
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = -75∙(-20∙(-55)-(-30∙25))-25∙(-4.5∙(-55)-(-30∙25))+15∙(-4.5∙25-(-20∙25))= -157875
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
Выпишем отдельно найденные переменные Х
Решить систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными онлайн
Этот онлайн калькулятор предназначен для решения систем из трёх уравнений с тремя неизвестными. Вы можете быть уверены, что калькулятор выдаёт точный результат.
Калькулятор
Инструкция
Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().
Шаг 1. Введите в поля три уравнения.
Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить систему”.
Шаг 3. Получите точный результат.
В калькулятор нужно вводить только латинские буквы и любые цифры с клавиатуры.
Что такое система из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными
Решение систем из трёх уравнений с тремя неизвестными – это то же линейное уравнение, которое, чаще всего решается методом Крамера. Однако метод Крамера можно использовать только в том случае, если определитель системы не равняется нулю. Если же определитель системы равен нулю, тогда нельзя использовать этот метод.
Следуя теореме Крамера, в таких уравнениях может быть три случая:
- У системы уравнений есть всего навсего одно решение.
- У системы уравнений имеется бесконечное множество решений.
- У системы уравнений нет решений.
Средняя оценка 2.7 / 5. Количество оценок: 3
http://math.semestr.ru/kramer/prim1.php
http://nauchniestati.ru/kalkulatory/reshit-sistemu-iz-3-h-uravnenij-s-3-mja-neizvestnymi-onlajn/