Примеры решений задач по теории поля
В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):
Примеры: базовые понятия теории поля
Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.
Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $\overline=(3x-y) \overline+(6z+5x) \overline
Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля
Поток поля через поверхность
Циркуляция векторного поля
с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).
Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ \overline
Работа векторного поля
Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.
Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $\overline
Типовой расчет по теории поля
Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.
$$ \overline
Помощь с решением заданий
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Дано векторное поле a и уравнение плоскости
Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут
Неправильный логин или пароль.
Укажите электронный адрес и пароль.
Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.
Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.
Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль
Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.
Поток векторного поля: теория и примеры
Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.
Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле
и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали . Пусть также направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z точки M.
Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл
.
Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор . Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода
.
.
поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода
.
Направление и интенсивность потока векторного поля
Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.
Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.
Если поток векторного поля — поле скорости частиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции , то поверхностный интеграл называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл выражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля через поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) — температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл .
Вычисление потока векторного поля: примеры
Пример 1. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy — треугольник AOB .
Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:
.
Длина вектора нормали:
.
Единичный вектор нормали:
.
Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус . Тогда .
Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:
Выразим переменную «зет»:
Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:
Получили ответ: поток векторного поля равен 64.
2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем
.
Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:
Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или . По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:
Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:
Осталось только сложить все три интеграла:
.
Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.
Пример 2. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.
1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так:
.
Длина этого вектора:
,
единичный вектор нормали (орт):
.
Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:
Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода
.
Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:
2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:
.
Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.
Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
Вычисляем третий интеграл:
Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:
.
Пример 3. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону параболоида в первом октанте, отсечённую плоскостью z = 9 .
Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:
Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
В сумме получаем искомый поток векторного поля:
.
http://reshka.feniks.help/vysshaya-matematika/integraly/dano-vektornoe-pole-i-ploskost
http://function-x.ru/fields_stream.html