Дана вершина квадрата и уравнение диагонали

Задача 32587 Известна точка пересечения диагоналей.

Условие

Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(1,5; 2,5) и уравнение одной из его сторон х-4у=0 . Найти координаты вершин квадрата и составить уравнения его диагоналей

Решение

Уравнение стороны запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом:
y=(1/4)x
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)

β — α =45^(o)
( диагонали квадрата образуют угол 45 градусов со сторонами квадрата)
tg( β — α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )

y=(5/3)x+b — уравнение диагонали

Подставим координаты точки К (1,5; 2,5)

Диагонали взаимно перпендикулярны.
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)

Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b

Подставим координаты точки К
2,5=(-3/5)*1,5+b
b=3,4

Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(5/3)х
Это точка (0;0)
<х-4у=0
<у=(5/3)х
x=0
y=0

Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у=0 и диагонали у=(-3/5)х+3,4
<х-4у=0
<у=(-3/5)х+3,4

Координаты двух других точек можно найти из соображений симметрии.

Точка A (5 ; — 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x — 7y — 8 = 0?

Геометрия | 10 — 11 классы

Точка A (5 ; — 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x — 7y — 8 = 0.

Написать уравнения сторон и второй диагонали квадрата.

В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу.

Если есть точка М(х₁ у₁) и прямая Ах + Ву + С = 0, то уравнение перпендикулярной прямой : А(у — у₁) — В(х — х₁) = 0.

Подставляем известные данные : точка А(5 ; — 4) и прямая — диагональ ВД : х — 7у — 8 = 0.

Уравнение диагонали АС : 1 * (у — ( — 4)) — ( — 7) * (х — 5) = 0.

У + 4 + 7х — 35 = 0,

АС : 7х + у — 31 = 0.

Эта же прямая в виду уравнения с коэффициентом :

В уравнении типа у = кх + в коэффициент к — это тангенс угла наклона прямой к оси «х».

Стороны квадрата проходят под углом + 45° и — 45° к диагонали.

Используем формулу тангенса суммы (разности) углов :

Используя к = — 7 для АС, находим «к» для сторон АВ и АД :

Теперь переходим к уравнениям сторон.

У параллельных прямых коэффициент к одинаков.

Найдём координаты точки С, симметричной точка А относительно прямой ВД.

1) Находим прямую(диагональ АС), которая перпендикулярна прямойВД.

2) Находим точку Кпересечения прямых — это будет центр квадрата.

3) ТочкаКявляется серединой отрезкаАС.

Нам известны координаты середины и одного из концов.

Поформулам координат середины отрезканаходим точку С.

1) УравнениеАС найдено.

2)ВД : х — 7у — 8 = 0 — 7х + 49у + 56 = 0 АС : 7х + у — 31 = 0 7х + у — 31 = 0 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 50у + 25 = 0 у = — 25 / 50 = — 1 / 2.

Х = 7у + 8 = 7 * ( — 1 / 2) + 8 = — 3, 5 + 8 = 4, 5.

Получили координаты точки К(4, 5 ; — 0, 5).

3)Хс = 2Хк — Ха = 2 * 4, 5 — 5 = 9 — 5 = 4.

Ус = 2Ук — Уа = 2 * ( — 0, 5) — ( — 4) = — 1 + 4 = 3.

АВ : — 4 = ( — 3 / 4) * 5 + в в = — 4 + (15 / 4) = ( — 16 / 4) + (15 / 4) = — 1 / 4.

АВ : у = ( — 3 / 4)х — (1 / 4).

СД : 3 = ( — 3 / 4) * 4 + в в = 3 + (12 / 4) = 3 + 3 = 6.

СД : у = ( — 3 / 4)х + 6.

АД : — 4 = (4 / 3) * 5 + в в = — 4 — (20 / 3) = ( — 12 / 3) — (20 / 3) = — 32 / 3

АД : у = (4 / 3)х — (32 / 3).

ВС : 3 = (4 / 3) * 4 + в в = 3 — (6 / 3) = (9 — 16) / 3 = — 7 / 3.

ВС : у = (4 / 3)х — (7 / 3).

Сторона первого квадрата равна а , диагональ второго в 3 раза больше диагонали первого ?

Сторона первого квадрата равна а , диагональ второго в 3 раза больше диагонали первого .

Найдите : площу второго квадрата.

Abcd квадрат в плоскости альфа его диагонали пересекаются в точке о?

Abcd квадрат в плоскости альфа его диагонали пересекаются в точке о.

Прямая а проходит через точку О и перпендикулярна к плоскости а.

Точка Е лежит на прямой а.

Длина диагонали квадрата равна 6см, а ОЕ 4см.

Найдите расстояние от точки Е до вершины квадрата.

Помагите пожалуйста, срочно надо ?

Помагите пожалуйста, срочно надо !

За все 22 балла1)Если в четырехугольнике 3 угла являются прямыми то его противолежащие стороны параллейны.

2) диагональ квадрата16см и сторона этого квадрата является диагональю некоторого второго квадрата найдите сторону второго квадрата (фото если сможите плиз).

1. Сторона квадрата равна 4 см?

1. Сторона квадрата равна 4 см.

Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата находится на расстоянии 6 см от пересечения его диагоналей.

Найти расстояние от этой точки до вершин квадрата.

Точка A (5 ; — 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x — 7y — 8 = 0?

Точка A (5 ; — 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x — 7y — 8 = 0.

Написать уравнения сторон и второй диагонали квадрата.

Диагональ квадрата равна 4 см?

Диагональ квадрата равна 4 см.

Сторона его является диагональю другого квадрата .

Найдите сторону второго квадрата .

! ПОМОГИТЕ?

Диагональ квадрата равна 16 см и сторона этого квадрата является диагональю некоторого второго квадрата.

Найдите сторону второго квадрата.

Сторона квадрата равна 4см?

Сторона квадрата равна 4см.

Точка равноудалённая от всех вершин квадрата находится на расстоянии 3 см от точки пересечения диагоналей.

Найти расстояние от этой точки до вершины квадрата.

Сторона квадрата 10см?

Сторона квадрата 10см.

Точка, равноудаленная от всех вершин находится на расстоянии 11см, от точки пересечения диагоналей.

Найти расстояние от этой точки до вершины квадрата.

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна диагонали квадрата со стороной равной 1 м?

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равна диагонали квадрата со стороной равной 1 м.

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Точка A (5 ; — 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой x — 7y — 8 = 0?, относящийся к уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов, вы открыли нужную страницу. В категории Геометрия вы также найдете ответы на похожие вопросы по интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с посетителями этой страницы.

Пусть х — одна часть тогда а = 3х и в = 5х угол между ними 120 применим теорему косинусов : третья сторона то есть у в квадрате равна9хквадрат + 25хквадрат — 2(15хквадрат) косинус 120 = 49 х квадраттак как кос 120 = — 1 / 2 тогда у = 7хвоспользуемся ..

Вот. Если что — то не понятно спрашивайте).

Что бы знать о расположении стран, городов, природных объектов, ископаемых ресурсах и много еще чего нового. Для общего развития, в общем.

Предмет география нужен в учебном программе, чтоб знать больше о своей стране, о странах мира, уметь ориентироваться и просто для людей эрудиции.

Дано : АВСD — трапеция(АD — нижняя основа) ; угол А = 90 гр ; угол С = 120 гр ; СD = 20 см ; (ВС + АD) / 2 = 7 см ; Найти : ВС, АД ; Решение : 1)Пусть ВС = х см, а АD = у см. Тогда (х + у) / 2 = 7 или х + у = 14 или у = 14 — х ; 2)Проведём высоту СM..

Дано : АВСD — трапеция(АD — нижняя основа) ; угол А = 90 гр ; угол С = 120 гр ; СD = 20 см ; (ВС + АD) / 2 = 7 см ; Найти : ВС, АD ; Решение : 1)Пусть ВС = х см, а АD = у см. Тогда (х + у) / 2 = 7 или х + у = 14 или у = 14 — х ; 2)Проведём высоту СM..

Х — меньший угол. Тогда х + х + х + (х + 72) = 360. 4х = 360 — 72. 4х = 288. Х = 72.

Угол BEC равен 75° пожалуйста.

Если у тебя основание — диаметр, следовательно радиус описанной окружности равен 18 : 2 = 9 Потом мы знаем, что в равнобедренном треугольнике медиана = биссектриса = высота, следовательно у нас есть два треугольника. По теореме Пифагора мы получаем.

1 угол примем за x 2 угол следовательно х + 40 Сумма смежных равна 180° Получается уравнение х + х + 40 = 180 2х = 140 х = 70 Это первый угол Второй равен 70 + 40 = 110.

Раздел 1

Задача. Пусть точка А(1; 3) — вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD лежит на прямой х + 2у — 12 = 0. Найти:

а) координаты вершин В, С и D;

b) уравнения сторон АВ, ВС, CD и AD.

Указание. Из школьного курса геометрии известны следующие свойства диагоналей квадрата, которые будут использованы при решении этой задачи.

Диагонали квадрата: 1) взаимно перпендикулярны; 2) делятся точкой своего пересечения — центром квадрата — пополам; 3) равны.

Решение: 1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит АС — вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду у = kx + b, где параметр k — угловой коэффициент этой прямой.

В силу свойства диагоналей квадрата угловые коэффициенты =-0,5 и k_BD прямых АС и BD связаны соотношением

Найдем угловой коэффициент k_BD. Для этого выразим у через х из данного уравнения прямой BD: 2у = — х + 12, откуда у =-0,5 х + 6. Итак, k_BD =-0,5. Поэтому из соотношения (1) получим, что k_AC=2.

Теперь уже легко найти уравнение прямой АС. Нам известны координаты ее точки А и угловой коэффициент k_AC. Используем уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: x_A = 1, у_А = 3, k_AC=2. Получим у — 3 = 2(х — 1) или (после упрощений)

AC: у = 2х + 1.

2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата — точки пересечения его диагоналей.

Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD

(первое — уравнение прямой АС, второе — прямой BD).

Далее, вычитая второе уравнение из первого, получим: 0=2,5x-5. Значит х = 2. Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у = 5.

Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: х_Е = 2, у_Е = 5, т.е. Е(2; 5).

3. Найдем длину отрезка АЕ — половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра E на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е

Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что

Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде

Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:

Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.

Точки А и С лежат на пересечении найденной окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек — решения системы уравнений окружности и прямой:

Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.

Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 2х + 1 из первого уравнения. Получим:

(х — 2) 2 + (2х + 1 — 5) 2 = 5,

откуда (х — 2) 2 + (2х — 4) 2 = 5, поэтому (х — 2) 2 + 4(х — 2) 2 = 5, т.е. 5(х — 2) 2 = 5, значит (х — 2) 2 = 1. Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо (-1). Поэтому х — 2 = 1 и тогда х = 3, либо х — 2 = -1 и тогда х = 1.

Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: х_С = 3. Тогда из первого уравнения системы найдем ординату вершины С: у_С = 2×3 + 1 = 7. Итак, найдена вершина С(3; 7).

Аналогично, для нахождения координат вершин В и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:

Выразим из первого уравнения х через у: х = 12 — 2у.и подставим полученное выражение во второе уравнение системы. Получим (аналогично решению предыдущей системы) 4(у — 5) 2 + (у — 5) 2 = 5, откуда либо у — 5 = 1 и тогда у = 6, либо у — 5 = -1 и тогда у = 4.

При у = 6 первое уравнение системы дает х = 12 — 2у = 12 — 12 = 0, а при у= 4 аналогично получаем, что х = 4.

Итак, получены два решения системы, пары (0; 6) и (4; 4). Одно из этих решений — координаты точки В, а второе — точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой В, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины А, В, С и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.

Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B(0; 6); D(4; 4).

4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки М(х_М; у_М) и N(x_N; y_N):

(2)

и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.

Уравнение прямой АВ получим, если в формуле (2) вместо точек М и N возьмем точки А и В:

.

Подставляя в это уравнение координаты вершин А(1; 3) и В(0; 6), находим:

или y-3=-3(x-1), откуда y=-3x+6.

Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж.

Ответ: а) В(0; 6); С(3; 7); D(4; 4);

BC:

DA:

Замечание. Если иначе выбрать точки B и D (cм. п.3 решения), в ответе надо поменять местами: в п. а) — координаты точек В и D; в п. b) — уравнения прямых АВ и CD, а также уравнения прямых ВС и CD.

Дата добавления: 2014-12-02 ; просмотров: 1392 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ