Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Даны точки abc найти уравнение высоты adДаны точки А(1;2), В(6;2), С(3;0). a) уравнение и длину BC; Вектор ВС = (3-6; 0 -2) = (-3; -2). Модуль равен √((-3)² + (-2)²) = √13. Уравнение ВС: (х — 6)/(-3) = (у — 2)/(-2). или в общем виде 2х — 3у — 6 = 0. б) уравнение высоты АД; Высота АД перпендикулярна стороне ВС: 2х — 3у — 6 = 0. Её уравнение имеет вид 3х + 2у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А). Для определения величины С подставим координаты точки А(1;2). АД: 3*1 + 2*2 + С = 0, отсюда С = -3 — 4 = -7. АД: 3х + 2у — 7 = 0. в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС; Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны ВС. 2х — 3у + С = 0, для определения параметра С подставим координаты точки А(1;2): 2*1 – 3*2 + С = 0, отсюда С = -2 + 6 = 4. Уравнение 2х — 3у + 4 = 0. г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС. Это будет средняя линия треугольника, параллельная стороне АС. Находим координаты точки Д, являющейся серединой стороны АВ. Д = (А(1;2) + В(6;2))/2 = (3,5; 2). Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны АС. Точки А(1;2) и С(3;0). Вектор АС = (3-1; 0-2) = (2; -2). Уравнение АС: (х — 1)/2 = (у — 2)/(-2) или в общем виде Тогда параллельная прямая имеет вид x + y + С = 0. Для определения параметра С подставим координаты точки Д(3,5; 2): 1*3,5 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -3,5 — 2 = -5,5. Уравнение х + у – 5,5 = 0 или в целых числах 2x + 2y – 11 = 0. д) угол А треугольника АВС. Вектор АВ = (6-1; 2-2) = (4; 0), модуль равен 4. Вектор АС = (2; -2 ), модуль равен √8 = 2√2. cos B = (4*2 + 0*(-2)) / (4*2√2) = 8 / (8*√2) = 1/√2 = √2/2. B = arc cos(√2/2) = 45 градусов. источники: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik http://megamozg.com/task/12831435 |