Даны две высоты найти уравнение третьей

Даны две высоты найти уравнение третьей

Даны уравнения высот треугольника 2x — 3y + 1 = 0 и x + y = 0 и координаты одной из его вершин A(1, 2). Найти уравнения сторон треугольника.

Точка A(1, 2) не принадлежит данным в условии высотам треугольника, так как ее координаты не удовлетворяют их уравнениям: и . Отсюда следует, что высоты, данные в задаче, проведены из двух других вершин треугольника B и C (см. рисунок)

Назовем их CD и BE, CD AB, BE AC. Пусть высота CD имеет уравнение x + y = 0, а уравнение высоты BE 2x — 3y + 1 = 0. Так как AC BE, то уравнение AC мы найдем из уравнения семейства прямых, перпендикулярных BE, приняв во внимание, что искомая прямая проходит через данную точку A(1, 2).

Сторона AC имеет уравнение 3x + 2y — 7 = 0. Уравнение прямой AB найдем, как уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) перпендикулярно CD. Оно имеет вид

Теперь следует найти координаты точек B и C:

Уравнение стороны BC 2x + 3y + 7 = 0.

Таким образом, уравнения всех трех сторон треугольника найдены.

Даны уравнения 2х высот треугольника АВС: х+у-2=0 9х-3у-4=0, координаты вершины А (2;2), составить уравнение сторон

1. Т. к. координаты точки А не удовлетворяют ни одному из данных уравнений высот, то эти высоты проходят через точки В и С и перпендикулярны сторонам АВ и АС
2. Чтобы найти уравнения сторон АВ и АС нам достаточно найти хоть один вектор, перпендикулярный данным сторонам. Т. к. высоты перпендикулярны сторонам АВ и АС, то любой вектор, принадлежащий данной высоте перпендикулярен соответствующей стороне
3. Найдем векторы, принадлежащие прямым:
х+у-2=0 и 9х-3у-4=0
Выразим:
x = 2 — y;
y = 3x — 4/3
Чтобы найти первую точку положим х = 0:
у = 2
у = -4/3
Итак мы нашли по одной точке на каждой из высот:
(0, 2) и (0, -4/3)
Найдем еще две точки. Для этого положим у = 0:
х = 2
х = 4/9
Итак мы нашли еще две точки на данных прямых:
(2, 0) и (4/9, 0)
Найдем координаты векторов, принадлежащих данным прямым (высотам) :
N1(2,-2) и N2(4/9, 4/3)
4. Теперь у нас есть все, чтобы найти уравнения прямых АВ и АС: т. е. векторы N1 и N2, перпендикулярные этим прямым и точка А, лежащая на данных прямых.
Строим общее уравнение прямых:
АВ: 2х — 2у + K = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 + M = 0
Чтобы найти коэффициенты К и М подставим в уравнения координаты точки А:
4 — 4 + K = 0
K = 0
8/9 + 8/3 + M = 0
M = — 32/9
Окончательно получаем уравнения прямых АВ и АС:
AB: 2x — 2y = 0
AC: 4x/9 + 4y/3 — 32/9 = 0
Упростим уравнение стороны АС умножив его на 9:
4x + 12y — 32 = 0
5. Найдем точки В и С. Точка В находится на пересечении прямых 2x + 2y — 8 = 0 и х+у-2=0.
Решая совместно систему:
2x — 2y = 0
х+у-2=0.
Получим: х = 1, у = 1
Т. е. точка В имеет координаты (1, 1)
Аналогично из системы:
4x + 12y — 32 = 0
9х — 3у — 4 = 0
Найдем координаты точки С (1.2, 2.66)
6. Найдем каноническое уравнение прямой ВС. Для этого найдем координаты вектора ВС:
ВС (0.2, 1,66)
Используя координаты точки В и координаты вектора ВС построим уравнение стороны ВС:
(x — 1)/0.2 = (y — 1)/1.66
Вот и все. Уравнения всех трех сторон найдены.
Успехов!

Задача 61352 даны две вершины треугольника M 1 (10;2).

Условие

даны две вершины треугольника M 1 (−10;2) и , M 2 (6;4) и высоты его пересекаются в точке N (5;2) . Найти координаты третьей вершины. Составить уравнения сторон этого
треугольника.

Решение

Составляем уравнение высоты
М_(1)N:
[b]y=2[/b]

Сторона M_(2)M_(3) ⊥ высоте М_(1)N:
Ее уравнение:
[b]x=6[/b]

Составляем уравнение стороны М_(1)M_(2),
как прямой, проходящей через две точки

( cм. скрин 1)
Составляем уравнение высоты M_(3)N ⊥ М_(1)M_(2),

проходящей через точкy N

Подставляем координаты точки N

Находим координаты точки M_(3) — точки пересечения высоты M_(3)N y=-8x+42 и стороны M_(2)M_(3) :[b]x=6[/b]

M_(3) (6;-6)