Даны дифференциальные уравнения состояния определить передаточную функцию объекта

Контрольная работа: Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

а) ; б).

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:

Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).

Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A(s) =.

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:

, и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y , x и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:

Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).

Если обозначить передаточные функции объекта как

и ,

то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

Характеристическая функция имеет вид:

а характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения равны:

и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

2. Дана передаточная функция вида:

Зная, что по определению, , получим:

, тогда:

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

Практическая работа № 2

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

— передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

— передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

— коэффициенты усиления АСР,

Р — ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:

Определим передаточную функцию объекта:

W об( s ) .

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Характеристическое выражение замкнутой системы:

;

Передаточные функции замкнутой системы:

— по заданию;

— по ошибке;

— по возмущению.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Практическая работа № 3

По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек

Пример 6. Определить передаточную функцию объекта регулирования, модель которого задана дифференциальным уравнением

Введем в уравнение оператор Лапласа – s и вынесем yиu за скобки.

Делим многочлен правой части дифференциального уравнения на многочлен левой части, получаем выражение передаточной функции

Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1. Составить структурную схему по дифференциальному уравнению объекта и определить передаточную функцию (по примерам 5 и 6)

Название: Передаточные функции одноконтурной системы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 21:52:15 24 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 508 Комментариев: 14 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

1	3y (3) +6y (2) — 3y = u (2) — 2u (1) + u	10	3y (3) +3y (2) + 2y (1) -y = — 4u (1) + u
2	y (3) — 3y (2) + 2y (1) + 5y = 3u (2) + u	11	5y (3) — 5y = 3u (2) -2u (1) + u
3	-2y (3) + 4y (2) +2y (1) -5y = u (2) — 3u (1) + u	12	4y (3) -3y (2) + 6y (1) + 2y = 3u (2) -2u (1)
4	3y (3) — 4y (2) + 2y (1) =3u (2) — u (1)	13	12y (3) + 4y (2) + 3y (1) + 2y = 3 u
5	5y (3) — 7y (2) — 3y (1) = 2u (2) — u	14	6y (3) — 4y (2) +-2y (1) = 6u (2) — 3u (1) + u
6	-3y (3) + 4y (2) + 6y (1) + 5y = -3 u	15	8y (3) +3y (2) — 3y = -5u (2) — 3u (1) + u
7	2y (3) — 4y (2) + 5y = — 3u (1) + u	16	3y (3) + 3y (1) + 5y = 5u (2) +2u (1) + u
8	6y (3) -+y (2) -y (1) = — 3u (1) + u	17	-4y (3) + 4y (2) -2y (1) + 7y = 5 u
9	— 4y (2) + 3y (1) + 5y = — 2u (1) + u	18	3y (3) — 2y (2) — 3y (1) = u (2) — 4u (1) +2 u

Задание 2

Преобразовать структурную схему и определить эквивалентную передаточную функцию. Варианты заданий приведены в таблице 1. (смотреть примеры 1-4)

Таблица 1.1. Варианты заданий по теме «Структурные схемы»

Продолжение таблицы 1.1. Варианты заданий

Задание 3. (без вариантов заданий, общее). Записать в общем виде главную передаточную функцию системы (рис. 1.47).

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА – теоретическая часть

Общие сведения

В ТАУ основным инженерным методом решения дифференциальных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени, является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменяет более простыми алгебраическими операциями умножения и деления.

Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

1. На первом этапе производят прямое преобразование X ( s ) = L – от функции времени переходят к функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ.

Здесь ω = 2π f – это известная из электротехники круговая частота, рад/с.

2. Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят собственные значения системы, т. е. корни характеристического уравнения D ( s ) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты числителей простых дробей, на которые в соответствии с собственными значениями разлагается реакция.

3. В конце вычислений выполняют обратное преобразование Лапласа x ( t ) = L -1 – от функции переменной s возвращаются к функции переменной t.

Общее обозначение описанных операций x ( t )÷ X ( s ), где слева строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа, прописной буквой – функция комплексного переменного (изображение), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не равенства, что будет являться грубой ошибкой!).

Таблица 2. Таблица соответствия оригиналов и изображений

Оригинал x(t)

импульсная функция k ∙δ(t) – простой нулевой кореньскачок k∙1(t) или просто k – кратный нулевой кореньk ∙t n – степенной ряд от t – простой действительный корень – экспонента – кратный действительный корень , при n > 1 – сопряженные мнимые корниk∙sinωt – гармоническая функция – сопряженные мнимые корниk∙cosωt – гармоническая функция
сопряженные комплексные корни
, объединенные в одну дробь ,
а) предпочтительная форма б) через синус в) через косинус
сопряженные комплексные корни
перед d ставят плюс, если знаки мнимых частей изображения в числителе и знаменателе совпадают (как показано), и минус в противном случае
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен.
Некоторые типовые входные и их изображения:
единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X ( s ) = ,
дельта-функция X ( s ) = 1,
линейное воздействие X(s) = .
Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.
Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала, согласно таблице 2, имеет вид X(s) = .
Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):
s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s×X(s) + 12×X(s),
s 2 ×Y(s) + 5×s×Y(s) + 6×Y(s) = 2×s + 12 ,
Y(s)×(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2×s + 12.
Определяется выражение для Y:
.
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s ( s + 2)( s + 3):
= = — + .
Теперь, используя табличные функции (см. табл. 2), определяется оригинал выходной функции:
y(t) = 2 — 4 . e -2 t + 2 . e -3 t .
При решении ДУ с использованием преобразований Лапласа часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей. Существуют два пути решения этой задачи:
— путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,
— путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.
Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:
шаг 1 – определяются корни знаменателя s_i (знаменатель дроби приравнивается к нулю и решается полученное уравнение относительно s);
шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида , где М _i – неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью n , то ему ставится в соответствие n дробей вида ;
шаг 3 – определяются коэффициенты k_i по одному из вариантов расчета.
Продолжение метода:
Даны дифференциальные уравнения состояния определить передаточную функцию объекта
Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем
Выше были рассмотрены два вида моделей многомерной системы. Установим связь между этими двумя видами. Так как исходной базой для математических моделей являются дифференциальные уравнения, то логичным будет определить связь уравнений состояния с передаточными матрицами САУ. Для этого применим преобразование Лапласа к уравнениям состояния и выхода
при нулевых начальных условиях, заменим оригиналы переменных изображениями по Лапласу и получим систему векторно-матричных операторных уравнений
Определим связь между вектором входа и векторами состояния и выхода. Из первого уравнения системы (3) имеем
и если матрица не вырожденная, то есть , получим
Откуда следует, что
Подставив (4) в (3), получаем
,
В результате получаем
Вспомним, что компонентами эквивалентных матриц являются передаточные функции системы. Следовательно, выражения (5) и (6) представляют собой универсальные формулы для вычисления всех необходимых для анализа передаточных функций многомерной системы, по которым могут быть получены структурные схемы и частотные характеристики.
Заметим, что каждый элемент эквивалентных матриц (передаточных функций) имеет, по определению обратной матрицы, сомножитель
То есть полином является общим знаменателем для всех передаточных функций, а уравнение
является характеристическим уравнением системы.
Таким образом, мы не только получили связь между математическими моделями во временной и частотной областях, но и универсальные выражения для определения передаточных функций и характеристических уравнений любых линейных объектов или систем управления. Исходными параметрами для выражений (5),(6) и (7) являются матрицы параметров уравнений состояния и выхода. Выполнить преобразования (5),(6) и (7) можно с помощью компьютера, имеющего программы символьной математики, на пример, такие, как Mathematica 3.0 (4.0), разработанные Wolfram Research. в системах второго и третьего порядка эти преобразования можно производить и вручную.
Рассмотрим несколько примеров получения и преобразования моделей.
Рассмотрим объект, принципиальная электрическая схема которого показана на рис. 1.
Выполним для этого объекта следующие задачи:
Получить уравнение состояния.
Определить характеристическое уравнение объекта.
Определить передаточную матрицу объекта.
Получение уравнения состояния
Запишем дифференциальные уравнения, описывающие процессы в схеме
Зададим векторы состояния и входа:
Получаем, что . Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:
Раскроем в (9) матричные скобки:
Приведем систему уравнений (8) к виду (10), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:
Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния
.
Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид
Определение характеристического уравнения объекта
Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (11), используя выражение (7)
Подставив в (12) выражения для матрицы параметров и единичной матрицы , получим характеристическое уравнение
Определение передаточной матрицы объекта
Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:
Матрица может быть определена из (13)
.
Определим обратную матрицу, помня о том, адъюнкт исходной матрицы представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы, а алгебраические дополнения определяются для каждого элемента исходной матрицы по следующему выражению
,
где минор исходной матрицы, полученный вычеркиванием ой строки и -го столбца.
.
Следовательно, получаем передаточные функции объекта
.
Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (с постоянными магнитами) как объект управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений
где напряжение, подаваемое на двигатель, скорость и ток двигателя, параметры двигателя, соответственно момент инерции, сопротивление и индуктивность обмотки якоря, конструктивный коэффициент.
Получение уравнения состояния
Зададим векторы состояния и входа:
Получаем, что . Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:
Раскроем в (16) матричные скобки:
Приведем систему уравнений (15) к виду (17), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:
Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния в развернутой форме
.
Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид
Определение характеристического уравнения объекта
Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (18), используя выражение (7)
Подставив в (19) выражения для матрицы параметров и единичной матрицы , получим характеристическое уравнение
Определение передаточной матрицы объекта
Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:
Матрица может быть определена из (20)
.
Определим обратную матрицу
.
Следовательно, получаем передаточные функции объекта
Контрольные вопросы и задачи
Поясните, как связаны между собой модели во временной и частотной области?
Как определить по уравнению состояния характеристическое уравнение?
Как определить по уравнению состояния матрицу передааточных функций системы?
По уравнению состояния
,
описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы.
.
По уравнению состояния
,
описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы.
.
По уравнению состояния
,
описывающему многомерную систему, определить матрицу передаточных функций системы.
.

источники:
http://megaobuchalka.ru/17/40072.html
http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/15.html