Уравнение движения материальной точки
Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.
Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.
Система отсчета. Системы координат
Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.
В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:
- сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
- цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
- на полярной плоскости с параметрами r , φ .
В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.
При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.
Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:
Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.
Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:
x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .
Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.
Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.
Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:
r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .
Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как
q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .
Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.
Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:
Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.
Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.
Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.
Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.
Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c
Найти: υ x ( t ) , S — ?
Решение
При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:
υ x = υ 0 x + a x t .
Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:
x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .
Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .
После подстановки данных в уравнение:
Определим точки, изобразим график:
υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5
Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:
Уравнение движения материальной точки
Вы будете перенаправлены на Автор24
Система отсчета. Системы координат
Под движением материальной точки в пространстве понимают изменение ее положения относительно некоторых тел с течением времени. В связи с этим можно говорить только о движении в некоторой системе отсчета.
Сами по себе точки пустого пространства неразличимы между собой, поэтому говорить о той или иной точке пространства можно, если в ней находится материальная точка. Ее положение и определяется относительно тела отсчета с помощью измерений, для чего с телом (телами) отсчета жестко связывается некоторая система координат; в ней и измеряются пространственные координаты. Например, на поверхности Земли это географическая широта и долгота точки.
В теоретических рассуждениях часто наиболее удобна декартова прямоугольная система координат, в которой положение точки определяется радиус-вектором $\overline
- сферической, где положение точки и ее радиус-вектор определены координатами $r,\vartheta ,\varphi $;
- цилиндрической: с координатами $p,z,\alpha $;
- на плоскости — полярной: $r,\varphi $.
В теоретических рассуждениях часто не принимают во внимание реальную систему отсчета, сохраняя только систему координат, которая и служит математической моделью системы отсчета, применяемой при измерениях на практике.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Итак, в любой системе отсчета и системе координат имеется возможность определить координаты материальной точки в любой момент времени.
Если положение материальной точки в каждый момент времени определено в данной системе отсчета, то движение ее задано или описано.
Это задание достигается в виде кинематического уравнения движения:
Аналитически положение точки всегда определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Этот факт выражают словами: свободная точка имеет три степени свободы движения.
Готовые работы на аналогичную тему
Движение точки согласно уравнению (1) полностью определено, если указано ее положение в любой момент времени $t$. Для этого достаточно задать декартовы координаты точки как однозначные и непрерывные функции времени:
Прямоугольные декартовы координаты $x,y,z$ являются проекциями радиус-вектора $\overline
Длина и направление вектора $\overline
Здесь, $\alpha ,\beta ,\gamma $ — углы, образованные радиус-вектором с координатными осями.
Равенства (2) являются кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах. Но уравнения могут быть записаны в любой другой системе координат, связанной с декартовой взаимно однозначным преобразованием. При движении точки в плоскости Оху часто бывает удобно пользоваться полярными коордиинатами $r,\varphi $, связанными с декартовыми преобразованием:
В этом случае кинематические уравнения движения точки имеют следующий общий вид:
$r=r(t),\varphi =\varphi (t)$. (3)
В криволинейных координатах $q_ <1>,q_ <2>,q_ <3>$ связанных с декартовыми преобразованием:
кинематические уравнения движения точки запишутся так:
(Это могут быть сферические, цилиндрические и другие координаты).
Годограф радиус-вектора точки, т.е. кривая, описываемая концом вектора $\overline
Движение точки может быть определено по-другому: заданием траектории и мгновенным положением точки на ней. Положение точки на кривой определяется указанием только одной величины — расстояния, измеряемого вдоль кривой от некоторой начальной точки. При этом должно быть указано положительное направление кривой. Тогда мгновенное положение точки на заданной кривой определяется функцией:
Это уравнение является уравнением движения точки по траектории. Такой способ задания движения называется естественным или траекторным.
Координатный и естественный способы задания движения точки физически (в смысле фиксации ее положения в пространстве)
эквивалентны. Что же касается математической стороны дела, то в одних задачах оказывается проще применение координатного, а в другом — естественного метода.
Закон движения точки по траектории может быть задан аналитически, графически или в виде таблицы. Оба последних способа широко применяются на транспорте (например, графики и расписания движения поездов).
Уравнение движения материальной точки имеет вид $x=0,4t^ <2>$. Написать формулу зависимости $v_
Решение: Зависимость скорости от времени имеет вид:
Запишем уравнение зависимости координаты от времени и сравним его с данным:
Из сравнения видно, что $x_ <0>=0$, $v_ <0x>=0$, $a_
Подставим полученные данные в уравнение скорости и получим:
Определим точки и построим график:
Путь, пройденный телом, численно равный площади фигуры, ограниченной графиком и может быть найден по следующей формуле:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 07 2021
Теоретическая механика:
Кинематика точки
Смотрите также решения задач по теме «Кинематика точки» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.
В этой главе в основном рассмотрены методы решения задач, в которых закон движения точки выражен так называемым естественным способом: уравнением s=f(t) по заданной траектории *.
* Решения задач, в которых закон движения задан координатным способом, рассмотрены в конце главы (§ 31).
В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки но заданной траектории, являются: s – расстояние от заданного начального положения и t – время.
Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью (v на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:
v = ds/dt или v = f'(t).
Ускорение a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость – вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.
Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением at – составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).
Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
at = dv/dt или at = f»(t).
Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением an – составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).
Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
an = v 2 /R,
где v – модуль скорости точки в данный момент;
R – радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.
После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a ( полное ускорение точки ).
Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора:
a = sqrt(at 2 + an 2 ).
Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:
sin α = an/a; cos α = at/a; tg α = an/at.
Но можно сначала определить направление полного ускорения a использовав формулу tg α = an/at,
а затем найти числовое значение a:
a = an/sin α или a = at/cos α.
Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.
Наличие касательного ускорения (at≠0) или его отсутствие (at=0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.
Наличие нормального ускорения (an≠0) или его отсутствие (an=0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.
Движение точки можно классифицировать так:
а) равномерное прямолинейное (at = 0 и an = 0);
б) равномерное криволинейное (at = 0 и an ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (at ≠ 0 и an = 0);
г) неравномерное криволинейное (at ≠ 0 и an ≠ 0).
Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.
Степень неравномерности движения точки задана уравнением s=f(t), а вид траектории задается непосредственно.
§ 27. Равномерное прямолинейное движение точки
Если at=0 и an=0, то вектор скорости остается постоянным (v=const), т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным .
Уравнение равномерного движения имеет вид
(а) s = s0 + vt
или в частном случае, когда начальное расстояние s0=0,
(б) s = vt.
В уравнение (а) входит всего четыре величины, из них две переменные: s и t и две постоянные: s0 и v. Поэтому в условии задачи на равномерное и прямолинейное движение точки должны быть заданы три любые величины.
При решении задач необходимо выяснить все заданные величины и привести их к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы: расстояние s измеряется в м, время t – в сек, скорость v – в м/сек.
§ 28. Равномерное криволинейное движение точки
Если at = 0 и an ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное
an = v 2 /R,
где R – радиус кривизны траектории.
В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный:
R = r = const,
а так как и числовое значение скорости постоянно, то
an = v 2 /r = const.
При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы
v = (s — s0)/t или v = s/t.
Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r – диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид
v = 2πr/T = πd/T.
§ 29. Равнопеременное движение точки
Если вектор at=const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то an=0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным .
Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
at = dv/dt = f'(t) = const,
то an≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным .
При |at|>0 движение точки называется равноускоренным , а при |at| равнозамедленным .
Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
(1) s = s0 + v0t + att 2 / 2.
Здесь s0 – расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v0 – начальная скорость и at – касательное ускорение – величины численно постоянные, a s и t – переменные.
Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения
(2) v = v0 + att.
Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s0, v0, at и три переменные: s, v, t.
Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).
Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны at и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:
после исключения at из (1) и (2)
(3) s = s0 + (v + v0)t / 2;
после исключения t из (1) и (2)
(4) s = s0 + (v 2 — v0 2 ) / (2at).
В частном случае, когда начальные величины s0=0 и v0=0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:
(5) s = att 2 / 2;
(6) v = att;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2at).
Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) – вспомогательными.
Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением . К этому движению применимы формулы (5)–(8), причем
at = g = 9,81 м/сек 2 ≈ 9,8 м/сек 2 .
§ 30. Неравномерное движение точки по любой траектории
§ 31. Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме
Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).
Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:
x = f1(t);
(1) y = f2(t);
z = f3(t);
Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями:
(2) x = f1(t);
y = f2(t);
Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме .
Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).
Если закон движения точки задан в координатной форме, то:
а) траектория плоского движения точки выражается уравнением
y = F(x),
которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;
б) числовое значение скорости точки находится из формулы
v = sqrt(vx 2 + vy 2 )
после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат
vx = dx/dt и vy = dy/dt;
в) числовое значение ускорения находится из формулы
a = sqrt(ax 2 + ay 2 )
после предварительного определения проекций ускорения на оси координат
ax = dvx/dt и ay = dvy/dt;
г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.
§ 32. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории
При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R – кривизну ) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу
an = v 2 /R,
выражающую числовое значение нормального ускорения.
Скорость v точки определяется по формуле
(б) v = sqrt(vx 2 + vy 2 ).
Числовое значение нормального ускорения an входит в выражение полного ускорения точки
a = sqrt(an 2 + at 2 ),
откуда
(в) an = sqrt(a 2 — at 2 ),
где квадрат полного ускорения
(г) a 2 = ax 2 + ay 2
и касательное ускорение
(д) at = dv/dt.
Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями
x = f1(t);
y = f2(t),
то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:
1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:
vx = f1‘(t);
vy = f2‘(t).
2. Подставив в (б’) выражения vx и vy, найти v 2 .
3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б’), найти касательное ускорение at, а затем at 2 .
4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения
ax = f1»(t) = vx‘;
ay = f2»(t) = vy‘.
5. Подставив в (г) выражения ax и ay, найти a 2 .
6. Подставить в (в) значения a 2 и at 2 и найти an.
7. Подставив в (а) найденные значения v 2 и an, получить радиус кривизны R.
http://spravochnick.ru/fizika/dinamika/uravnenie_dvizheniya_materialnoy_tochki/
http://exir.ru/termeh/kinematika_tochki.htm