Дано уравнение вероятность того что корни действительные
Случайное квадратное уравнение
Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2bx + c = 0 вещественны?
Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b, c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B (рис. 1). Решим задачу при фиксированном B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.
Рис. 1. Серая область отвечает случаю вещественных корней
Для того чтобы уравнение имело вещественные корни, необходимо и достаточно, чтобы b 2 — c ≥ 0.
На приведенном рисунке изображена парабола b 2 = c и показана область, где наше уравнение имеет вещественные корни для B = 4.
Нетрудно подсчитать, что площадь незаштрихованной области равна 4/3∙B 3/2 (при B ≥ 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B 2 . Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/3∙√ B . При B = 4 ответ равен 1/6. С ростом B 1/√ B стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.
Следует заметить, что эта задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением ax 2 + 2bx + c = 0. Конечно, можно разделить на a, но если a, b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b/a и c/a уже зависимы и распределены неравномерно.
Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.
Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди «Не укради»
Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?
Коэффициенты р и q квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 выбирают наудачу на отрезке [0; 2]. Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?
Решение. Обозначим событие: А – корни данного уравнения будут действительными числами. Найдем вероятность события А, применив формулу р(А) =mesD/mesΩ. Пусть коэффициенты р и q квадратного уравнения ‒ наудачу взятые числа. Их возможные значения: 0 2 – 4q > 0, откуда следует, что q ≤ р 2 / 4.
Построим границы области, которой принадлежат точки плоскости, удовлетворяющие условиям:
Граничные прямые р = 0, р = 2, q = 0, q = 2 являются сторонами квадрата, ограничивающего область возможных значений р и q. Граничная кривая q = р 2 /4 представляет собой параболу. Решениями составленной системы неравенств являются координа-ты всех точек плоскости, расположенных на рис. 1.14 заштрихованной области, то есть между граничными линиями р = 0, q = 2, q = р 2 /4 и на самих этих линиях. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятст-вующие событию А. Площадь заштрихованной области равна
Таким образом, вероятность события А равна р(А) = Sg / SG = 1 / 6.
Геометрическая вероятность
Пример №1 . Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа x и y. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Решение. Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2] пары чисел x и y. Будем это интерпретировать как выбор наудачу точки M(x;y) из множества всех точек квадрата, сторона которого равна двум. Рассмотрим фигуру Ф, представляющую собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют системе неравенств x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Интересующее событие происходит тогда и только тогда, когда выбранная точка M(x;y) принадлежит фигуре Ф. По формуле (8) искомая вероятность равна отношению площади фигуры Ф к площади квадрата:
Пример №2 . Двое договорились о встрече в определенном месте. Каждый из них приходит в условленное место независимо друг от друга в случайный момент времени из [0;T] и ожидает не более чем время . Какова вероятность встречи на таких условиях? Решение. Обозначим через x время прихода первого в условленное место, а через y — время прихода туда второго лица. Из условия вытекает, что x и y независимо друг от друга пробегают промежуток времени [0;T]. Испытание состоит в фиксации времени прихода указанных лиц к месту встречи. Тогда пространство элементарных исходов данного испытания интерпретируется как совокупность всех точек M(x;y) квадрата Ω=<(x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T>. Интересующее нас событие A — “встреча произошла” наступает в том и только том случае, когда выбранная точка M(x;y) окажется внутри фигуры Ф, представляющей собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству |x – y| ≤ t. По формуле (8) искомая вероятность представляет собой отношение площади фигуры Ф к площади квадрата Ω:
Пример №3 . На отрезке l наугад выбраны две точки. P(0 k-l
Пример №4 . В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что любое ее расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a. Решение. Вероятность того, что точка окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной а будет равна отношению площади квадрат к площади круга. Площадь квадрата: Sкв = a 2 . Площадь круга: S = πr 2 Тогда вероятность составит: p = Sкв / S = a 2 / πr 2
Пример №5 . С промежутке [0, 4] выбирают наугад два действительных числа. Найдите вероятность того, что их сумма будет больше 4, а произведение — меньше 4. Решение. Всего чисел 5: 0,1,2,3,4. Вероятность их появления p=1/5 = 0.2 а) вероятность того, что их сумма будет больше 4 Всего количество таких исходов равно 8: 1+4, 2+3, 2+4, 3+4 и 4+1, 3+2, 4+2, 4+3 P = 0.2*0.2*8 = 0.32 б) произведение — меньше 4. Всего количество таких исходов равно 13: 0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 и 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3*1 P = 0.2*0.2*13 = 0.52
Задачи для самостоятельного решения 4.3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 45-м и 50-м километром линии? (Вероятность обрыва провода в любом месте считать одинаковой). Ответ: 1/6.
4.4. В круг радиуса r наугад брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в данный круг правильного треугольника. Ответ:
4.5. Найдите вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно. Ответ: 0;25.
4.6. Во время боевой учебы н-ская эскадрилья бомбардировщиков получила задание атаковать нефтебазу “противника”. На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Найдите вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно. Ответ: π/15.
4.7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность, что сумма квадратов этих чисел окажется больше 64? Ответ: 0;36.
4.8. Двое друзей условились встретиться между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определите вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны. Ответ: 5/9.
4.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго — двум часам. Ответ: ≈ 0;121.
4.10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найдите вероятность того, что произведение x · y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух. Ответ: ≈ 0;38.
4.11. В области G, ограниченной эллипсоидом , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты (x; y; z) этой точки будут удовлетворять неравенству x 2 +y 2 +z 2 ≤4? Ответ: 1/3.
4.12. В прямоугольник с вершинами R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) брошена точка. Найдите вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8. Ответ: 2/3.
4.13. Область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25, а область g — этой окружностью и параболой 16x — 3y 2 > 0. Найдите вероятность попадания в область g. Ответ: ≈ 0;346.
4.14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найдите вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x · y не меньше 0,09. Ответ: ≈ 0;198.
. Какова вероятность встречи на таких условиях?