№83. Уравнение координаты материальной точки имеет вид х = 24 + 10t — t 2 , величины измерены в единицах СИ.
№83. Уравнение координаты материальной точки имеет вид х = 24 + 10t — t 2 , величины измерены в единицах СИ.
№а) Опишите характер движения. .
№б) Найдите начальную координату.
№в) Найдите проекцию начальной скорости, модуль и направление вектора начальной скорости.
№г) Найдите проекцию ускорения, модуль и направление вектора ускорения.
№д) Напишите уравнения зависимости vх(t) и ах(t) и постройте их графики.
№е) Найдите скорость тела через 2 с и 4 с после начала движения. Результат объясните.
№ж) Найдите перемещение тела за 10 с.
№3) Найдите путь, пройденный телом за 10 с.
№и) Постройте график зависимости координаты от времени.
№к) Постройте график зависимости пути от времени.
скорость с течением времени уменьшается, т. к. а
∀ x, y, z
Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи ≫ Уравнение координаты материальной точки
Уравнение координаты материальной точки
Сообщения: 4 🔎
# 31 Мар 2015 13:02:27 Света
Помогите решить задачу.
Уравнение координаты материальной точки имеет вид , где величины измерены в единицах СИ.
а) Опишите характер движения точки. б) Найдите начальную координату, модуля и направление начальной скорости, модуль и направление ускорения. в) Напишите уравнение зависимости проекции скорости от времени движения. г) Напишите уравнение зависимости проекции ускорения от времени. д) Постройте графики скорости и ускорения от времени. е) Найдите координату тела через 3 с. ж) Найдите перемещение тела за 3 с. з) Найдите путь, пройденный телом за 3 с.
# 31 Мар 2015 15:23:08 Evgeniy
Общее уравнение равноускоренного движения имеет вид , где — начальная координата, — скорость, — ускорение.
а) Опишите характер движения точки.
Равноускоренное движение, так как скорость равномерно растет со временем.
б) Найдите начальную координату, модуля и направление начальной скорости, модуль и направление ускорения.
Начальные координата , модуль скорости , при этом скорость направлена вдоль положительного направления оси .
в) Напишите уравнение зависимости проекции скорости от времени движения.
г) Напишите уравнение зависимости проекции ускорения от времени.
— ускорение не изменяется со временем.
д) Постройте графики скорости и ускорения от времени.
График скорости .
График ускорения .
е) Найдите координату тела через 3 с.
ж) Найдите перемещение тела за 3 с.
з) Найдите путь, пройденный телом за 3 с.
Начиная с и до скорость не меняет знак, то есть не меняет направление, поэтому путь равен модулю перемещения .
# 31 Мар 2015 15:30:27 Света
# 31 Мар 2015 15:43:32 Evgeniy
Начиная с и до скорость положительная, то есть точка движется вдоль оси . В момент времени скорость , то есть точка останавливается. С момента точка начинает двигаться в обратном направлении. Чтобы найти пройденный путь, нужно сложить модуль перемещения точки с момента времени до и модуль перемещения с момента времени до .
Перемещение начиная с и до равно . Его модуль .
Перемещение с момента времени до равно . Его модуль .
Пусть за время с до равен сумме модулей .
Путь также можно найти графически, считая площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, вертикальными прямыми, соответствующими моментам времени и , а также осью абсцисс. На графике эта фигура закрашена голубым цветом и состоит из двух треугольников площадью 4,5 каждый.
Уравнение движения материальной точки
Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.
Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.
Система отсчета. Системы координат
Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.
В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:
сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
на полярной плоскости с параметрами r , φ .
В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.
При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.
Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:
Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.
Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:
x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .
Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.
Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.
Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:
r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .
Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как
q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .
Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.
Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:
Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.
Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.
Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.
Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.
Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c
Найти: υ x ( t ) , S — ?
Решение
При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:
υ x = υ 0 x + a x t .
Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:
x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .
Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .
После подстановки данных в уравнение:
Определим точки, изобразим график:
υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5
Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы: