Даны противоположные вершины квадрата составить уравнения его сторон

Даны противоположные вершины квадрата составить уравнения его сторон

Для начала сделаем предположительное построение квадрата. Пусть точка В лежит сверху, а D снизу.

Мы видим, что диагональ BD – не перпендикулярна оси х , а немного отклонена. Обозначим угол отклонения за a .

Теперь рассмотрим угол b — угол между АВ и осью х. Если бы диагональ BD была перпендикулярна оси х , то угол b был бы равен 45 ° , но BD отклонена на угол a , значит, угол b = 45 ° — a . Коэффициент k в уравнении стороны АВ равен tg b . По формуле тангенса разности находим tg b = tg (45 ° — a ) = ?. Необходимо заметить, что сторона CD параллельна стороне АВ и имеет с осью х аналогичных угол. Уравнения этих сторон различны лишь свободным членом. Запишем эти уравнения

у_АВ=3/4х+ b_AB для нахождения свободного члена необходимо подставить значения любой точки этой прямой. У нас она одна известна — это точка А. Подставим значения и получим, что b_AB = 15/4.

у _CD =3/4х+ b_CD аналогично и тут только подставляем значения любой точки этой прямой то есть точки С. Подставим значения и получим, что b_CD = 5/2.

Теперь обратимся к сторонам BC и AD . Они параллельны, то есть образуют с осью х одинаковый угол. Обозначим его за g (гамма). Угол g смежен с углом q ( тетта ), то есть g = 180 ° — q . А угол q в свою очередь равен q = 90 ° — b , подставим и получим g = 90 ° + b

Коэффициент k в уравнении сторон BC и AD равен tg g . tg g = tg (90 ° + b ) = — ctg b = -4/3

Запишем эти уравнения

у _AD =-4/3х+ b_AD для нахождения свободного члена необходимо подставить значения любой точки этой прямой. У нас она одна известна — это точка А. Подставим значения и получим, что b_AB = 5/3.

y_BC =-4/3х+ b_BC аналогично и тут только подставляем значения любой точки этой прямой то есть точки С. Подставим значения и получим, что b_CD = 10.

Даны противоположные вершины квадрата составить уравнения его сторон

Даны две противоположные вершины квадрата A(2, 1) и C(4, 5). Найти две другие.

Надо найти числа x₂, y₂ и x₄, y₄. Для определения каждой пары этих чисел необходимы два уравнения, связывающие их.

Первое из них найдем, определив расстояние AB и приравняв его к расстоянию BC (AB = BC, так как стороны квадрата равны между собой):

Отсюда следует, что

Возводя обе части этого равенства в квадрат, после упрощений получим первое уравнение, связывающее x₂ и y₂, x₂ + 2y₂ = 9.

Помогите, пожалуйста, решить задачу по геометрии.

1. Даны две противоположные вершины квадрата А (1;3) и С (-1;1). Найти коорди-наты В и D.

2.Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = х — 2 и 5у = х + 6. Его диа-гонали пересекаются в начале координат. Написать уравнения диагоналей.

1) Уравнение диагонали АС:
(у-ус) /(уА-уС) = (х-хС) /(хА-хС)
(у-1)/2 = (х+1)/2
у = х+2
Диагональ BD перпендикулярна АС (угловой коэффициент равен -1) и проходит через середину АС, т. е. через точку О (0;2).
Уравнение диагонали BD
y = 2 — х
Искомые координаты вершин могут быть найдены, например, из условий
АO=OВ и AO=OD
(1-0)^2 + (3-2)^2 = x^2 + (2-x-2)^2
2 = 2*x^2
x = 1; y = 2-1=1 — координаты т. В
x = -1; y = 2+1 = 3 — координаты т. D
2) Одна из вершин параллелограмма — точка пересечения данных прямых. Решение системы линейных уравнений
у = х — 2
х = 5*у — 6
даст точку вершины с координатами А (4; 2).
Начало координат — точка пересечения диагоналей, поэтому противоположная вершина С (-4; -2) — центрально симметрична точке А относительно начала координат.
Собственно, сразу можно было найти уравнение диагонали АС (то же, что и прямой АО) :
у = 2*х/4 = х/2
Для нахождения второй диагонали достаточно найти третью вершину параллелограмма, например, как точку пересечения стороны, задаваемой уравнением
х = 5*у — 6
и стороны, параллельной прямой
у = х — 2
и проходящей через точку С.
уравнение этой стороны будет иметь вид:
у = -2 + х + 4
у = х + 2
Координаты вершины В найдем из решения системы:
х = 5*у — 6
у = х + 2
Вершина В (-1; 1)
Уравнение диагонали BD (то же, что и прямой ОВ)
у = -х