Даны стороны треугольника составить уравнения его высот

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Даны стороны треугольника x+y-6=0 3x-5y+14=0 5x-3y-14=0 составить уравнения его высот

Даны стороны треугольника x+y-6=0 3x-5y+14=0 5x-3y-14=0 составить уравнения его высот

• Ангелина Клепкова
• Математика 2019-03-03 17:26:55 0 1

Уравнения сторон запишем в каноническом виде Y= kX+b.
1) Y = -X+6 — сторона АВ.
2) Y = 3/5*X + 14/5 либо Y=0.6*X+2.8 — сторона ВС
3) Y = 5/3*X — 14/3 либо Y = 1 2/3*X — 4 2/3 — сторона АС.
Для вычислений нужны координаты вершин треугольника.
Для более полного осознания начертим этот треугольник.
Верхушки треугольника — точка скрещения прямых — решение систем уравнений.
1) x+y=6 и 3x-5y=-14. Решение А(4,2)
2) x+y=6 и 5x-3y=14. Решение В(2,4)
3) 3x-5y= -14 и 5x-3y=14. Решение С(7,7).
Уравнение вышины — перпендикуляр к стороне. Коэффициент наклона
k2 = -1 : k1. Сдвиг b по формуле: b= Ay — k*Ax
4) Вышина АК — перпендикуляр к ВС.
k = — 1/0,6 = — 1 2/3 = — 5/3
Сдвиг b по точке А(4;2)
b = 2 — (-5/3)*4 = 2+ 6 2/3 = 8 2/3
Уравнение высоты АК — Y= -5/3*X+ 8 2/3 — ОТВЕТ
5) Вышина BL к стороне АС.
k = — 1/1 2/3 = — 3/5
Сдвиг b вычислим по точке В(2;4)
b = 4 — (-3/5)*2 = 5 1/5 = 5.2
Уравнение вышины BL — Y = -3/5*X + 5.2 — ОТВЕТ
6) Уравнение высоты СМ к стороне АВ.
k = -1 : 1 = 1
Сдвиг b вычисляем по точке С(7;7)
b = 7 — (1)*7 = 0
Уравнение высоты СМ — Y = X — ОТВЕТ

Даны стороны треугольника составить уравнения его высот

Угловой коэффициент уравнения стороны ВС можно найти из уравнения высоты АМ (эта высота перпендикулярна ВС по заданию)

Остается найти свободный член. Для этого подставим значение точки В. Теперь, запишем:

Для нахождения координат точки А приравняем левые части уравнений АВ и АМ:

Угловой коэффициент уравнения стороны АС можно найти из уравнения высоты BN (эта высота перпендикулярна АС по заданию)

Остается найти свободный член. Для этого подставим значение точки А. Теперь, запишем:

Для нахождения координат точки С приравняем левые части уравнений ВС и АС:

Угловой коэффициент уравнения высоты КС можно найти из уравнения стороны АB (эта высота перпендикулярна АВ по заданию)

Остается найти свободный член. Для этого подставим значение точки С. Теперь, запишем: