Задача 17886 Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7).
Условие
Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
Решение
Уравнение прямой АВ составим как уравнение прямой, проходящей через две точки:
(х-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))
Составим уравнение прямой AN
A(3; –1),N(4; –1)
Так как вторые координаты одинаковые, то значит прямая AN характеризуется тем свойством, что на ней расположены точки, у которых вторая координата равны -1.
Уравнение такой прямой имеет вид:
у=-1
Прямая ВС перпендикулярна прямой АN, значит уравнение этой прямой имеет вид
х=с ( с- константа)
Значит прямая ВС характеризуется тем свойством,что на ней расположены точки, у которых первая координата одинаковая.
Так как у точки В первая координата 5, то значит с=5
х=5 — уравнение прямой ВС.
Уравнение прямой ВN — уравнение прямой, проходящей через две точки:
(х-x_(B))/(x_(N)-x_(B))=(y-y_(B))/(y_(N)-y_(B))
(х-5)/(4-5)=(y-7)/(-1-7)
-8*(x-5)=-1*(y-7)
8x+y-47=0 — уравнение прямой BN.
Прямая АС перпендикулярна BN и проходит через точку А.
Если прямые у=k1x+b1 и y=k2x+b2 перпендикулярны, то
k1*k2=-1
y=(1/8)x+b — уравнение прямых, перпендикулярных BN.
Чтобы выделить из них прямую AC, подставим координаты точки А и найдем b.
y=(1/8)x-(11/8) или умножим на 8
8у=х-11
х-8у-11=0 — уравнение прямой АС
О т в е т.
4х-у-13=0 — уравнение прямой АВ
х-8у-11=0 — уравнение прямой АС
х=5 — уравнение прямой ВС
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. источники: http://www.treugolniki.ru/uravnenie-vysoty-treugolnika/ http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik |