Дано дифференциальное уравнение изменения заряда

Запишите дифференциальное уравнение, описывающее изменение во времени заряда одной из обкладок конденсатора колебательного

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,300
• гуманитарные 33,630
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,261
• разное 16,836

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Применение элементов высшей математики при решении задач с физическим содержанием

В курсе средней школы задачи по физике, при решении которых требуется явное применение дифференциального и интегрального исчисления встречаются нечасто и в большинстве своем вызывают значительные затруднения у выпускников. Конечно, формулировки многих из этих задач требуют ответы на вопросы, которые можно легче получить не из явного решения описывающих протекающие в них явления дифференциальных уравнений, а привлекая известные в физике законы сохранения.

Однако, сравнительный анализ различных способов решения заданий, а также умение использовать изученный в курсе алгебры и начал анализа математический аппарат, безусловно пригодятся выпускникам средней школы для продолжения образования в стенах высшей.

Кроме того, весьма важно установление четкой связи в умах учеников между различными ветвями познания окружающего мира, их взаимодополняющего влияния на точность и четкость воссоздаваемой картины реальности. Я полагаю, что задумываться об этом человек должен как можно раньше, для того чтобы в будущей деятельности плодотворно заниматься творческой исследовательской работой.

Для начала рассмотрим задачу №1, предлагавшуюся на вступительных экзаменах в МФТИ , так как её результаты можно будет использовать при решении последующих задач.

Задача 1. В цепи, изображенной на рис.1 , при разомкнутом ключе К заряд на конденсаторе с емкостью С₂ (С₂=С₁/3) равен q₂, а конденсатор с емкостью С₁ не заряжен. Через какое время после замыкания ключа заряд на конденсаторе С₁ будет иметь максимальное значение? Чему будет равен этот заряд? Омическими потерями в катушке с индуктивностью L пренебречь.

Как показывает опыт работы, простая замена преподавателем схемы из двух последовательно соединенных конденсаторов С₁ и С₂ эквивалентным конденсатором хотя бы для расчетов частоты колебаний контура может совершенно запутать учеников, если они предварительно сами не придут к осознанию равносильности такой замены для ответа на некоторые вопросы задачи. Попробуем составить дифференциальное уравнение для описания колебательных явлений в контуре. Хочется отметить, что то, что близкому к радиотехнике человеку кажется очевидным, вызывает кучу вопросов у учеников, и преподаватель не должен оставлять у них ощущения, что какие-то члены в уравнении или, допустим, их знаки появляются из-за случайных догадок, и подробно последовательно остановиться на всех этапах решения.

Обозначим буквами М, N, F соответствующие точки схемы. Изначально на левой пластине конденсатора С₂ был заряд q₂₀, на правой — (-q₂₀).По закону сохранения заряда сумма зарядов на левой пластине конденсатора С₂ правой пластине конденсатора С₁ остается постоянной, так как заряды в эту часть схемы извне не поступают q₁+q₂=q₂₀.

j _M-j _N=q₁/C₁; (1) j _N-j _F=q₂/C₂ (2). Выберем направление тока в цепи против часовой стрелки, при этом заряд q₂ должен уменьшаться.

Падение напряжения на катушке индуктивности IR=j _M-j _F+e _{сам. инд}. По закону электромагнитной индукции e _cам.инд=Так как активное сопротивление катушки индуктивности равно 0, то j _M-j _FСкладывая уравнения (1) и (2),получим j _M-j _F=q₁/C₁+q₂/C₂. Подставляя данное соотношение в (3), мы получим уравнение (4), справедливое для любого момента времени:

q₁/C₁+q₂/C₂— Продифференцируем это уравнение по времени, получим:

учитывая, что мы приходим к дифференциальному уравнению которое является уравнением гармонических колебаний.

Общее решение этого уравнения I(t) = I_max sin(w t+j ), где w 2 =.

Инерционной частью в данной модели являются заряды на конденсаторах q₁ и q₂, которые не могут измениться мгновенно из-за наличия индуктивности в цепи.

В момент замыкания ключа j _M=j _N, так как конденсатор C₁ не заряжен.

j _M-j _F=j _N-j _F=q₂₀/C₂. Скорость изменения тока в начальный момент времени конечна и равна q₂₀/(C₂L)(см.(3)), его значение в этот момент времени также равно 0, откуда в общем уравнении гармонических колебаний находим первую const: j =0, тогда I(t)=I_max sinw t.

w t; так как q₂(0)=q₂₀, то const=, а зависимость величин зарядов конденсаторов от времени имеет вид:

В моменты времени, когда ток в цепи максимален, Поскольку активное сопротивление цепи равно 0, энергия электромагнитного поля в процессе колебаний сохраняется, т.е. в любой момент времени справедливо соотношение

а при максимальном значении тока из этого соотношения получаем: отсюда

Данный результат можно получить и иначе. Найдем равновесное распределение зарядов на конденсаторах, которое отвечает отсутствию протекания тока в цепи. При этом конденсаторы С₁ и С₂ оказываются включенными параллельно друг другу.

U₁=U₂=q_1p/C₁=q_2p/C₂.Сумма же зарядов на конденсаторах равна q₂₀. Из этих условий получаем, чтоВокруг этих положений и осуществляются колебания зарядов на конденсаторах с течением времени, амплитуда же колебаний соответствует величине I_max/w , что позволяет определить I_max.

В нашем конкретном случае Максимальная величина заряда q₁ будет равняться 3q₂₀/2, а достигаться она будет в моменты времени t=T/2+n? T, где Т — период колебаний, а n=0,1,2. На рис.2 приведены зависимости от времени величины зарядов на конденсаторах и тока, протекающего в цепи.

Подробный анализ данной задачи позволяет подойти к решению более сложного задания, предложенного на вступительных экзаменах в МФТИ.

Задача 2. В схеме, предложенной на рисунке, сначала замыкают ключ К₁ и после того, как конденсатор емкостью С₂ полностью зарядится от батареи с ЭДС E , ключ К₁ раз-

мыкают и замыкают ключ К₂. После замыкания ключа К₂ в схеме происходят свободные незатухающие колебания. Когда напряжение на конденсаторе емкостью С₁ достигает максимального значения, в него быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) вставляют диэлектрическую пластину, что приводит к увеличению его емкости в e раз.

1)Чему равен начальный ток в цепи после замыкания ключа К₂?

2)Определить максимальный ток в цепи после вставки пластины.

После замыкания ключа К₁ конденсатор С₂ заряжается до напряжения U= E , на его пластинах скапливаются заряды q₂₀ и -q₂₀, q₂₀=UC₂. После размыкания ключа К₁ источник ЭДС не играет роли в дальнейших процессах и промежуточный этап после замыкания ключа К₂ описывается найденными в задаче №1 соотношениями. Из зависимости зарядов q₁ и q₂ от времени следует, что а

За время, малое по сравнению с периодом колебаний, в процессе внесения в конденсатор C₁ диэлектрической пластины заряды на пластинах конденсаторов не могут измениться, т.к. до начала процесса ток в цепи равнялся 0,а максимальную скорость его изменения можно оценить из уравнения (3).

Она конечна, следовательно, сразу после внесения диэлектрической пластины ток в цепи по-прежнему будет равняться 0.

Колебания зарядов на конденсаторах после внесения диэлектрической пластины будут осуществляться около новых равновесных положений, определяемых условиями: Отсюда находим равновесные распределения зарядов: В момент времени, когда система проходит это равновесное положение, ток в цепи достигает своего максимального значения. Найдем величину этого тока из закона сохранения энергии электромагнитного поля в контуре в процессе колебаний после помещения в него диэлектрической пластины.

Данное уравнение относительно I_max является квадратным, одно из его решений I_max=0 соответствует тривиальному случаю отсутствия колебаний в контуре, а после упрощений можно найти и его второе, интересующее нас решение:

Следующие схемы предлагались на экзамене в МФТИ в качестве наиболее сложных задач.

Задача №3. В колебательном контуре, состоящем из двух последовательно соединенных катушек с индуктивностью L₁ и L₂ и конденсатора с емкостью С, происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитуда колебаний тока равна I₀. Когда сила тока в катушке L₁ максимальна, в неё быстро ( за время, малое по сравнению с периодом колебаний) вставляют сердечник, что приводит к увеличению её индуктивности в m раз.

1)Определить максимальное напряжение на конденсаторе до вставки сердечника.

2)Определить максимальное напряжение на конденсаторе после вставки сердечника.

Составим дифференциальное уравнение колебаний, описывающее поведение данной цепи. Все её элементы соединены последовательно, пусть ток , протекающий в цепи, будет i(t), выберем его направление так, как показано на рис.5. Пусть заряд на правой пластине конденсатора q, тогда j _N-j _M=q(t)/C; (1).

Падение напряжения на катушке L₁ равно 0, так как её активное сопротивление равно 0

( колебания в контуре по условию задачи незатухающие.)

Складывая уравнения (2) и (3) и учитывая (1), получаем уравнение (4), справедливое для любого момента времени до вставки сердечника. (4) Продифференцируем его по времени: Данное дифференциальное уравнение показывает, что колебания в контуре происходят по гармоническому закону, а квадрат частоты собственных колебаний равен . Максимальное напряжение на конденсаторе соответствует максимальному заряду на нем; учитывая, что в точках экстремума дифференцируемой функции q(t) её производная обращается в 0, получаем, что ток в этот момент в цепи равен 0.

По закону сохранения электромагнитной энергии в контуре:

, где U_max— максимальное напряжение на конденсаторе до вставки сердечника. Рассмотрим процесс введения в катушку L₁ сердечника. В это время конденсатор полностью разряжен, j _M=j _N.

j _M-j _F+e _{инд 1}=0, j _F-j _N+e _{инд 2}=0, тогда e _{инд 1}+e _{инд 2}=0, т.е. поскольку вставка сердечника происходит быстро и конденсатор всё это время остается незаряженным. Получаем равенство, вытекающее из сохранения магнитного потока в системе: (L₁+L₂) I_{max нач}=(m L₁+L₂)I_{max кон}. Следовательно, к моменту окончания вставки сердечника I_{max кон}= Тогда для максимального напряжения на конденсаторе после вставки сердечника имеем:

Дано дифференциальное уравнение изменения заряда

«Физика — 11 класс»

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Есть колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь.

Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии.
Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Полная энергия не меняется с течением времени, если сопротивление R контура равно нулю, тогда производная полной энергии по времени равна нулю.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

Физический смысл вышеприведенного уравнения состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля.
Знак «—» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

После вычисления производных в уравнении, получается

Производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени.
Тогда основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

Полученное уравнение ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения, описывающего колебания пружинного маятника.

Период свободных колебаний в контуре

Формула Томсона
В основном уравнении коэффициент представляет собой квадрат циклической частоты для свободных электрических колебаний:

Период свободных колебаний в контуре, таким образом, равен:

Эта формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.

Период свободных колебаний зависит от L и С.
При увеличении индуктивности L ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля.
А чем больше емкость С, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока.

Координата при механических колебаниях изменяется со временем по гармоническому закону:

Заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

где
q_m — амплитуда колебаний заряда.

Сила тока также совершает гармонические колебания:

где
I_m = q_mω₀ — амплитуда колебаний силы тока.
Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда.

Точно так же колебания скорости тела в случае пружинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими.
Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление, тем бо́льшим будет период колебаний.
При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут.
Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического и магнитного полей перейдет в тепло.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика